汪建均, 楊桂康, 馮澤彪

(南京理工大學經(jīng)濟管理學院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

產(chǎn)品質量不僅是企業(yè)的生命線,更是企業(yè)在全球市場競爭中贏得顧客的關鍵。近年來,隨著各行業(yè)在產(chǎn)品質量方面的競爭日益激烈,可靠性作為最重要的質量維度之一,在提高產(chǎn)品壽命、降低保修成本、實現(xiàn)預期產(chǎn)品功能等方面發(fā)揮著至關重要的作用。因此,為了減少保修期內的故障,制造商將注意力集中在高質量、高可靠性的產(chǎn)品設計上[1]?？煽啃愿倪M是產(chǎn)品質量開發(fā)的重要組成部分。許多具有高可靠性的產(chǎn)品,例如汽車、電視機等,通常壽命超過10年以上,這使得在正常操作條件下難以評估產(chǎn)品的可靠性[2]。此時,想要獲取產(chǎn)品信息的常規(guī)方法是加速壽命試驗(accelerated life test,ALT)。ALT是使產(chǎn)品在加速操作條件下更快地失效,從而估計產(chǎn)品在正常運行條件下的壽命。因此,ALT的關鍵是在試驗壽命估計與加速條件之間建立穩(wěn)健、合適的關系模型,從而在加速條件下擬合數(shù)據(jù),并將模型推廣到正常操作條件下。然而,在加速條件下,一些測試產(chǎn)品在試驗終止時可能不會失效,此時就產(chǎn)生了刪失數(shù)據(jù)[3]。文獻[4-6]全面介紹了加速壽命試驗建模和數(shù)據(jù)分析的方法。

以往大多數(shù)關于ALT的研究,由于忽略了真實的試驗設計條件,壽命試驗數(shù)據(jù)是通過完全隨機設計的方法得到的。完全隨機設計意味著試驗因子組合被隨機地應用于每個測試單元。文獻[5-7]詳細介紹了關于壽命數(shù)據(jù)的分析。文獻[8]舉例說明了一個提高金剛石鉆頭可靠性的Plackett-Burman設計和分析。在這些文獻中,假設試驗數(shù)據(jù)是通過完全隨機設計得到的。在實際應用生產(chǎn)中,為了節(jié)約成本,通常在具有多個樣品的試驗臺上施加應力水平,此時就產(chǎn)生了子抽樣結構。在這種情況下,試驗臺是試驗單元,試驗樣品是觀測單元,所獲得的壽命試驗數(shù)據(jù)通常不是完全隨機設計的。另外,聚類數(shù)據(jù)、批處理以及裂區(qū)試驗設計等情況都會導致試驗樣品未完全隨機化[9]。在涉及到非完全隨機化的可靠性數(shù)據(jù)建模時,忽視隨機效應可能會產(chǎn)生錯誤的分析結果,尤其是當試驗單元之間的方差大于觀測單元間的方差時。許多研究人員已經(jīng)意識到將隨機效應整合到可靠性試驗建模與數(shù)據(jù)分析的重要意義。文獻[10]采用了一種兩階段方法,用最大似然估計方法來估計每個所需參數(shù)。文獻[11]分別比較了I型刪失,II型刪失和數(shù)據(jù)未刪失3種情況下兩階段方法的性能。由于分成兩個階段分析未知參數(shù),因此針對其未知參數(shù)構建共同的似然函數(shù)是極其困難的,因此不能對兩階段方法的某些特征(如失效百分位數(shù))進行推斷。為此,文獻[10, 12-13]提出了一種考慮隨機效應的非線性混合模型(nonlinear mixed model, NLMM)方法。該方法不但能夠減少未知參數(shù)的偏差,并且能夠精確計算低分位數(shù)的置信區(qū)間。在處理包含子抽樣結構的樣本數(shù)據(jù)時,文獻[14]整合了多重插補方法和異質性模型,該方法進一步提高了置信區(qū)間的預測精度。另外,文獻[15]提出了一種貝葉斯馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo,MCMC)建模方法來處理杜邦公司纖維鏈的隨機線軸效應問題。雖然這些模型考慮了隨機效應,但是其往往在構建模型前假設尺度參數(shù)是固定的,從而忽略了對數(shù)位置-尺度分布的尺度參數(shù)的檢驗。

