文|鄢曉欽

解題能力是學(xué)生學(xué)業(yè)水平的一個重要體現(xiàn)，在解題的過程中可以檢測到學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的掌握程度；同時檢驗教學(xué)是否充分落實了“四基”的培養(yǎng)。學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，運用數(shù)學(xué)知識，通過觀察、分析、對比、推理、計算等方法能否順利解決問題，其中體現(xiàn)出的就是學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。因?qū)W生個體學(xué)業(yè)水平不同導(dǎo)致解題能力各異，于是，如何提高學(xué)生的解題能力，成為一個長期研究的具有實際意義的課題。但縱觀各級各類相關(guān)課題研究，發(fā)現(xiàn)一線教師把更多的視角放在了數(shù)學(xué)解題技巧和解題方法的訓(xùn)練上，這在一定程度上確實在短期提升了學(xué)生的解題能力；但從長遠來看，并沒有對學(xué)生的解題能力達到質(zhì)的提升，究其原因何在？我?guī)ьI(lǐng)我的數(shù)學(xué)團隊從數(shù)學(xué)的本源進行研究。數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)量關(guān)系和空間形式反映到人的意識再經(jīng)過思考后的產(chǎn)物，它是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)認識。因此數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，應(yīng)用在解題中能準(zhǔn)確把握到解題的關(guān)鍵點，是從知識到能力的轉(zhuǎn)化器，它會在關(guān)鍵處啟迪學(xué)生的思路，讓學(xué)生的解題走向直觀化、簡約化、系統(tǒng)化，從根源上提升了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。本文將結(jié)合實例來闡述如上觀點。

一、數(shù)形結(jié)合——讓解題走向直觀化

解題的直觀化指的是能將抽象的數(shù)學(xué)問題進行直觀地呈現(xiàn)，抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，但學(xué)生的年齡特點決定了他們是以直觀形象思維為主來思考問題的。當(dāng)學(xué)生面對用枯燥文字和簡單的數(shù)學(xué)符號呈現(xiàn)出的數(shù)學(xué)問題或用單一的圖形表達復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系時，用形象思維去理解抽象的數(shù)學(xué)問題是解題的直接障礙。數(shù)形結(jié)合思想是將原本抽象、機械的數(shù)式與直觀可感的圖形進行有機融合，讓學(xué)生經(jīng)歷從圖到數(shù)，再從數(shù)到圖的轉(zhuǎn)化過程，提煉出核心的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生深入理解算理。它的本質(zhì)是用數(shù)的規(guī)范和精確闡明形的屬性，用形的直觀和生動來表達數(shù)的關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)表達與直觀的圖形結(jié)合起來。在解題時能根據(jù)需求滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，讓抽象的數(shù)與形進行互換，形象思維與抽象思維進行融合，能化抽象為具體，讓解題走向直觀化，降低思維的難度，順利解題。而且數(shù)形結(jié)合的直觀想象，也是數(shù)學(xué)十大核心素養(yǎng)中重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在解題的過程中能得到很好地培養(yǎng)，并借此進一步提升了學(xué)生的解題能力。

對本題做了一個前測，40位學(xué)生參加，正確率為42.5%，在訪談中讓學(xué)生回顧解題思路，學(xué)生的反饋是題目太難，無從思考，憑感覺和猜測完成的。本題表述精簡、數(shù)據(jù)單一，難在哪里呢？難在解答時需要學(xué)生有很強的空間想象能力和抽象思維能力，要能從精簡的表述中提煉出關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系進行分析進而解決。數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的滲透，突破了解題的難點，將抽象的數(shù)學(xué)問題用形象的圖形呈現(xiàn)，在直觀的觀察中，把握住了解決問題的本質(zhì)。

二、代換——讓解題走向簡約化

解題簡約化指的是將復(fù)雜的解題方法用簡約的方式替代，以求達到高效的解題效果。“代換”作為一種數(shù)學(xué)思想，在小學(xué)更多的意為“等量代換”，指的是用一個量取代與之相等的量。因為當(dāng)兩種事物的量剛好在某方面平衡時，可以互相替代，替代的目的是為了將求解對象化為統(tǒng)一，將兩個未知量統(tǒng)一為一個未知量求值，然后間接求出另一個未知量。代換是代數(shù)思想的基礎(chǔ)，在運用中提取出代換的兩個要素：代換對象和被代換對象，它們代換之后，能直觀地看出數(shù)學(xué)問題中量與量之間的關(guān)系，讓繁雜的思路簡約化、讓抽象的問題具體化，讓復(fù)雜的計算簡單化，幫助學(xué)生分析問題，理清解題思路。

如：請計算出下圖陰影部分的面積。（單位：厘米）

學(xué)生按照常態(tài)的解題思路是：陰影部分的面積等于梯形的面積減去里面空白部分三角形的面積：

S梯形=（a+b）h÷2 =（4+7+19.5）×10÷2=152.5（平方厘米）

S三角形=ah÷2 =19.5×10÷2=97.5（平方厘米）

S陰影部分=152.5-97.5=55（平方厘米）

在解決問題的過程中，運用了求兩個平面圖形面積的計算公式，相應(yīng)就有了大量的數(shù)據(jù)計算，知識點與數(shù)據(jù)的增加加大了解題的難度。而且常態(tài)的解題方法體現(xiàn)了學(xué)生淺層次的數(shù)學(xué)思維和思考問題的能力，不利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的解題能力。因此，可以引導(dǎo)學(xué)生換一個角度，運用等量代換的數(shù)學(xué)思想，感受解題的簡約化。

