李 強

(上海市民辦桃李園實驗學校 201800)

幾何學擁有悠久的歷史，在數學課程中具有不可替代的作用.[1]在經歷過小學階段的實驗幾何學習后，學生在初中階段開始進入推理幾何的學習.不同于實驗幾何以歸納實驗發(fā)現空間的本質，推理幾何重在以邏輯推理探索未知.[2]推理幾何以幾何證明為主要學習方式，對于學生的邏輯推理、直觀想象等能力的發(fā)展都十分重要.[3-4]但學生學習幾何證明卻并不輕松，尤其是初中階段的幾何證明，往往是教學中的一個難點.[5]如何進行有效的初中幾何證明教學，自然非常值得重視.為此，研究提出初中幾何證明教學要重視“三個關注”，為這一教學難題的突破提供參考.

1 利器：關注基本幾何圖形的教學

工欲善其事，必先利其器.要想從容應對初中幾何證明，學生就必須深諳各種基本幾何圖形的性質和特點，這里的基本幾何圖形，就是幾何證明中的重“器”.

李海東在解讀立體幾何教學時講道：空間圖形有一些簡單的“基本圖形”, 厘清這些基本圖形的組成元素的位置關系, 在解決其它問題時便容易排除干擾, 便于提煉出本質特征.[6]初中的平面幾何問題是高中立體幾何問題的特殊化，以三維視域下的高觀點看待二維平面幾何的證明，同樣有效.因此，初中教師進行幾何證明教學時，其首要關注點即為基本幾何圖形的教學.重視基本幾何圖形，其本質在于重視結構性知識，證明幾何問題時，掌握它們能夠幫助學生快速地從大腦中提取經驗圖式，提高解題效率.[7]

按照基本幾何圖形的來源進行劃分，基本幾何圖形可分為兩類：一類是教科書中定義、定理中呈現出的基本幾何圖形，它們是幾何學習的根基；另一類是在學習活動中的其余真命題所對應的基本幾何圖形，它們能夠幫助學習者快速發(fā)現證明題中的“老熟人”，減少思維負擔，縮短思考時間.

先看如何進行第一類基本幾何圖形的教學.例如在學習完角平分線性質定理及其逆定理后，教師就可有意識地引導學生對圖1進行重點研究.圖1的常規(guī)構造方式如下，過∠AOB的頂點O作角平分線OC，在OC上任選一點P，分別作PE⊥OA，PF⊥OB，連接EF交OC于點D.由圖1可以得到哪些結論呢？在只考慮△OEP和△OFP的前提下，學生通過觀察、猜想、分析、證明可以得到：△OEP≌△OFP，由此還可以得到PE=PF，∠EPO=∠FPO等圖形特征.再將線段EF考慮進去，還可以得到：OP垂直平分EF，DE=DF等幾何性質.此外，還可以先給出△OEP≌△OFP，推導出OP為∠AOB的角平分線.此處的圖1，即可被視作一個基于角平分線性質定理或其逆定理所構造的基本幾何圖形.

圖1 基于角平分線性質的基本幾何圖形

圖2 問題1的對應圖

再看一個第二類基本幾何圖形的教學案例.在幾何證明的教學過程中，問題1是一個經典幾何證明題.

問題1：如圖2所示，CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°.求證：△BEC≌△ADC.

當學生完成該證明后，教師可嘗試引導第一次調整圖形：將△ECD繞點C旋轉到其它位置(圖3).仍然提問此時△BEC≌△ADC是否成立？通過操作、猜想、分析、證明，學生發(fā)現只要點B、C、E不共線，結論仍然成立.再進一步“刁難”學生，對圖形進行第二次調整：△ACB和△DCE均為等邊三角形(圖4).并繼續(xù)追問此時△BEC≌△ADC是否仍然成立？學生通過操作、觀察、分析、證明不難發(fā)現：△BEC≌△ADC仍然成立.

圖3 第一次調整后的圖形

圖4 第二次調整后的圖形

最后引導學生觀察這圖2、圖3與圖4的共同特征：以同一頂角作兩個等腰三角形所得的圖形，一定存在一對全等三角形.

在幾何證明的教學過程中，越關注學生基本幾何圖形的積累，學生的幾何證明之“器”越是“鋒利”，學生證明幾何問題時越容易快速獲得隱蔽的信息，解題思路也就越開闊.

2 優(yōu)術：關注三類語言轉換的教學

應對萬物變化，離不開“術”的支持.幾何證明中的“術”，是指完成幾何證明所需的必備技能，對三類語言(符號語言、圖形語言、文字語言)的自由轉換就是學生順利完成幾何證明的必備之術.

初中生進行幾何證明，需要掌握符號語言、圖形語言和文字語言.符號語言是一種由數學符號、數學術語和經過改造的自然語言組成的科學語言，具有確定性強、通用性高、簡潔明晰等特點.[8]但與此同時，符號語言也具有較強的抽象性，這也導致了學生理解上的困難.圖形語言是幾何證明中的直觀圖形表示，與符號語言的抽象性不同，圖形語言具體而直觀，但卻需要學生具有較強的圖形處理能力.文字語言是指漢語文字，它與前兩種語言互為補充，使幾何證明的表述更便于理解.

