文|金宇佶

折紙起源于中國，是利用紙的不同質地、性能，采用折、疊、卷、翻、插等手法，輔之以剪、接、嵌、拼、畫等技巧，表現(xiàn)出各種物體形象的古老藝術。在折紙拓展課的教學中，筆者發(fā)現(xiàn)在一系列折疊過程中，很自然地會出現(xiàn)諸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等幾何形狀；對角線、中點、垂直等幾何名稱；全等、勾股定理等幾何法則。可見，數(shù)學與折紙有著密不可分的關系，這讓筆者引發(fā)了挖掘折紙在數(shù)學教學上的價值，將“折紙拓展課”和小學數(shù)學教學相結合的思考。

一、折紙引入的思維——“妙趣橫生”策略

1.作品為媒——引發(fā)數(shù)學思考。

折紙作品為數(shù)學學習披上了一件有趣而又神秘的外衣。將一張普通的紙變成了各種惟妙惟肖的折紙作品，而這么有趣的作品還能跟數(shù)學知識相結合，吸引了學生的注意力，對激發(fā)學生數(shù)學思考起到了事半功倍的效果。

例如，在以“軸對稱圖形”為主題的數(shù)學折紙拓展課中，在新課一開始，教師出示兩架紙飛機（一架對稱，一架不對稱），讓學生通過觀察來判斷哪架能飛得遠并說明理由，從而引出“軸對稱”的概念。這在一開始就牢牢地吸引了學生們的眼球，并激發(fā)了他們的探索欲望。同時，大多數(shù)學生有過玩紙飛機的經(jīng)驗，利用紙飛機引入課題，有效地調(diào)動起學生的生活經(jīng)驗，立馬將學生的注意力引到“兩邊是不是一模一樣”這一問題上來，對“對稱”的現(xiàn)象有了初步的了解，為進一步理解“對稱”奠定了基礎。

2.游戲為介——促進探索欲望。

魯迅先生曾說“游戲是兒童最正當?shù)男袨?，玩具是兒童的天使?！币杂螒驗槊浇閯?chuàng)設有趣的問題情境能最大限度地調(diào)動學生學習的積極性，從而激發(fā)學生的智慧。折紙游戲作為一項“寓教于樂”的益智游戲，一直以來都深受學生的喜愛。教師在充分考慮學生的學習基礎和心理特點的基礎上，設置一些既具有趣味性，又具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題，并以折紙任務為載體開展數(shù)學探究，將原本枯燥、乏味的數(shù)學知識融于學生喜愛的折紙活動中，不僅能滿足學生愛玩好動的天性，還滿足了學生愛挑戰(zhàn)的心理需求。

例如，在三年級上冊認識長方形和正方形時，有這樣一類題目：

學習初始，此類題目成為學習中的一個難點，好多學生一看到問題便無所適從、望而卻步。筆者將這一數(shù)學問題融于折紙任務中，課始出示一張長方形紙并告訴學生：今天這節(jié)折紙課需要用到正方形，可是老師這里只有長方形，你們能想辦法從長方形中折出一個正方形并剪下來嗎？先折一折，一會兒我們比一比誰折出來的正方形最大。這樣的問題情境看似簡單有趣，但蘊含了深刻的數(shù)學原理，更喚起了學生思考和創(chuàng)造的欲望，急于知道問題結果帶來的魅力成為學生主動學習的牽引力。

二、折紙?zhí)剿鞯乃季S——“妙想天開”策略

1.在反復折疊中漸悟。

建構主義學習理論認為：在數(shù)學建構學習活動中，獲得“個人體驗”是非常重要的，“個人體驗”既包括語言表征，又包括非語言表征，即情節(jié)表征和動作表征。建構學習需要經(jīng)過反復的體驗和一定的智力參與才能實現(xiàn)。在折紙過程中，很多數(shù)學原理總能在一系列折疊中反復地出現(xiàn)，這使學生獲得了充分直接體驗和視覺印象。在此基礎上，只要教師輕輕點撥，并引導學生細細觀察、思考，學生便會自然地發(fā)現(xiàn)特征并逐漸領悟。