如圖，在原題圖形中添加了一條輔助線AD，通過觀察，發(fā)現(xiàn)△CDE 與△ACD 是同底等高的兩個三角形，它們的面積相等，可以進行代換。因此，要求陰影部分的面積，就可以直接求△ABD 的面積：S=ah÷2=（4+7）×10÷2=55（平方厘米）。

等量代換數(shù)學(xué)思想的滲透運用，讓學(xué)生感受到代換思想的意義，體會便捷解題的同時，形成代換的解題意識，形成代換的解題思路和敏銳的策略意識，簡約解題，提升數(shù)學(xué)的思考能力，從本質(zhì)上提升解決數(shù)學(xué)問題的能力。

三、建?！尳忸}走向系統(tǒng)化

系統(tǒng)化解題指的是將同一種類型的數(shù)學(xué)問題進行歸類建模，然后用相應(yīng)的方法解決此類問題，達到解決一個問題走向解決一類問題的效果。建模即建立模型，為了更深刻地認識理解某一事物，對事物作出抽象和表述的過程。數(shù)學(xué)上的建模是建立數(shù)學(xué)模型，運用抽象和簡化的數(shù)學(xué)方法除去實際問題的非本質(zhì)屬性，保留其重要元素和本質(zhì)屬性，形成一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，將建模的數(shù)學(xué)思想滲透到解決數(shù)學(xué)問題中，會讓同一類型的問題找到其相同的特征，運用模型的公式、方法分析其中的數(shù)量關(guān)系，讓復(fù)雜的問題模型化，提升學(xué)生解決問題的能力。

如行程問題中常有幾種類型：

1.相向也相遇的情況。

甲乙兩人同時駕車分別從AB 兩地相對開出，甲車每小時行駛50 千米，乙車每小時行駛60 千米，5 小時后兩車相遇，AB兩地相距多少千米？

2.相向未相遇的情況。

AB 兩地相距550 千米，甲乙兩人同時駕車分別從AB 兩地相對開出，甲車每小時行50千米，乙車每小時行駛60 千米，4 小時后兩車相距多少千米？

3.相向相遇又相距的情況。

AB 兩地相距550 千米，甲乙兩人同時駕車分別從AB 兩地相對開出，甲車每小時行50 千米，乙車每小時行駛60 千米，6小時后兩車相距多少千米？

這三道不同類型的現(xiàn)實問題，通過數(shù)學(xué)建模的方式，可以歸納為同一類型的數(shù)學(xué)問題，即行程問題。第1 題是數(shù)學(xué)中行程基礎(chǔ)的相遇問題，首先通過數(shù)學(xué)抽象，提煉出數(shù)學(xué)的信息和問題，知道甲乙兩車的速度和兩車的相遇時間，求AB 兩地相距的路程，也就是兩車已經(jīng)行駛的路程。其次，通過畫圖、分析解決了數(shù)學(xué)問題，方法一：50×5+60×5=550（千米）；方法二：（50+60）×5=550（千米），優(yōu)化推出第二種方法。最后在解決問題的過程中幫助學(xué)生建立起行程中相遇問題的數(shù)學(xué)模型：速度和×相遇時間=路程。

第2 題是兩車相向行駛但未相遇的情況，學(xué)生明確用總路程-已經(jīng)行駛的路程=未行駛的路程=兩車相距的路程。但總路程如何求出？運用第1 題建立的數(shù)學(xué)模型，求路程用公式：速度和×相遇時間=路程，求出兩車共同行駛的路程，然后列式 計 算：550-（50+60）×4=110（千米）。在這個過程中，數(shù)學(xué)模型的運用，成功地將數(shù)學(xué)問題納入對應(yīng)的模型問題，難點就得以突破。

第3 題是相向相遇又相距的情況，運用“速度和×相遇時間=路程”這個數(shù)學(xué)模型公式，首先求出了兩車一共行駛的路程，然后用路程-路的總長度=兩車相距的路程，（50+60）×6-550=110（千米）。

三道看似不同類型的數(shù)學(xué)問題，通過分析，在解答中找到了它們的共性，并將它們構(gòu)建成一種模型的數(shù)學(xué)問題，它們是行程問題中的不同形式，只是將數(shù)學(xué)信息和問題進行不斷地變化，變化中抓住解題的本質(zhì)，都是行程問題，都要求出兩車已經(jīng)行駛的路程，運用重要的模型公式：速度和×相遇時間=路程，讓問題迎刃而解。數(shù)學(xué)模型的成功建構(gòu)，會讓學(xué)生今后面對同類問題時，能自覺地將問題納入已有的模型問題中，運用模型問題相對應(yīng)的方法來解決數(shù)學(xué)問題，將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行數(shù)據(jù)量化，完成對問題的解答。在這樣解決問題的過程中，學(xué)生通過一道題，運用遷移的方法，解決一種類型的問題，讓問題歸類形成系統(tǒng)性，進一步提高了解決問題的能力。

綜上所述，依托相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，準(zhǔn)確理解題意、把握問題的本質(zhì)、提取數(shù)量關(guān)系、分析解答數(shù)學(xué)問題，從中鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和解決問題策略的運用，讓解題的走向直觀化、簡約化、系統(tǒng)化。直觀化降低了解題的難度；簡約化感受了解題的便捷并提升了解題的數(shù)學(xué)思維；系統(tǒng)化構(gòu)建了數(shù)學(xué)問題模型。三種解題能力的形成，真正促使學(xué)生從淺層面解決數(shù)學(xué)問題到靈活、深層次解決問題，本質(zhì)上提升了解決問題的能力，這也是數(shù)學(xué)育人的真正追求。