針對加速壽命試驗的大多數(shù)研究只考慮了尺度參數(shù)不相等的情況,而忽略了對于形狀參數(shù)的分析。文獻[2]中假設加速應力通過尺度參數(shù)而不是形狀參數(shù)納入到模型中。文獻[10]所提出的傳統(tǒng)兩階段方法都是建立在形狀參數(shù)相等的前提下。文獻[16]在形狀參數(shù)相等的情況下,給出了分位數(shù)置信區(qū)間的方法。另外,有一部分學者意識到了形狀參數(shù)是變量的檢驗問題。文獻[17]將用于設計ALT的最大似然方法擴展到非恒定形狀參數(shù)的模型中。另外,在指定應力因子的水平下,該設計方案可以最小化最大似然估計的漸近方差。當應力水平不影響形狀參數(shù)時,文獻[18]推導出了II型刪失情況下恒加速壽命試驗的參數(shù)估計量。文獻[18]中的方法計算簡單,不會出現(xiàn)估計量不存在的問題,同時該方法的偏差也比線性無偏估計的偏差更小。文獻[19]提出了一種有效的算法,無論對數(shù)壽命數(shù)據(jù)的標準方差是否與應力因子相關,都可以計算出未知參數(shù)的最大似然估計值。文獻[20]在構建模型之前首先檢驗了分組數(shù)據(jù)的形狀參數(shù)是否相等,但是并沒有考慮形狀參數(shù)隨應力因子的變化而變化的情況。文獻[21]假設Weibull壽命分布的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)都隨應力因子的變化而變化,并且通過自助法得到了低分位數(shù)的置信區(qū)間。文獻[22]認為壽命分布的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)都和應力因子有關,并且通過正態(tài)近似法得到低分位數(shù)的置信區(qū)間。文獻[2]同時考慮了隨機效應和形狀參數(shù)是變量的問題,并使用Weibull回歸模型從ALT中對分位數(shù)進行推斷。這些文獻研究表明,加速應力不僅對位置-尺度分布的位置參數(shù)有影響,而且對尺度參數(shù)也有一定的影響,但是由于模型的限制,只假設隨機效應影響尺度參數(shù)。

在ALT分析中同時將隨機效應納入到尺度參數(shù)和形狀參數(shù)中,并且考慮形狀參數(shù)不相等的研究較少。事實上,不同類型的壽命試驗數(shù)據(jù)(完整或刪失數(shù)據(jù)集、大數(shù)據(jù)集或小數(shù)據(jù)集等)可能采用不同的估計方法。例如,對于不同的壽命試驗數(shù)據(jù),考慮偏差和均方根誤差等統(tǒng)計量時,沒有一種方法在參數(shù)估計方面總是優(yōu)于其他方法。此外,其他因素也可能會影響參數(shù)估計方法的選擇,例如計算的簡單性[23]。因此探索小樣本的分布特性,提高參數(shù)對小樣本分布特性的可靠性仍然是必要的[24]。NLMM在整合隨機效應方面有很大優(yōu)勢,但是NLMM只能處理隨機效應服從正態(tài)的情況,并且不能計算兩個隨機效應。另外NLMM模型的積分異常復雜,它的計算精度和積分點選取的數(shù)量有關。因此,針對上述問題,本文在貝葉斯建模的框架下,結合NLMM提出一種新的可靠性壽命數(shù)據(jù)的分析方法。

1 基本模型和假設

目前在壽命數(shù)據(jù)分析中,Weibull分布和對數(shù)正態(tài)分布是常用的兩種對數(shù)位置-尺度族分布。然而,相關文獻表明,可靠性工程師傾向于選擇Weibull分布和最小極值分布來建模壽命數(shù)據(jù)。實際上,由于具有形狀參數(shù),Weibull分布的數(shù)據(jù)擬合能力遠強于對數(shù)正態(tài)分布,其能夠靈活地對多種類型的失效機制進行建模,因此本文選用Weibull分布來對壽命數(shù)據(jù)進行建模。對于表示壽命數(shù)據(jù)的隨機變量T,雙參數(shù)Weibull概率密度函數(shù)的常用參數(shù)形式:

