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        看形找數(shù) 以數(shù)解形
        ——談平面解析幾何試題解題策略

        2021-05-07 07:55:16許秀亮
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年3期
        關(guān)鍵詞:設(shè)點(diǎn)消元個(gè)數(shù)

        許秀亮

        (福州二中 350001)

        平面解析幾何研究的對(duì)象是平面幾何圖形的幾何性質(zhì)——位置與數(shù)量關(guān)系,其研究方法是坐標(biāo)法,即通過坐標(biāo)系,把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來(lái),實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想、函數(shù)與方程的思想.

        在解決解析幾何問題時(shí),學(xué)生的痛點(diǎn)有:在“看形找數(shù)”過程中,如何合理作圖,如何根據(jù)問題有效識(shí)圖,解決問題該如何設(shè)元,需要找?guī)讉€(gè)方程,如何建立方程;在“以數(shù)解形”過程中,如何根據(jù)問題,分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、設(shè)計(jì)運(yùn)算途徑、確定運(yùn)算程序,以及在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到挫折時(shí)如何調(diào)整運(yùn)算.本文以近兩年高考全國(guó)Ⅰ卷試題為例子,根據(jù)求解問題所涉及的未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)及相應(yīng)圖形的位置與數(shù)量關(guān)系,從靜態(tài)視角與動(dòng)態(tài)視角兩個(gè)角度談?wù)劷忸}過程中的一些解題策略,以幫助學(xué)生解決上述問題.

        1 靜態(tài)視角下問題

        案例一(2020年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科第15題)

        分析明確求解“離心率”的解題思路——建立雙曲線方程中系數(shù)a,b及半焦距c的一個(gè)方程或兩個(gè)方程.

        圖一

        思路1分析題意可設(shè)點(diǎn)B(x0,y0),此時(shí)本題涉及的未知數(shù)有x0,y0及a,b,c,目標(biāo)是消去未知數(shù)x0,y0,建立a,b,c的一個(gè)或兩個(gè)方程;消去未知數(shù)x0,y0需要兩個(gè)方程,所以至少需要找到x0,y0,a,b,c的三個(gè)方程;那么,如何找這三個(gè)方程呢?明確從幾何圖形已知的位置與數(shù)量關(guān)系中尋找,在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系(1)點(diǎn)B在C上;(2)BF垂直于x軸;(3)直線AB的斜率為3.

        解法1設(shè)點(diǎn)B(x0,y0)(y0>0),

        由BF垂直于x軸可得方程x0=c;(2)

        然后代入方程(3)得到a,b,c的方程

        從而得e=2.

        在把點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)x0,y0用a,b,c表示的過程中,從方程(1)(2)(3)中任選兩個(gè)方程都可以,解法1選擇(1)(2)的原因主要是考慮計(jì)算量問題.在這過程中,滲透了化歸思想.

        思路2設(shè)C的左焦點(diǎn)為F1,|BF1|=m,|BF|=n,此時(shí)本題涉及的未知數(shù)有m,n及a,b,c,目標(biāo)是消去未知數(shù)m,n,建立a,b,c的一個(gè)或兩個(gè)方程;消去未知數(shù)m,n需要兩個(gè)方程,所以至少需要找到m,n,a,b,c的三個(gè)方程;依然引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何圖形已知的位置與數(shù)量關(guān)系(1)點(diǎn)B在C上;(2)BF垂直于x軸;(3)直線AB的斜率為3.

        解法2設(shè)C的左焦點(diǎn)為F1,|BF1|=m,|BF|=n,由已知可得點(diǎn)B在C的右支上,

        可得方程m-n=2a;(1)

        由BF垂直于x軸,

        可得方程m2-n2=4c2;(2)

        由直線AB的斜率為3,

        由(1)(3)可得m=3c-a,n=3c-3a,

        代入(2)得c2-3ac+2a2=0,

        所以e2-3e+2=0,得e=2或e=1,

        因?yàn)閑>1,所以e=2.

        點(diǎn)評(píng)在解題時(shí),針對(duì)“點(diǎn)B在C上”這一已知位置關(guān)系,可以選擇不同的表征(設(shè)元),對(duì)于相同的幾何圖形的位置和數(shù)量關(guān)系,會(huì)有不同的代數(shù)表征——方程,但兩種思路在解題策略上的共同點(diǎn)——明確解題的關(guān)注點(diǎn)“未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)”,抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)“幾何問題代數(shù)化”,即先關(guān)注要解決問題需要幾個(gè)未知數(shù)與幾個(gè)方程,在此基礎(chǔ)上,抓住條件中幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系,看“形”找到“數(shù)”,真正達(dá)到了數(shù)形結(jié)合思想.不同在平時(shí)教學(xué)中,為了讓學(xué)生真正理解這種思路,一般以微專題形式給出一組試題,學(xué)生體驗(yàn)用相同的解題策略解決這組試題.

