薄 雪，李化南

(吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 四平 136000)

對(duì)亥姆霍茲線圈電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)研究是電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)中比較經(jīng)典的一個(gè)問(wèn)題。由于受實(shí)驗(yàn)儀器以及學(xué)時(shí)的限制，在大學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生經(jīng)常只需要完成對(duì)線圈軸線上磁場(chǎng)的測(cè)定[1-5]。隨著實(shí)驗(yàn)儀器的改進(jìn)，不僅可以完成對(duì)線圈軸線上磁場(chǎng)的測(cè)定還可以對(duì)線圈周圍有限空間的磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)定，本文利用DH4501D實(shí)驗(yàn)儀對(duì)亥姆霍茲線圈電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行了充分的研究，并對(duì)真空磁導(dǎo)率進(jìn)行了擬合[6-7]。

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 線圈磁場(chǎng)的計(jì)算

(1)

式中μ0為真空磁導(dǎo)率，x為圓心到測(cè)點(diǎn)的距離。

當(dāng)x=0時(shí)，

(2)

亥姆霍茲線圈是兩個(gè)匝數(shù)相同大小也相同的圓形線圈。它們相互串聯(lián)起來(lái)，電流大小與方向都相同，而且亥姆霍茲線圈的間距恰好等于線圈的半徑。亥姆霍茲線圈可以在軸線位置處產(chǎn)生很好的均勻磁場(chǎng)。

若x為亥姆霍茲線圈軸線上某一點(diǎn)到兩線圈中點(diǎn)O的距離，則軸線上任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)大小為：

(3)

當(dāng)x=0時(shí)，

(4)

利用式(3)和式(4)可以計(jì)算出亥姆霍茲線圈軸線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度[8-10]。

1.2 亥姆霍茲線圈模型

圖1為亥姆霍茲線圈的簡(jiǎn)易模型。圖1中a、b為兩個(gè)相互平行且半徑、匝數(shù)、電流方向及大小都完全相同的線圈。并且a、b兩個(gè)線圈的間距恰好與線圈半徑相同。在亥姆霍茲線圈空間的豎直平面內(nèi)建立坐標(biāo)系，其中x軸表示水平方向，當(dāng)x=0 cm時(shí)表示在兩線圈中點(diǎn)位置；y軸表示豎直方向，當(dāng)y=0 cm時(shí)表示在軸線位置。

圖1 亥姆霍茲線圈模型

2 亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)的測(cè)定

2.1 不同電流下線圈的磁場(chǎng)分布

圖2中a、b、c三個(gè)圖分別是電流為25 mA、50 mA、150 mA時(shí)單個(gè)線圈軸線上的磁場(chǎng)的分布情況。

(a) 電流為25 mA

紅色折線為通過(guò)計(jì)算得到的理論值，黑色折線為實(shí)測(cè)值。觀察圖2進(jìn)行對(duì)比分析可得：在電流為25 mA、50 mA時(shí)，實(shí)測(cè)值與理論值的偏差較大；而電流增大到150 mA時(shí)，實(shí)測(cè)值與理論值的偏差明顯降低，在圖中實(shí)測(cè)值與理論值的擬合情況明顯較好。由于地磁場(chǎng)及周圍環(huán)境磁場(chǎng)的存在，亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)會(huì)受到周圍環(huán)境磁場(chǎng)的影響。所以只有在線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)足夠大時(shí)，外界環(huán)境的磁場(chǎng)對(duì)線圈本身產(chǎn)生的磁場(chǎng)的影響才會(huì)相對(duì)較小，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的實(shí)測(cè)值才會(huì)更加準(zhǔn)確。為減小周圍環(huán)境磁場(chǎng)帶來(lái)的誤差，后續(xù)的實(shí)驗(yàn)要采用較大的電流來(lái)進(jìn)行。因此在本文后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中將選擇電流大小為150 mA或100 mA，以得到誤差較小的實(shí)測(cè)值。

