徐志浩, 周召發(fā),*, 常振軍, 郭 琦

(1. 火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院, 陜西 西安 710025; 2. 中國(guó)人民解放軍96902部隊(duì), 北京 100015)

0 引 言

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system, SINS)具有自主性高、隱蔽性好等優(yōu)點(diǎn),車(chē)載武器系統(tǒng)多利用SINS實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航功能,在慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)入導(dǎo)航工作狀態(tài)之前必須進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)[1],其對(duì)準(zhǔn)效果對(duì)后續(xù)的導(dǎo)航有直接影響[2-4]。

初始對(duì)準(zhǔn)通常分為粗對(duì)準(zhǔn)和精對(duì)準(zhǔn)兩個(gè)部分[5-6],而慣性系矢量定姿法具有較強(qiáng)的抗干擾能力,因而通常用于粗對(duì)準(zhǔn),使初始對(duì)準(zhǔn)誤差達(dá)到小角度[7],是當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)[8-9],但相關(guān)研究多是基本矢量定姿對(duì)準(zhǔn)算法的各種變形,對(duì)原理闡述較多,如文獻(xiàn)[10-13],但對(duì)算法誤差特性,特別是多矢量定姿對(duì)準(zhǔn)的誤差分析還不夠充分?，F(xiàn)代控制理論往往采用卡爾曼濾波對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精對(duì)準(zhǔn)[14-15],決定卡爾曼濾波狀態(tài)估計(jì)收斂速度和收斂精度的是系統(tǒng)狀態(tài)變量的可觀(guān)測(cè)性,當(dāng)前對(duì)其可觀(guān)測(cè)性分析較多,如文獻(xiàn)[16-19],但大多是為其提出的提高系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性方法提供依據(jù),而沒(méi)有對(duì)其誤差進(jìn)行分析。初始對(duì)準(zhǔn)的實(shí)時(shí)性標(biāo)志著武器系統(tǒng)的快速反應(yīng)能力[20],而高精度與短時(shí)間難以同時(shí)滿(mǎn)足,但通過(guò)對(duì)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)中所含信息的反復(fù)利用和挖掘,有望在不增加對(duì)準(zhǔn)時(shí)間的前提下提高對(duì)準(zhǔn)性能[21-23]。

本文從理論上對(duì)慣性系多矢量定姿法誤差特性和最優(yōu)估計(jì)對(duì)準(zhǔn)的可觀(guān)測(cè)性及誤差進(jìn)行了分析,得出靜基座下其對(duì)準(zhǔn)精度相當(dāng)?shù)慕Y(jié)論,并進(jìn)行了驗(yàn)證;針對(duì)對(duì)準(zhǔn)時(shí)間較短時(shí),多矢量定姿法存在較大波動(dòng)的問(wèn)題,本文將對(duì)準(zhǔn)階段的所有數(shù)據(jù)均用于多矢量定姿和最優(yōu)估計(jì),以提高對(duì)準(zhǔn)精度;針對(duì)兩種對(duì)準(zhǔn)算法抗干擾能力不同的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了算法融合的車(chē)載對(duì)準(zhǔn)方案,并進(jìn)行了試驗(yàn)。

1 多矢量定姿法精度分析

1.1 算法原理

設(shè)地心慣性坐標(biāo)系(i系)、地球坐標(biāo)系(e系)、導(dǎo)航坐標(biāo)系(取東北天坐標(biāo)系,n系)、載體坐標(biāo)系(取右前上坐標(biāo)系,b系)、初始時(shí)刻慣性坐標(biāo)系(i0系)、凝固導(dǎo)航慣性系(in 0系),凝固載體慣性系(ib 0系),相關(guān)定義見(jiàn)文獻(xiàn)[24]。

(1)

n系相對(duì)in 0系做定軸轉(zhuǎn)動(dòng),由于ωie為小量,當(dāng)t較小時(shí),ωiet亦為小量,則

(2)

(3)

由比力方程得

(4)

記

那么式(4)可變形為

(5)

s.t.QTQ=1

(6)

1.2 誤差分析

(7)

式中,Q為姿態(tài)四元數(shù)的真實(shí)值;δQ為加性誤差四元數(shù)。若不存在測(cè)量誤差,則有

K0Q=λ0Q

(8)

式中,K0為K的真實(shí)值,且K0T=K0;λ0為λ的真實(shí)值。

(9)

即(K0+δK)(Q+δQ)=(λ0+δλ)(Q+δQ)。

忽略高階小量可得

δλQ=δKQ+(K0-λ0I)δQ

(10)