        案例二(2020年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷文科第11題)

        圖二

        由雙曲線方程可得|F1F2|=2c=4,

        解法2由雙曲線的對(duì)稱性設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),

        由點(diǎn)P在C上得方程m-n=2a=2;(1)

        由|OP|=|OF1|=|OF2|=2得F1P⊥F2P,

        從而得方程m2+n2=4c2=16;(2)

        由方程(1)(2)可得mn=6,

        所以△PF1F2的面積為

        所以選B.

        解題策略依然是先關(guān)注所求解面積問題需涉及“兩個(gè)未知數(shù)”,再?gòu)狞c(diǎn)P在C上,|OP|=2兩個(gè)位置與數(shù)量關(guān)系中找到對(duì)應(yīng)的“兩個(gè)方程”解決問題.同樣,對(duì)“P在C上”位置關(guān)系,有不同的設(shè)元,由“|OP|=2”的數(shù)量關(guān)系也就產(chǎn)生了兩種不同的方程形式,但在同一解題策略下,殊途同歸.

        2 動(dòng)態(tài)視角下問題

        案例三(2019年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷文科第21題)

        已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4,圓M過點(diǎn)A,B且與直線x+2=0相切.

        (Ⅰ)若A在直線x+y=0上,求圓M的半徑;

        (Ⅱ)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí),|MA|-|MP|為定值?并說(shuō)明理由.

        問題(Ⅰ)是靜態(tài)視角下的求值問題——求圓的半徑.

        分析幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系、未知數(shù)與方程.

        圖三

        由A在直線x+y=0上,

        設(shè)點(diǎn)A(a,-a),B(-a,a),M(x0,y0),

        因?yàn)閳AM過點(diǎn)A,

        因?yàn)閨MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

        因?yàn)閳AM與直線x+2=0相切,

        把(1)(2)代入(3)得x0=y0=0或x0=y0=4(三個(gè)未知數(shù),三個(gè)方程),

        所以可以確定圓M的半徑為r=2或r=6.

        問題(Ⅱ)是動(dòng)態(tài)視角下定值問題.

        分析幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系、未知數(shù)與方程.

        設(shè)點(diǎn)A(m,n),B(-m,-n),M(x,y) (涉及四個(gè)未知數(shù)),

        因?yàn)閨MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

        因?yàn)閳AM與直線x+2=0相切且圓M過點(diǎn)A,

        由方程(1)(2)(3),整體消去未知數(shù)m,n得到未知數(shù)x,y的一個(gè)關(guān)系式為y2=4x,從而得到點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x,由此得到點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以,當(dāng)點(diǎn)P取到點(diǎn)F,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,0)時(shí),根據(jù)拋物線的定義可得|MP|等于點(diǎn)M到直線x=-1的距離,而|MA|等于點(diǎn)M到直線x=-2的距離,所以|MA|-|MP|=(x+2)-(x+1)=1.

        點(diǎn)評(píng)本題的主要變?cè)恰包c(diǎn)M”,首先要探究它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,因此,在設(shè)出四個(gè)未知數(shù)m,n,x,y,列出三個(gè)方程后,選定的目標(biāo)是由方程(1)(2)(3)消去未知數(shù)m,n得到點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x,這個(gè)過程中,消元難度比案例一、案例二大,要求學(xué)生要根據(jù)運(yùn)算的目標(biāo),合理設(shè)計(jì)消元程序,要有整體消元的數(shù)學(xué)運(yùn)算思維,在此基礎(chǔ)上完成了“以數(shù)解形”,即從方程消去未知數(shù)得到點(diǎn)M的軌跡方程,進(jìn)而確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡,再?gòu)狞c(diǎn)M的軌跡的幾何性質(zhì),確定所求定點(diǎn)P的位置,得到|MA|-|MP|=1這個(gè)定值.

        問題(1)與問題(2)都是先“設(shè)元”,再根據(jù)幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系找到相應(yīng)的方程;問題(1)是靜態(tài)視角下問題,方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)是相同的,問題(2)是動(dòng)態(tài)視角下問題,方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)個(gè)數(shù)少了一個(gè);這種解題策略方法也適合于圓錐曲線中的軌跡問題、最值或取值范圍問題、定點(diǎn)定值問題等.