2.2 確定電流下亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)分布

圖3為兩個(gè)線圈串聯(lián)起來(lái)組成一組亥姆霍茲線圈在通以150 mA電流下的磁感強(qiáng)度圖像，縱坐標(biāo)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度B，x軸為水平方向，x=0 cm表示此點(diǎn)位于亥姆霍茲線圈的中點(diǎn)。其中黑色曲線為單個(gè)線圈a的磁場(chǎng)分布，紅色曲線為單個(gè)線圈b的磁場(chǎng)分布，藍(lán)色曲線為線圈a和b疊加起來(lái)的磁場(chǎng)分布，綠色曲線為線圈a和b串聯(lián)起來(lái)后的磁場(chǎng)分布。實(shí)心點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)值，空心點(diǎn)為理論值。

觀察圖像分析可得：在B(a)+B(b)和B(a+b)兩種情況下雖然線圈兩端(x=±5 cm)的磁感強(qiáng)度稍微偏小，但是中間的磁感強(qiáng)度較為均勻。在兩線圈中點(diǎn)處磁場(chǎng)最大，距離兩線圈中點(diǎn)越遠(yuǎn)，磁場(chǎng)越小，與式(3)計(jì)算結(jié)果一致。但總體來(lái)說(shuō)，在一組亥姆霍茲線圈間軸線上實(shí)際產(chǎn)生的磁場(chǎng)比較均勻，通過(guò)此實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了亥姆霍茲線圈軸線上的磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)[4,11]。

圖3 150 mA電流下亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)分布

2.3 單個(gè)線圈的空間磁場(chǎng)分布

圖4為當(dāng)電流值為100 mA時(shí)，單個(gè)線圈軸線上的磁感強(qiáng)度(y=0 m)和分別上移2、4、6 cm空間各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度(y=2、4、6 cm)?？傮w來(lái)看，在距離軸線最遠(yuǎn)的位置磁感強(qiáng)度最大，在軸線位置的磁感強(qiáng)度最小；并且距離軸線位置越遠(yuǎn)，磁感強(qiáng)度的波動(dòng)就越大。而在水平方向距離線圈4～5 cm處，豎直方向的偏移基本不會(huì)改變磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度，而在線圈位置處，豎直方向越偏離軸線，磁感強(qiáng)度越大。由分析可得，在距離線圈較遠(yuǎn)處，由于線圈在此處產(chǎn)生的磁場(chǎng)較小，周圍環(huán)境也存在磁場(chǎng)，此處磁場(chǎng)的大小受周圍環(huán)境的影響較大。所以無(wú)論在豎直方向如何偏移，在遠(yuǎn)處測(cè)得磁場(chǎng)都基本相等。在線圈位置附近處，豎直方向偏移越大，這個(gè)點(diǎn)距離線圈越近，線圈在此處產(chǎn)生的磁場(chǎng)較大，受周圍環(huán)境的影響較小，所以磁場(chǎng)強(qiáng)度越大。所以整體上呈現(xiàn)出距離軸線位置越遠(yuǎn)處，磁場(chǎng)強(qiáng)度的波動(dòng)更大的現(xiàn)象。