將一個角對折是折紙中一種較為普遍的折疊現(xiàn)象。在一次折紙籃子時，當學生把正方形角對角對折后，我將學生的注意力引入到對角線所在的一個直角上。請學生觀察：當我們這樣對折再打開，原本的直角發(fā)生了什么變化？學生很快就注意到原本的直角被分成了兩個一樣大小的角。此時告訴學生折紙過程中會出現(xiàn)很多像這樣把一個角平分成兩個一樣大的角的線，并讓學生在接下去的折疊過程中不斷找出這樣的線。一開始，學生只關注到直角中的角平分線，后來開始注意到了銳角中的角平分線，再后來學生還找出了平分的兩個角所在面不一樣的角平分線。最后我讓學生給像這樣把一個角平分成兩個相同大小的角的線取一個名字，學生很自然地把“角”“平分”“相等”這樣的字眼放了進去。當教師將“角平分線”四個字寫在黑板上后，學生豁然開朗。通過教師的引導，將一個普通的折紙過程變成動手“做數(shù)學”的過程，在“做”與“思考”的過程中積淀，將基本生活經(jīng)驗提升為數(shù)學基本活動經(jīng)驗，引導學生參與概念的形成，在饒有趣味的折紙?zhí)剿髦凶匀欢坏乩斫饬恕敖瞧椒志€”的意義。

2.在試誤折疊中頓悟。

當代科學家、哲學家波普爾說過：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤方法”。筆者將這種“試誤”的方法也運用到數(shù)學折紙中：讓學生按照自己的方法去折疊、去發(fā)現(xiàn)問題。針對這一問題，在教師的指導下，用數(shù)學的眼光去分析思考并最終解決問題，獲得數(shù)學體驗。

例如，在折紙過程中，我們經(jīng)常會用“先對折再打開”的方法為接下來的折疊確定合適的位置，大多數(shù)的折痕其實就是兩邊的對稱軸。學生雖然會跟著教師做，但他們卻并不明白其中的奧秘，更不會去思考隱藏在背后的數(shù)學問題。在一節(jié)折紙課上，筆者有意在折之前沒讓學生對折，只讓學生按照圖解將兩個小角折向大角的左右兩邊。大多數(shù)直接將兩個角往上折，最后折出的圖形一邊大一邊小，不太美觀?！霸趺礃硬拍茏龅絻蛇呉粯哟竽?？”當教師拋出這個問題，學生馬上想到了要先對折一下。“為什么這樣對折一下就能兩邊一樣了？”有學生說這條線把這條長的邊對分開了，有的學生說這條線是直角的角平分線，也有學生發(fā)現(xiàn)這條線就是一條對稱軸……

教師的一次“使壞”，讓學生走了一點小彎路，但讓學生關注到了像這樣看似可有可無的“對折”，它既把邊等分了，又把角平分了，更將兩邊的面分得一模一樣了。這個經(jīng)歷不僅讓學生關注到了折紙過程中的“對稱性”，也對幾何中的“三線合一”有了初步的感知。

三、折痕研究的思維———“奇思妙想”策略

1.異中求同，突顯本質。

求同思維是根據(jù)一定的知識或事實，進行觀察、分析、歸納、演繹及推理等方法得以獲得對某一問題的最佳或最正確的答案的一種思維形式。求同思維的培養(yǎng)可以提高學生數(shù)學綜合概括能力，幫助學生準確把握數(shù)學本質，發(fā)現(xiàn)數(shù)學中規(guī)律性的東西。將折紙作品展開，原本平整的紙張出現(xiàn)了許多的折痕，這是我們非常熟悉的經(jīng)歷。然而紙面上縱橫交錯的折痕，綜合呈現(xiàn)了不同的數(shù)學現(xiàn)象，為學生從各種事實中挖掘數(shù)學本質提供了有效又有趣的學習材料。

例如，在初步認識了分數(shù)后，教師提供給學生“雙正方形展開圖”，即米字形折痕。然后讓學生根據(jù)折痕涂出兩個三角形，并用分數(shù)表示涂色部分。教師先從涂出的圖形不一樣但分數(shù)都是的情況讓學生觀察思考：為什么它們涂出來的形狀不一樣，但表示的分數(shù)都是？從而讓學生意識到分數(shù)與所分的總份數(shù)和取的份數(shù)有關，與形狀無關。接著教師又出示學生作業(yè)中出現(xiàn)的不一樣的表示方法，即“結合圖形進行觀察分析，發(fā)現(xiàn)這個分數(shù)也可以用來表示涂色部分，經(jīng)過對比了解到和大小相等。

