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        聚焦核心素養(yǎng) 關(guān)注學(xué)生發(fā)展
        ——《鴿巢問題》教學(xué)設(shè)計

        2021-05-06 09:29:50劉興盛
        關(guān)鍵詞:張牌筆筒撲克牌

        文|劉興盛

        【教學(xué)內(nèi)容】

        人教版六年級下冊第68頁例1。

        【教學(xué)過程】

        一、創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課

        師:同學(xué)們玩過撲克牌嗎?

        生:玩過。

        師:下面我們用撲克牌來玩?zhèn)€游戲。大家知道一副撲克牌有54張,取出大小王后,還剩52 張牌,如果從這52 張中隨意抽出5 張牌,我敢肯定地說,這5 張撲克牌中至少有2 張是同花色的。你們相信嗎?

        生:信。

        生:不信。

        師:那我們就來驗證一下。五位同學(xué)各抽1 張,驗證至少有2 張是同花色的。

        師:如果再請五位同學(xué)來抽,我還敢肯定地說,抽取的這5 張牌中至少有2 張是同花色的。

        師:其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數(shù)學(xué)問題,這節(jié)課我們就一起來研究鴿巢問題。(板書課題)

        二、合作探究,解決問題

        1.出示課件。

        例1:把4 支鉛筆放進3 個筆筒中,不管怎么放,總有一個筆筒里至少有( )支鉛筆。

        師:把4 支鉛筆放進3 個筆筒中,請小組的同學(xué)擺擺看,在動手之前請看活動要求。

        要求:(1)擺一擺:四人為一組,所有的筆都必須放進筆筒里,允許某個筆筒空著。不考慮筆筒的順序,只考慮筆筒內(nèi)筆的支數(shù)。

        (2)想一想:怎樣放才能做到既不重復(fù),也不遺漏?

        (3)寫一寫:用喜歡的方式表示出來。

        (4)每個組要邊擺邊記錄,記錄時,用0 表示筆筒,用1 表示鉛筆,畫一畫,看看一共有幾種擺法?

        2.匯報展示。

        (1)枚舉法。

        師:誰來說說你們是怎么擺的?

        學(xué)習(xí)小組派代表到臺前展示成果,可能會出現(xiàn)以下幾種放法:

        生:我們一共擺出四種情況,在每一種情況中,都總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

        生:把4 支鉛筆放進3 個筆筒中,不管怎么放,總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

        師:“總有”是什么意思?

        生:總會有、一定有、肯定有、一定存在。

        師:“至少”是什么意思?

        生:最少、不低于、不少于、最低限度。

        師:在數(shù)學(xué)上,把“總有……至少……”稱為最不利的情況,即該現(xiàn)象存在的最少情況。“至少有2支”是什么意思?

        生:最少有2 支,不少于2 支,可能是2 支,也可能多于2 支。

        師:不管怎么放,總有一個筆筒里放了2 支或2 支以上的鉛筆。

        師:(指著圖)這種方法叫枚舉法,直觀列出所有的結(jié)果,能很清楚地進行解釋。但有局限性,數(shù)字大了操作起來相當(dāng)繁瑣。

        師:你們還有不同的方法嗎?

        生:我們組是把4 分解成3 個數(shù),共有四種分法,(4 0 0)、(3 1 0)、(2 2 0)、(2 1 1)。

        師:你有什么發(fā)現(xiàn)?

        師:在每種情況分得的三個數(shù)中,至少有一個數(shù)是不小于2(大于或等于2)的數(shù),就說明總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

        師:真是個聰明的孩子,用數(shù)字幫助解決問題,簡潔、明了。

        (2)假設(shè)法。

        師:假設(shè)每個筆筒中只放1 支鉛筆,那會是怎樣的結(jié)果呢?

        生:我是這樣想的,在每個筆筒中放1 支,3 個筆筒就放了3支。剩下的1 支就要放進其中的一個筆筒。所以至少有一個筆筒中有2 支鉛筆。

        師:你為什么要先在每個筆筒中放1 支呢?

        生:因為總共有4 支,平均分,每個筆筒只能分到一支。

        師:你為什么一開始就要平均分呢?