將式(10)兩邊同時(shí)左乘QT得

δλ=QTδKQ+QT(K0-λ0I)δQ=QTδKQ

(11)

QTδQ=0

(12)

綜合式(10)和式(12)得

(K0-λ0I+QQT)δQ=-(δK-δλI)Q

(13)

考慮到初始對(duì)準(zhǔn)的物理意義,四元數(shù)Q是唯一的,其對(duì)應(yīng)的特征值λ0也是唯一的,此時(shí)K0-λ0I+QQT可逆[29],則結(jié)合式(11),有

δQ=-(K0-QTK0QI+QQT)-1(δK-QTδKQI)Q

(14)

α(t)=β(t)=gin 0

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

(15e)

λ0=QTK0Q=tr(B0)=g2t

(15f)

綜合式(15a)～式(15f)得

(K0-QTK0QI+QQT)-1=

(16)

(17)

由式(1)可得

(18)

(19a)

(19b)

(19c)

將式(19a)～式(19c)代入式(18),整理可得

(20)

根據(jù)式(19c)有

(21)

將式(21)取微分可得

(22)

將式(3)、式(17)、式(21)代入式(22),整理可得

(23)

因此,有

(24)

(25)

當(dāng)載體速度為零時(shí),

(26)

根據(jù)式(21),忽略二階小量,得

(27)

由式(2)、式(25)和式(27)得

(28)

結(jié)合式(15a)和式(15b)可得

(29)

結(jié)合式(15a)可得

(30)

(31)

綜合式(29)～式(31)可以求得δK0關(guān)于慣性器件誤差的表達(dá)式,連同式(16)代入式(14),可得δQ關(guān)于慣性器件誤差的表達(dá)式。

記乘性誤差四元數(shù)為δQ1,則根據(jù)乘性誤差四元數(shù)與失準(zhǔn)角之間的關(guān)系,可得

(32)

對(duì)比式(32)中的矢量部分,可得

(33)

將Q和δQ代入式(33),整理可得

(34)

考慮到對(duì)準(zhǔn)時(shí)間較短,忽略εt有關(guān)的誤差項(xiàng)及高階小量,結(jié)合式(20)、式(25)、式(34),整理可得

(35)

2 最優(yōu)估計(jì)法初始對(duì)準(zhǔn)精度分析

2.1 Kalman濾波模型

(36)

(37)

式中,Z為量測(cè)量;H=[03×3,I3×3,03×3,03×3]為量測(cè)矩陣;v為量測(cè)噪聲。

該模型為常用對(duì)準(zhǔn)模型,詳細(xì)過(guò)程可見(jiàn)文獻(xiàn)[30]。

2.2 可觀(guān)測(cè)性與對(duì)準(zhǔn)精度分析

式(36)和式(37)描述的系統(tǒng)可視為線(xiàn)性定常系統(tǒng),其可觀(guān)測(cè)性矩陣為

Q1=[HT, (HA)T, …, (HAn-1)T]T,n=12

(38)

(39)

式中,mi和ni滿(mǎn)足

(40)

將式(39)代入式(38),根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)理論,矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,因此可得

(41)

由m2可知,當(dāng)L不等于0°或90°,即對(duì)準(zhǔn)地點(diǎn)不位于赤道或極點(diǎn)時(shí),m2的各行線(xiàn)性無(wú)關(guān),從而可得S的秩為3,Q1的秩為9。同理分析可得:當(dāng)對(duì)準(zhǔn)地點(diǎn)位于赤道處時(shí),Q1的秩為9;當(dāng)對(duì)準(zhǔn)地點(diǎn)位于極點(diǎn)處時(shí),Q1的秩為8。

根據(jù)上述分析可知,除極點(diǎn)外,可觀(guān)測(cè)矩陣的秩為9,表明系統(tǒng)有9個(gè)互不相關(guān)的可觀(guān)測(cè)狀態(tài)組合。

(42)

可得修正后的姿態(tài)矩陣為

(43)

(44)

3 算法融合及信息復(fù)用

目前,多采用多矢量定姿粗對(duì)準(zhǔn)和最優(yōu)估計(jì)精對(duì)準(zhǔn)的方式獲取SINS初始姿態(tài),而最終獲得的姿態(tài)與多矢量定姿結(jié)果沒(méi)有直接關(guān)系。對(duì)比多矢量定姿法的誤差分析結(jié)果可知,多矢量定姿法和最優(yōu)估計(jì)法具有相同的理論極限精度。由于兩種算法原理不同,其對(duì)外界干擾具有不同的響應(yīng)特性,因此將兩種算法的結(jié)果進(jìn)行加權(quán)平均有望提高對(duì)準(zhǔn)結(jié)果的魯棒性。