2.同中求異，深刻認知。

求異思維又稱發(fā)散性思維，這種思維的目的不是去重復別人走過的老路，而是一種不依于常規(guī)、勇于開拓創(chuàng)新的思維。在數(shù)學中，構建求異思維可以促使學生從新的角度看待問題，用新的思路分析問題，從而不斷增加學生數(shù)學知識的總量，并不斷推進學生對數(shù)學問題的認知水平。在小學數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的求異思維至關重要。對折痕的探究也為學生發(fā)現(xiàn)新情況、新問題提供了更廣闊的空間。

通過“折飛機”的活動，學生對對稱現(xiàn)象有了一定理解，但這種認識僅僅是立足于整體的。將飛機模型展開并仔細觀察折痕，我們就能發(fā)現(xiàn)在這些折痕中，每一條線段都能找到與之對稱的線段，每一個因相交形成的點都能找到與之對稱的點，每一個由折痕連接成的圖案也會有相應的圖案和它對稱。例如，下圖折紙作品的展開圖，以小組活動的形式進行找對應的幾何圖形活動，不同組學生之間在活動中產(chǎn)生了分歧，通過討論，大家發(fā)現(xiàn)在這個折紙作品展開圖中一共有四條對稱軸，對稱軸不同，與之對稱的圖形的位置會發(fā)生改變。

曾經(jīng)在我們眼里不起眼的折痕，居然也能為數(shù)學學習所用，幫助我們探索數(shù)學奧秘，這對學生來說實在是奇妙不過，極大地調(diào)動了學生的學習興趣。引導學生對“折痕”進行觀察、思考、想象、猜想、驗證，從宏觀地觀察軸對稱現(xiàn)象轉變?yōu)楦⒂^、更細致地探索，促使學生對軸對稱現(xiàn)象有更深一步的感知。

四、折紙創(chuàng)造的思維——“玄妙入神”策略

1.創(chuàng)造性折疊，插上想象之翼。

促進兒童想象能力的發(fā)展實質上就是激活兒童思維能力的發(fā)展，這是數(shù)學教學的核心要務之一。因此，數(shù)學的學習是學生不斷豐富表象、創(chuàng)造表象的過程。在教學中，教師給學生提供大量的學習材料，幫助學生積累數(shù)學表象。在此基礎上引導學生進行表象的加工和再創(chuàng)造，有利于提高學生的想象能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力。在數(shù)學折紙拓展課中，學生在折紙?zhí)剿鞯倪^程中儲存了一定量的表象，這為我們進一步幫助學生創(chuàng)造新的表象提供了基礎和原型。

例如，在學生認識了軸對稱圖形后，教師為學生提供長方形和正方形紙，讓學生根據(jù)需要選擇所需的形狀，創(chuàng)造“軸對稱”。有的學生折出對稱軸后，在兩邊對應折，有的將紙對折后重疊著一起折；有的學生折出了一個簡單的對稱現(xiàn)象；有的根據(jù)自己的折紙經(jīng)驗，折出了一個對稱的折紙作品。這樣的練習設計以動手操作為主題，不僅培養(yǎng)了學生的想象能力，而且培養(yǎng)了他們的動手操作能力。提供給學生簡單的幾張紙，讓學生自由選擇、自由創(chuàng)造，充分體現(xiàn)了個性化的教學設計理念，不僅培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神，而且開拓了他們的思維，學生的潛能得到了進一步的培養(yǎng)和升華。

2.創(chuàng)造性表述，點燃思維之光。

著名數(shù)學教育家波利亞說：“解決數(shù)學問題，我們必須一再地變化它，重新敘述它、變換它，直至終于成功地找到某些有用的東西為止。”語言是思維的外衣，通過語言的表述可以點燃學生思維的火花。在折紙游戲完成后，鼓勵學生追溯折疊的過程，并將每一個步驟用兒童的語言表述出來。鼓勵學生創(chuàng)造性地用數(shù)學的語言表述折疊過程，不僅可以促使學生對折紙過程進行回顧總結，還能培養(yǎng)學生有序思維的能力，將直觀的動作、具體的形象轉換為抽象的語言，培養(yǎng)學生養(yǎng)成用數(shù)學的眼光看待生活中的事物的習慣，從而形成良好的思維品質。

可見，折紙是一項兼有娛樂性和教育性的活動，折紙的過程更可以看作是一節(jié)看得見的數(shù)學課。但要將更豐富的數(shù)學知識融入到折紙的過程中，讓學生的智慧跳躍在指尖上任重而道遠。