        案例四(2020年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科第20題(文科第21題))

        圖四

        (Ⅰ)求E的方程;

        (Ⅱ)證明:直線CD過定點(diǎn).

        分析1由題意可知,直線CD的位置隨著點(diǎn)P位置的變化而變化.

        設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2),A(-3,0),B(3,0),

        因?yàn)镻A與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,

        因?yàn)镻B與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D,

        五個(gè)未知數(shù)t,x1,y1,x2,y2,四個(gè)方程;消去x1,y1,x2,y2,用t表示x1,y1,x2,y2,所以直線CD的位置隨著t的變化而變化.

        思路1設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2),A(-3,0),B(3,0),

        因?yàn)镻A與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,

        (t2+9)x2+(6t2)x+(9t2-81)=0,

        Δ=36t4-4(t2+9)(9t2-81)=36×81>0,

        因?yàn)镻B與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D,

        (t2+1)x2-(6t2)x+(9t2-9)=0,

        因?yàn)棣?36t4-4(t2+1)(9t2-9)=36>0,

        所以直線CD的斜率為

        所以直線CD的方程為

        思路1在求直線CD的斜率與化簡(jiǎn)直線CD方程時(shí),要求學(xué)生必須具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

        分析2設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2),A(-3,0),B(3,0),

        當(dāng)t≠0時(shí),設(shè)直線CD的方程為x=my+n(-3

        因?yàn)镻A與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,

        因?yàn)镻B與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D,

        七個(gè)未知數(shù)t,x1,y1,x2,y2,m,n,六個(gè)方程;利用五個(gè)方程消去t,x1,y1,x2,y2,得到m,n的一個(gè)方程;從而求得直線CD恒過的定點(diǎn)坐標(biāo).

        思路2設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2),A(-3,0),B(3,0),

        當(dāng)t≠0時(shí),設(shè)直線CD的方程為x=my+n(-3

        因?yàn)辄c(diǎn)C在直線PA上,點(diǎn)D在直線PB上,

        消去t得3y1(x2-3)=y2(x1+3),

        因?yàn)辄c(diǎn)D在橢圓E上,

        代入變形得到27y1y2=-(x1+3)(x2+3),

        整理可得

        27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0(*);

        得(m2+9)y2+(2mn)y+(n2-9)=0,

        Δ=4m2n2-4(m2+9)(n2-9)>0,

        x1x2=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2

        代入方程(*)得

        從六個(gè)方程中選擇出三個(gè)方程整理得到關(guān)系式27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0,再聯(lián)立用韋達(dá)定理把

        y1y2,x1x2,x1+x2用m,n表示,整體消去t,x1,y1,x2,y2得到m,n方程這個(gè)過程中,要求學(xué)生要具備明確的數(shù)學(xué)模型、較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

        點(diǎn)評(píng)思路2解題過程中消元得到27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0這個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的能力要求較高.思路1與思路2從解題策略上是相同的,都是先根據(jù)題意合理設(shè)元,再根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)與求解問題的需要,從幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系中找到方程.案例四兩條思路的難點(diǎn)都是在運(yùn)用代數(shù)工具解決問題時(shí),消元整理的難度較大(涉及的未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)較多,方程本身較復(fù)雜),要求學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力,思路1消元的方法是比較容易想到,但計(jì)算量較大,思路2在消元上技巧性較強(qiáng),但運(yùn)算量相對(duì)低一些.

        解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的主干板塊.學(xué)生的解題障礙體現(xiàn)在以下兩點(diǎn):一是如何實(shí)現(xiàn)平面圖形的幾何特征轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)有關(guān)的方程;二是能否抓住平面圖形的幾何特征的本質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算達(dá)到快速求解的目的.因此,在教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷:分析問題涉及的幾何要素、關(guān)系——用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系——看形找數(shù), 然后利用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算求解,解決代數(shù)問題,這個(gè)過程強(qiáng)調(diào)的是對(duì)條件的逐個(gè)使用,強(qiáng)調(diào)的是對(duì)條件的“翻譯”,以及運(yùn)算程序的實(shí)施,解釋代數(shù)結(jié)果的幾何含義,獲得幾何結(jié)果——以數(shù)解形.在具體實(shí)施中,可以采用微專題的形式進(jìn)行.

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