(1)

累計分布函數(shù):

(2)

式中,t>0是失效時間;β>0是Weibull分布的無量綱形狀參數(shù),不同的形狀參數(shù)β值代表幾種不同的失效機制;η>0是尺度參數(shù),和隨機變量T有相同的單位,這個尺度參數(shù)可以解釋為失效時間分布的近似0.632 1分位數(shù)(也就是總體的63.21%失效的時間)。另外,壽命時間t的對數(shù),即log(t)服從最小極值分布,它的位置參數(shù)為μ=logη,尺度參數(shù)為σ=1/β。

2 模型分析

2.1 NLMM分析

本文提出了一種將隨機效應納入失效時間模型的貝葉斯理論模型,假設隨機效應是由于子抽樣造成的[25],通常通過兩種方式將隨機效應納入到模型中[25]:通過平均響應或通過模型參數(shù)。廣義線性混合模型采用第一種方法,NLMM更靈活,通過模型參數(shù)來考慮隨機效應。對于Weibull分布,一個普遍的假設是所有模型項都通過與對數(shù)尺度參數(shù)成線性關系輸入,因此本文在貝葉斯理論的基礎上,使用NLMM框架來整合子抽樣導致的隨機效應。在可靠性壽命試驗中,有i=1,2,…,m個獨立的試驗單元,每個試驗單元中有j=1,2,…,ni個子樣本或者觀測單元,可以將具有子抽樣的Weibull分布的NLMM指定為

tij|μi,εi～Indep.Weib(βi,ηi)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中,假設有q個因子效應,xi是第i個試驗設計的q×1的因子效應矩陣;ηi>0,βi>0分別是第i組的尺度參數(shù)和形狀參數(shù);tij>0是第i個試驗單元上第j個樣本的失效時間,服從尺度參數(shù)為ηi,形狀參數(shù)為βi的獨立Weibull分布;θ和γ是固定因子效應的回歸系數(shù)矩陣;μi和εi分別為i=1,2，…,m時的隨機效應;F(tij|βi,ηi,μi,εi)是第i個試驗單元內數(shù)據(jù)的Weibull累計分布函數(shù);f(μi)和f(εi)是隨機效應μi和εi的正態(tài)概率密度函數(shù);tip是第i個試驗單元的p分位數(shù)(0

2.2 先驗信息的選擇

在使用極大似然估計(maximum likelihood estimation,MLE)方法時,刪失數(shù)據(jù)的似然函數(shù)可能是無窮的,因此不存在MLE值,不能通過MLE來計算未知參數(shù)的估計值。規(guī)避可估計性問題的一種自然方法是使用貝葉斯方法[24]。通過使用合適的先驗分布,可以計算出有代表性的后驗分布,然后可以使用其均值或中位數(shù)來估計未知參數(shù)。

當尺度參數(shù)與形狀參數(shù)均未知時,尚未有合適的聯(lián)合先驗分布形式。本文假設θ和γ的先驗分布為q維多元正態(tài)分布π(θ|μ0,Σ0)和π(γ|μ1,Σ0),其中,

(10)

(11)

Σ0=M-1

(12)

M=XTX+A0

(13)

2.3 刪失數(shù)據(jù)和失效時間數(shù)據(jù)的Gibbs采樣算法

步驟 1設定(θ,γ,σμ,σε)初始值。

(14)

式中,yi=logti。

在此,采用吉布斯抽樣方法來獲得模型參數(shù)的估計值。首先,舍棄一些模型參數(shù)的初始抽樣值(即燃燒期);然后對經(jīng)過處理后的模型參數(shù)抽樣值(即所獲得模型參數(shù)的馬爾可夫鏈)進行收斂性診斷。若上述模型參數(shù)的馬爾可夫鏈圍繞某個確定值在一定范圍內上下波動,則可以利用該模型參數(shù)的馬爾可夫鏈的均值作為未知參數(shù)的估計值。