僅僅掌握三種語言，還不足以應對幾何證明.要想順利地完成幾何證明，就需要不停地將三類語言進行轉換.符號語言與圖形語言的互相轉換幾乎伴隨著整個證明過程的始末.對于絕大多數學生而言，幾何證明的過程是不斷地將直觀的圖形語言轉換為符號語言，再在大腦中依據公理化體系進行邏輯推理，再將推理后的符號語言轉化為圖形語言，然后將新的圖形語言作為下一步推理的原材料.當然，也可以是以符號語言為起始.但無論哪種語言為先，輔以適當的文字語言，都將有助于兩種語言的轉換更加符合學生的思考.

初中生學習幾何證明困難，一部分原因在于學生無法保證三類語言間的順暢轉換.因此，為使學生掌握幾何證明的關鍵“術”，教師應加強學生對三類語言的轉換能力.在教學過程中，可以要求學生將定義、定理以基本圖形的形式表示出來，并引導學生用符號語言進行說明，使學生能夠：看見基本圖形能想到相關定義、定理(即文字語言)，想到幾何定義、定理就能作出相關幾何圖形(即圖形語言)，以及其它三類語言之間的轉換.

例如在“角平分線性質”的教學過程中，教學得出角平分線性質的文字表述后，可以引導學生思考文字語言中的關鍵字詞，讓學生考慮性質定理“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”是否可以去掉“這個”一詞？以及逆定理“在一個角的內部(包括頂點)且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”是否可以去掉“在角的內部”？在理解了文字語言含義的基礎上，讓學生畫出這兩個定理所對應的幾何圖形(圖5).最后再考慮讓學生基于圖形語言進行合理的符號語言表述，即角平分線性質定理：因為OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，所以PF=PE；角平分線性質定理逆定理：因為PF=PE，PE⊥OA，PF⊥OB，所以OC平分∠AOB.

圖5 角平分線性質的圖形語言表述

3 明道：關注數學思想方法的教學

何謂“道”？簡言之，即規(guī)律，原理，本質.凡事只有達到“明道”的境界，方可看透表象，直曉內里.學生只有熟練掌握了幾何證明中的數學思想方法，方可明幾何證明之道，游刃有余于幾何證明之中.

數學思想方法是數學教學的關鍵.[9-13]初中幾何證明題的基本思想方法包括綜合法和分析法，綜合法是由因導果，分析法是執(zhí)果索因.對于一些比較簡單的幾何證明問題，通過已知條件進行正向思考，便可以證明出結論，即通過“綜合法”的證明思想解決問題.但是對于一些復雜的幾何證明問題，往往很難通過已知條件快速地找到解題思路，這時候就可以考慮從結論入手，對能夠推導出結論的各種途經進行分析，由結論反推，即通過“分析法”的證明思想解決問題.當然，還有很多問題需要兩種證明思想的結合，即常說的“兩頭湊”.

接下來，基于“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個定理的證明，進行分析法與綜合法的教學舉例.

圖6 問題2的對應圖

關于幾何證明的思想方法，僅講綜合法與分析法還不夠，教學中還需要關注幾何證明的方法系統.張景中先生曾經提出數學教學的“中巧”說，即數學解題方法的教學不宜“大巧”或“小巧”，最好是進行有章可循的招式教學(即“中巧”).[14]這種“中巧”思想，便是一種教學中的可用之“道”：既能夠以一統百，幫助學生抓住幾何證明的本質；又并非“大道無形”的絕學，讓學生難以掌握.劉辰等人基于“中巧”思想，提出“命題聯想系統”，包括：看到題目條件(或定理、法則)時，思考它可以推出哪些新的命題，這稱為“下游命題系統”；看到題目的結論時，聯想到哪些命題可以推出它，這稱為“上游命題系統”.[15]因此，教學中要注重對求常見命題的證明方法的歸納和總結，在此將常見證明方法的匯聚稱為“證明方法系統”.

那么，如何通過教學幫助學生在其頭腦中形成證明方法系統呢？下面以如何證明“兩角相等”為例，進行相應說明.

問題3：如圖7所示，AB=AC，DB=DC.求證：∠B=∠C.

圖7 問題3的對應圖

此題的證明很簡單，但其教學目標并非使學生“會證明”，而定位于讓學生找到不同證明方法，以及思考如何想到各類證明方法，幫助學生在大腦中建構出“兩角相等”問題的證明系統.本題的常規(guī)證明方法有兩種：第一種，聯結AD，通過全等三角形對應角相等進行證明；第二種，聯結BC，則得到兩個等腰三角形，進而將∠B與∠C分別表示為兩個相同的角的和，從而完成證明.本題的關鍵在于引導學生發(fā)現“全等圖形對應角相等證明法”“組合角證明法”這兩種證明方法.再結合其它證明題，還可以發(fā)現“平行線性質證明法”“等腰三角形證明法”等其它方法.當教學中引導學生完成“兩角相等”問題證明方法的梳理，一個關于“兩角相等”問題的證明系統也即產生.類似地，還可以進行“線段相等”“垂直”“平行”等核心問題的證明方法系統的教學.

4 結束語

幾何證明是初中生數學學習的重要組成部分，保證初中生獲得良好的幾何證明教學，離不開三個要素：一是基本幾何圖形，二是三類語言轉換，三是數學思想方法，三者分別對應于幾何證明的“器”“術”與“道”.在日常的教學過程中，教師應幫助學生“利器”“優(yōu)術”與“明道”，方可有效提升學生的幾何證明能力.