圖1 基于信息復(fù)用的初始對(duì)準(zhǔn)方案

4 試驗(yàn)分析

為驗(yàn)證理論分析結(jié)果,將SINS安裝在圖2所示的轉(zhuǎn)臺(tái)上進(jìn)行對(duì)準(zhǔn)試驗(yàn)。

圖2 室內(nèi)靜基座對(duì)準(zhǔn)試驗(yàn)設(shè)備

系統(tǒng)采樣頻率200 Hz,陀螺常值漂移分別為0.005 0°/h、0.004 8°/h、0.004 5°/h,加速度計(jì)零偏分別為47 μg、51 μg、37 μg。方位角誤差的理論值根據(jù)試驗(yàn)地點(diǎn)的緯度和慣性器件的誤差參數(shù)計(jì)算得到,實(shí)際的方位角值通過(guò)高精度擺式陀螺尋北儀得到。

共進(jìn)行10次對(duì)準(zhǔn)試驗(yàn),航向角誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差變化曲線(xiàn)如圖3所示。為便于比較各算法的性能,圖3中還給出了解析法的對(duì)準(zhǔn)誤差曲線(xiàn)。

圖3 初始對(duì)準(zhǔn)轉(zhuǎn)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果

可以看出,在實(shí)驗(yàn)室靜基座對(duì)準(zhǔn)時(shí),由于干擾很小,解析法的對(duì)準(zhǔn)精度最高,而最優(yōu)估計(jì)法與多矢量定姿法對(duì)準(zhǔn)精度基本一致,這與理論分析結(jié)果相吻合,且對(duì)準(zhǔn)時(shí)間較短時(shí),多矢量定姿法誤差存在較大波動(dòng)。

為進(jìn)一步驗(yàn)證對(duì)準(zhǔn)算法的性能,將室內(nèi)靜基座對(duì)準(zhǔn)試驗(yàn)所用的SINS安裝在試驗(yàn)用車(chē)上進(jìn)行車(chē)載對(duì)準(zhǔn)試驗(yàn),如圖4所示。

圖4 車(chē)載對(duì)準(zhǔn)試驗(yàn)設(shè)備

車(chē)載初始對(duì)準(zhǔn)試驗(yàn)在發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)和人員上下車(chē)條件下進(jìn)行,對(duì)多矢量定姿法、估計(jì)1(60 s粗對(duì)準(zhǔn)和240 s精對(duì)準(zhǔn))、估計(jì)2(信息復(fù)用對(duì)準(zhǔn)方案)、算法融合對(duì)準(zhǔn)方案進(jìn)行對(duì)比分析,4種算法對(duì)準(zhǔn)時(shí)間均為300 s,擺式陀螺尋北儀測(cè)量得到的方位角為9.627 5°,10次對(duì)準(zhǔn)結(jié)果如表1所示。由表1可知,在干擾條件下,估計(jì)2的10次對(duì)準(zhǔn)均值的精度比估計(jì)1更高且標(biāo)準(zhǔn)差明顯更小;融合算法的對(duì)準(zhǔn)精度優(yōu)于估計(jì)2,且標(biāo)準(zhǔn)差更小,說(shuō)明通過(guò)算法融合可以提高干擾條件下的對(duì)準(zhǔn)精度及魯棒性。

表1 不同算法對(duì)準(zhǔn)結(jié)果

5 結(jié) 論

本文對(duì)慣性系多矢量定姿法誤差特性和最優(yōu)估計(jì)初始對(duì)準(zhǔn)的可觀(guān)測(cè)性和誤差進(jìn)行了理論分析,得出靜基座下兩種方法的對(duì)準(zhǔn)精度相當(dāng)?shù)慕Y(jié)論,并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證;針對(duì)對(duì)準(zhǔn)時(shí)間較短時(shí),多矢量定姿法存在較大波動(dòng)的問(wèn)題,將對(duì)準(zhǔn)階段的所有數(shù)據(jù)均用于矢量定姿粗對(duì)準(zhǔn)和最優(yōu)估計(jì)精對(duì)準(zhǔn),有效提高了對(duì)準(zhǔn)精度;針對(duì)兩種對(duì)準(zhǔn)算法抗干擾能力不同的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了算法融合的車(chē)載對(duì)準(zhǔn)方案,車(chē)載試驗(yàn)表明,新方案有效提高了干擾條件下的對(duì)準(zhǔn)精度和魯棒性,可將方位角標(biāo)準(zhǔn)差由傳統(tǒng)方案的1.48′減小到0.72′。