需要特別指出的是,這里的“鏈”是指對模型參數(shù)采用貝葉斯方法估計時,通過MCMC模擬方法所獲得的馬爾可夫鏈,并使其平穩(wěn)分布為待估計參數(shù)的后驗分布。燃燒期是指采用MCMC或Gibbs抽樣方法所獲取的模型參數(shù)后驗抽樣值(即模型參數(shù)的馬爾可夫鏈)在沒有達到平穩(wěn)分布時所采集到的樣本量。

對式(2)和式(3),經(jīng)過充分的迭代后所生成的鏈若通過收斂性診斷,則可以說明式(3)中所繪制的樣本來自于(θ,γ,σμ,σε)的后驗分布。此外,需要特別說明的是,Gibbs抽樣是MCMC抽樣方法中的一種抽樣算法,適用于條件分布比邊緣分布更容易采樣的多變量分布。利用MCMC或Gibbs抽樣方法所獲得的模型參數(shù)的馬爾可夫鏈,通?？梢岳靡恍┡袛嗍諗啃缘慕y(tǒng)計量(如潛在尺度縮減因子 potential scale reduction factor, PSRF)或者一些收斂性診斷工具(如可視化的蹤跡圖、自相關圖和密度曲線圖)來推斷模型參數(shù)的后驗抽樣值是否已經(jīng)達到平穩(wěn)狀態(tài),是否可能收斂于某個平穩(wěn)分布[27-28]。

3 基于貝葉斯NLMM的可靠性數(shù)據(jù)分析

本文提出了一種將隨機效應分別納入尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的貝葉斯理論模型。在表1中,分別列出了文獻[5],文獻[10],文獻[6],文獻[2]中可靠性分析的模型以及本文所用到的NLMM模型。由于刪失數(shù)據(jù)的存在,無法找到似然函數(shù)的共軛先驗分布,后驗分布沒有簡單的閉環(huán)形式。因此本文根據(jù)以上各參數(shù)的先驗設定方法,通過MCMC方法動態(tài)模擬各參數(shù)后驗分布的馬爾可夫鏈,并根據(jù)各參數(shù)的后驗樣本進行收斂性診斷與參數(shù)估計。

表1 5種方法的模型假設

所提方法的基本流程如圖1所示,具體步驟如下。

圖1 所提方法的可靠性分析流程圖

步驟 1首先需要檢驗收集的數(shù)據(jù)是否服從Weibull分布,在服從Weibull分布的前提下驗證形狀參數(shù)是否是恒定常數(shù)。

步驟 2從最初的試驗數(shù)據(jù)中利用最小二乘法計算尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的估計值,并根據(jù)式(10)～式(13)設置合理的先驗分布。

步驟 3根據(jù)步驟2的先驗分布和未知參數(shù)的似然信息就可以利用Gibbs采樣迭代地估計參數(shù)值。若經(jīng)過K次迭代后生成的鏈已經(jīng)符合收斂性檢驗,則可以將去掉燃燒期后的鏈的均值作為模型參數(shù)的估計值。若經(jīng)過K次迭代后生成的鏈沒有收斂,則需要重新設定初始值,重復上述迭代過程。

步驟 4根據(jù)步驟3的后驗估計值得出分位數(shù)的估計值和置信區(qū)間。

步驟 5計算均方根誤差(root mean square error,RMSE)和相對偏差(relative bias,RB)[29],并且對幾種方法進行對比及驗證。

4 實例分析

4.1 實例背景

該實例來自文獻[9],主要研究電容器的可靠性問題,響應變量為電容器失效的時間,影響可靠性壽命的因子主要包括:溫度和電壓。其中溫度應力為2水平變量,電壓應力為4水平變量,實驗設置由Zelen描述為“N個組件同時放置在試驗單元上”,這是一個子抽樣試驗設計。該試驗一共有8個試驗單元,每個單元有8個電容器,并且采用定數(shù)截尾的方式來終止試驗,本試驗預先設定的失效數(shù)目為4。本實驗中的觀測單位是每個試驗臺上的8個玻璃電容器,每個試驗臺均采用單獨的溫度、電壓處理組合。試驗的設計和壽命數(shù)據(jù)如表2所示，*代表刪失數(shù)據(jù)。