        生:因為平均分,就可以使每個筆筒的筆盡可能少,以保證得到至少數(shù)。

        (板書:4÷3=1……1 2)

        師:到現(xiàn)在為止,我們可以得出什么結(jié)論?

        生:(齊讀)把4 支鉛筆放進3個筆筒中,不管怎么放,總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

        小結(jié):我們把這種思考方法叫假設(shè)法。抽象,不受數(shù)據(jù)的限制,具有一般性,能很清楚、簡潔地說明問題。

        3.認(rèn)識“鴿巢問題”。

        師:像這樣的數(shù)學(xué)問題,就是“鴿巢問題”或“抽屜問題”,它里面蘊含著一個數(shù)學(xué)道理,叫“鴿巢原理”或“抽屜原理”。最先是由19 世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出的,因此又叫做狄利克雷原理。

        師:在這里“4 支鉛筆”看作“4只鴿子”,“3 個筆筒”看作“3 個鴿巢”。上面這個問題就變成了鴿子飛回鴿巢的問題了,把此問題用鴿巢問題的語言描述就是讓4 只鴿子飛進3 個鴿巢中,總有一個鴿巢里至少飛進2 只鴿子。

        三、提升思維,構(gòu)建模型

        1.加深感悟。

        師:剛才我們通過不同的方法驗證了這句話是正確的?,F(xiàn)在老師不斷改變數(shù)據(jù),你們看看發(fā)現(xiàn)了什么?

        師:把5 支鉛筆放進4 個筆筒里,會出現(xiàn)什么情況?

        生:總有一個筆筒至少放2 支鉛筆。

        師:能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎?

        (板書:5÷4=1……1 2)

        師:把6 支鉛筆放進5 個筆筒里,會出現(xiàn)什么情況?

        生:總有一個筆筒至少放2 支鉛筆。

        師:能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎?

        (板書:6÷5=1……1 2)

        師:把100 支鉛筆放進99 個筆筒呢?

        生:還是總有一個筆筒至少放2 支鉛筆。

        師:能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎?

        (板書:100÷99=1……1 2)

        (n+1)÷n(n 是正整數(shù))=1……1 2

        師:通過剛才的分析,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

        生:只要鉛筆的支數(shù)比筆筒的個數(shù)多1,就總有一個筆筒里至少要放進2 支鉛筆。

        生:如果鉛筆的支數(shù)比筆筒的個數(shù)多2,也總有一個筆筒里至少要放進2 支鉛筆;如果鉛筆的支數(shù)比筆筒的個數(shù)多3,也總有一個筆筒里至少要放進2 支鉛筆……

        師:我們可以用“鴿巢問題”的語言描述:有多于n 只鴿子飛進n個鴿巢,總有一個鴿巢里至少飛進2 只鴿子。

        2.揭秘撲克牌游戲。

        師:現(xiàn)在,你能利用這一原理揭秘撲克牌游戲嗎?5 人抽出了5 張牌,這5 張牌相當(dāng)于5 個待分物體,撲克牌有4 個花色,相當(dāng)于4 個鴿巢,5 張牌歸入4 個花色,那么總有一個花色至少有2 張牌。

        四、運用模型,內(nèi)化提高

        師:鴿巢問題在生活中隨處可見,它其實就是解決該類問題的一種方法、一個模型,在解決問題時關(guān)鍵是要看清什么是“鴿巢”,什么是“待分物體”。

        1.鴿巢問題。

        課件出示做一做:11 只鴿子飛進3 個鴿籠,總有一個鴿籠至少飛進了4 只鴿子。為什么?

        師:組內(nèi)討論解決,匯報:你能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎?

        生:用物體的總數(shù)除以鴿籠數(shù):11÷3=3……2。

        小結(jié):盡量平均分,目的是為了找至少數(shù),所以總有一個鴿籠至少飛進了4 只鴿子。即除得的商有余數(shù),至少數(shù)=商+1;或反之,除得的商沒有余數(shù),至少數(shù)=商。

        2.你能舉出一些用鴿巢問題解釋的生活中的例子嗎?

        生:3 個人中,至少有2 個人是同一性別的;任意13 個人中,至少有2 個人是同一屬相的;高速路口同時有4 輛車通過3 個收費站,至少有2 輛車通過同一個收費站……

        五、回顧整理,反思提升(略)

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