圖4 電流為100 mA時(shí)單個(gè)線圈的空間磁場(chǎng)分布

2.4 亥姆霍茲線圈的空間磁場(chǎng)分布

圖5為當(dāng)電流值為100 mA時(shí)，一組亥姆霍茲線圈軸線上的磁感強(qiáng)度(y=0 cm)和分別上移2、4、6 cm空間各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度(y=2、4、6 cm)。在y=0、2 cm時(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度分布比較均勻，在豎直方向偏移更大時(shí)磁場(chǎng)的分布有了顯著變化，磁場(chǎng)強(qiáng)度呈現(xiàn)出兩邊大、中間小的特點(diǎn)，而且y越大，磁場(chǎng)大小變化的幅度越大。兩邊的磁場(chǎng)大小明顯大于軸線同一位置的磁場(chǎng)大小，在兩個(gè)線圈中點(diǎn)位置附近的磁場(chǎng)大小又明顯小于軸線同一位置的磁場(chǎng)大小。偏離軸線位置的點(diǎn)在兩個(gè)線圈中點(diǎn)位置附近時(shí)距離兩線圈位置變遠(yuǎn)，亥姆霍茲線圈在此處產(chǎn)生的磁場(chǎng)會(huì)變小，所以y值較大時(shí)的點(diǎn)在兩個(gè)線圈中點(diǎn)位置附近磁場(chǎng)比軸線位置處要小。偏離軸線位置的點(diǎn)在單個(gè)線圈位置附近時(shí)，與x軸同一位置的軸線上的點(diǎn)相比更靠近單個(gè)線圈，線圈在此處產(chǎn)生的磁場(chǎng)更大，所以在偏離軸線時(shí)單個(gè)線圈位置附近的磁場(chǎng)會(huì)比軸線同一位置的磁場(chǎng)更大，且偏移越多，磁感強(qiáng)度就越大。

圖5 電流為100 mA時(shí)亥姆霍茲線圈的空間磁場(chǎng)分布

3 真空磁導(dǎo)率的擬合

圖6為利用軸線處磁場(chǎng)計(jì)算得出的真空磁導(dǎo)率的值(黑色折線)和計(jì)算所得平均值(紅色虛線)與理論真空磁導(dǎo)率(黑色實(shí)線)的值。

圖6 真空磁導(dǎo)率的擬合

利用式(3)導(dǎo)出真空磁導(dǎo)率實(shí)測(cè)值計(jì)算公式為：

(4)

由圖6可以看出：實(shí)驗(yàn)測(cè)出的平均值為12.433×10-7，而理論值為12.56×10-7，計(jì)算出的真空磁導(dǎo)率的平均值要比理論值低。觀察分析圖2的a、b、c三圖可得，在進(jìn)行磁場(chǎng)測(cè)量時(shí)出現(xiàn)了實(shí)際測(cè)出的磁場(chǎng)強(qiáng)度值要比計(jì)算所得的理論值低。利用式(4)進(jìn)行分析，測(cè)得磁場(chǎng)值偏低會(huì)導(dǎo)致最終計(jì)算所得到的真空磁導(dǎo)率值偏低，因此出現(xiàn)了用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出的真空磁導(dǎo)率數(shù)值比理論值低的現(xiàn)象，但是誤差還是較小的。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)理論計(jì)算與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分析可以得到以下結(jié)論：在電流較大時(shí)對(duì)于磁場(chǎng)的測(cè)量比較準(zhǔn)確，誤差較小。亥姆霍茲線圈軸線位置處的磁場(chǎng)分布均勻性較好。對(duì)于單個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行分析，偏離軸線位置時(shí)，線圈位置處的磁場(chǎng)強(qiáng)度要比軸線處的磁場(chǎng)強(qiáng)度大，遠(yuǎn)離線圈位置處的磁場(chǎng)強(qiáng)度要比軸線處的磁場(chǎng)強(qiáng)度小。而對(duì)于兩個(gè)線圈串聯(lián)起來(lái)組成的亥姆霍茲線圈時(shí)，在偏離軸線位置，亥姆霍茲線圈中點(diǎn)位置附近的磁場(chǎng)強(qiáng)度較軸線位置處磁場(chǎng)強(qiáng)度小，在其中一個(gè)單個(gè)線圈附近的磁場(chǎng)強(qiáng)度較軸線位置處的磁場(chǎng)強(qiáng)度大。由于受到周圍磁場(chǎng)的影響及測(cè)量誤差的存在，導(dǎo)致測(cè)量到的磁場(chǎng)強(qiáng)度偏小，進(jìn)而利用實(shí)驗(yàn)值測(cè)量值計(jì)算得到的真空磁導(dǎo)率與理論值相比也偏小。