4.2 數(shù)據(jù)分析

運用本文提出的方法重新分析這個例子。首先,檢驗收集到的數(shù)據(jù)是否遵循Weibull分布。用Minitab軟件使用AD(Anderson-Darling)統(tǒng)計量檢驗所收集到的數(shù)據(jù)是否遵循Weibull分布,其結果如圖2所示。

表2 試驗設計及壽命數(shù)據(jù)

圖2 Minitab輸出結果

從圖2中發(fā)現(xiàn),每個處理組合的AD值都比較小,這意味著壽命數(shù)據(jù)很好地遵循Weibull分布。其次,利用Minitab軟件檢驗Weibull分布的形狀參數(shù)是否為常數(shù),結果表明,χ2=19.507 5,自由度df為7,p=0.007,這意味著可在2α=0.05水平下拒絕原假設。另外,可以看出最大的形狀參數(shù)(26.991)和最小的形狀參數(shù)(2.153 2)相差較大,不能簡單地將形狀參數(shù)假設為一個恒定常數(shù)。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析的結果,對模型參數(shù)設置合理的先驗分布,然后運用MCMC方法對模型參數(shù)進行估計。在此,對模型參數(shù)進行了120 000次迭代抽樣,并舍棄了前20 000次的抽樣,獲得了100 000次的模型參數(shù)抽樣值。為了消除未知參數(shù)抽樣值之間的自相關性,在此對抽樣獲得的后驗樣本每間隔10步抽樣一次,最后得到10 000個有效的模型參數(shù)抽樣值。然后,對所獲得的模型參數(shù)抽樣值進行收斂性檢驗,并列出蹤跡圖和自相關圖來幫助判斷參數(shù)抽樣值的收斂性?？紤]到篇幅限制,這里只提供θ2和第3組的第一分位數(shù)對應的參數(shù)后驗值的蹤跡圖(見圖3)和自相關圖(見圖4)。

從圖3和圖4中可知,在抽樣過程中,由于參數(shù)的不確定性其后驗抽樣值會圍繞某個確定的值上下波動,并且呈現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)分布的特征,因此可以直觀地判斷出所有的模型參數(shù)估計值具有良好的收斂性,可以利用其參數(shù)的抽樣值進行后續(xù)的統(tǒng)計推斷和數(shù)據(jù)分析。

圖3 模型參數(shù)后驗值的蹤跡圖

圖4 模型參數(shù)后驗值的自相關圖

表3列出了表1描述的模型的參數(shù)估計值,-為模型中未估計的參數(shù)。在應用本文提出的方法時,在考慮隨機效應對尺度參數(shù)和形狀參數(shù)都有影響時,產(chǎn)生的結果與之前的模型結果相比稍有不同。

表3 模型Ⅰ～Ⅴ的參數(shù)估計

從表3中可以看出,尺度參數(shù)的回歸模型系數(shù)沒有太大差別,但是形狀參數(shù)的回歸系數(shù)與前4種模型有較大差別,主要是因為本文方法考慮了隨機效應對形狀參數(shù)的影響。另外,形狀參數(shù)的隨機效應(σε=0.400 8)大于尺度參數(shù)的隨機效應(σμ=0.262 7),因此僅僅考慮隨機效應對尺度參數(shù)的影響而忽略隨機效應對形狀參數(shù)的影響是不合理的。在模型IV中,σμ=0.184,小于模型V中的0.262 7,這意味著,如果忽略了加速壽命分析中的隨機效應對形狀參數(shù)的影響,那么尺度參數(shù)的隨機效應就會被低估。為了獲得低分位數(shù)的精確估計,因此有必要將隨機效應同時納入到尺度參數(shù)和形狀參數(shù)中。表4給出了5種模型尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的估計值。

表4 模型Ⅰ～Ⅴ的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計

在可靠性優(yōu)化中,產(chǎn)品在其低分位點處的失效時間往往是生產(chǎn)商關注的焦點[29]。因此分位數(shù)估計在可靠性分析,尤其是在加速壽命分析中尤為重要。表5總結了模型Ⅰ～Ⅴ的第1、第5、第10和第50分位數(shù)及其95%的置信區(qū)間。由于模型Ⅲ、模型Ⅳ和模型Ⅴ考慮了非恒定形狀參數(shù)的假設,3個模型的第1、第5和第10分位數(shù)的結果與模型Ⅰ和模型Ⅱ中的稍有不同。 另外,模型Ⅴ和模型Ⅲ、模型Ⅳ的分位數(shù)估計以及置信區(qū)間有較大不同,產(chǎn)生這個結果的原因是模型Ⅴ考慮了隨機效應對形狀參數(shù)的影響。

從表5可以看出,模型V的95%置信區(qū)間范圍大于前4個模型的范圍,雖然本文方法在一定程度上增加了分位數(shù)估計的不確定性,但是改進了未知參數(shù)的估計精度。另外,表3的結果表明不能為了消除這種不確定性而忽略隨機效應對形狀參數(shù)的影響。

表5 模型Ⅰ～Ⅴ的分位數(shù)估計以及置信區(qū)間

續(xù)表5

為了說明本文所提方法的有效性,比較了所提方法與其他方法對分位數(shù)的估計精度。為了確保評價估計方法的精度,本文采用RB和RMSE兩個指標[30]。

(15)

(16)

RB1、RB2、RB3、RB4分別為文獻[5],文獻[10],文獻[2]以及本文方法的RB;RMSE1、RMSE2、RMSE3、RMSE4分別代表文獻[5],文獻[10],文獻[2]以及本文方法的RMSE。

RB和RMSE的分析比較結果分別列于圖5和圖6中。

從圖5中可以看出,RB4在所有方法中是最小的,這意味著本文提出的方法精度是比較好的。在圖6中可知,文獻[10]以及本文所提方法所獲得RMSE的值小于文獻[5]以及文獻[2]中的值。在第1、第5、第10分位數(shù)中,雖然RB3的值是較小的,但是RMSE3的值是大于其他3種方法的,由此表明雖然文獻[2]所提方法正確地考慮了隨機效應對尺度參數(shù)的影響,但是卻增大了分位數(shù)預測值的波動。由于本文所提方法考慮了隨機效應對形狀參數(shù)的影響,同時利用貝葉斯隨機抽樣方法考慮了模型參數(shù)的不確定性以及隨機誤差對模型參數(shù)估計的影響,因此在對低分位數(shù)的估計方面是更為穩(wěn)健。

圖5 分位數(shù)估計的RB

圖6 分位數(shù)估計的RMSE

5 方法討論

針對可靠性壽命的低分位數(shù)估計的偏差和存在刪失情況的問題,為了改善分析結果的可靠性,本文研究加速壽命試驗數(shù)據(jù)的分析與處理方法,結合貝葉斯抽樣方法與NLMM,提出一種改進方法。首先,利用Weibull分布擬合壽命試驗數(shù)據(jù),并檢驗各組數(shù)據(jù)的形狀參數(shù)是否恒定。其次,考慮隨機效應對尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的影響,建立相應的貝葉斯模型。此外,結合電容器試驗案例,對不同優(yōu)化方法的研究結果進行了比較。根據(jù)本文的研究結果可得結論如下。

(1) 在ALT中,因研究對象的復雜程度、試驗因子數(shù)量[31]、試驗條件存在很大差異,加上樣本數(shù)量有限、存在混合刪失現(xiàn)象等原因,使得試驗數(shù)據(jù)的分析、建模存在較大難度。同時,因為不存在通用的模型和方法,需要針對實際的樣本數(shù)據(jù)開展針對性分析和研究,提出合適的模型和算法。由于本文選用的案例數(shù)據(jù)屬于II型刪失,因此本文所提方法只是初步驗證了算法在II型刪失中的有效性,但還不足以證明該方法的通用性和適用范圍,例如在I型刪失數(shù)據(jù)中,每組刪失個數(shù)不同,很難建立一個通用的模型來擬合數(shù)據(jù)。

(2) 本文在以往相關文獻的基礎上進一步考慮了尺度參數(shù)的隨機效應。以往文獻通常假設非隨機化設計只影響尺度參數(shù),然而,尺度參數(shù)和形狀參數(shù)通常是在建模過程中結合具體的試驗數(shù)據(jù)共同擬合估計出來。因此不能在建模過程中忽視形狀參數(shù)的隨機效應對研究結果的影響。正如文獻[2]所指出的那樣“在未來研究中應該考慮將尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的隨機效應納入統(tǒng)一模型框架中。然而,由于NLMM的數(shù)值積分問題非常復雜,因此有待進一步研究?！?本文利用貝葉斯方法對所構建的新模型進行參數(shù)估計,不僅在以往研究基礎上考慮形狀參數(shù)的隨機效應,而且還利用貝葉斯抽樣方法考慮模型參數(shù)不確定性以及隨機誤差對模型參數(shù)估計結果的影響。根據(jù)研究結果可知,在建模過程中考慮形狀參數(shù)的隨機效應會在一定程度上增加分位數(shù)估計結果的不確定性,但同時又能提高低分位數(shù)估計結果的穩(wěn)健性。然而,表3中的研究結果表明:形狀參數(shù)的隨機效應σε大于尺度參數(shù)σμ的隨機效應。因此,在建模過程中忽視形狀參數(shù)的隨機效應可能會導致一些與實際不太吻合的研究結論,甚至是錯誤結果。

(3) 若直接用數(shù)值積分方法來計算上述的NLMM往往會非常復雜,因為其模型參數(shù)的后驗分布往往異常復雜,在很多情況下往往無法獲得其封閉的概率密度函數(shù)。因此,借助貝葉斯抽樣方法(如Gibbs抽樣)來獲得模型參數(shù)的后驗抽樣值,然后據(jù)此來計算模型參數(shù)后驗抽樣值的均值,從而借助貝葉斯方法實現(xiàn)對NLMM的估計,解決了NLMM模型的計算精度和積分點選取的問題。

6 結 論

在加速壽命設計的可靠性分析中,往往需要考慮未完全隨機化設計對可靠性壽命的影響。本文結合貝葉斯抽樣方法與NLMM方法提出了一種可靠性壽命分析的新方法。該方法不僅考慮了隨機效應對模型尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的影響,而且還解決了兩階段方法中似然函數(shù)不統(tǒng)一和NLMM中使用Gauss-Hermite法中計算精度和積分點選取的問題。另外,通過實例證明該方法在存在高波動情況下對低分位數(shù)估計也是穩(wěn)健的。

需要特別指出的是,本文中先驗分布的選擇具有一定的主觀性,下一步需要進一步地驗證先驗信息對可靠性壽命估計的靈敏度。此外,在可靠性分析時,尤其對于ALT來說,在低應力水平下樣本失效數(shù)據(jù)少,甚至出現(xiàn)一組數(shù)據(jù)全部刪失的情況。若某組試驗數(shù)據(jù)全部刪失,此時可利用的信息較少,無論樣本的失效機制是否相同,都不能計算該組樣品的特征參數(shù)。文獻[32]針對失效數(shù)據(jù)少的問題,提出了一種分層貝葉斯方法,從其他分組中共享信息。在處理某組樣本數(shù)據(jù)全部是刪失情況時,文獻[33]只是簡單的刪除此組數(shù)據(jù),可能會剔除掉一些重要信息。因此,在某組壽命數(shù)據(jù)全部刪失的情況下,未來需要考慮的是如何借助貝葉斯方法獲取更多的信息以便進行下一步分析。另外,本文僅考慮試驗數(shù)據(jù)服從威布爾分布的情況。若試驗數(shù)據(jù)不服從Weibull分布時,則需要進一步判斷試驗數(shù)據(jù)是否滿足常見分布如對數(shù)正態(tài)分布或指數(shù)分布。若試驗數(shù)據(jù)滿足常見分布,則可以參考本文所提出的貝葉斯建模方法對相關模型進行參數(shù)估計與可靠性數(shù)據(jù)分析。若試驗數(shù)據(jù)不滿足常見分布,本文所提方法將不再適用,則有待未來對此類問題開展更為深入的研究。