應(yīng)戍狄， 王 硯， 武吉梅, ， 武秋敏

(1. 西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048； 2. 西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，西安 710048；3. 西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院,西安 710048)

隨著印品的日益豐富，具有一定厚度和抗彎剛度的薄型材料(PET、PVC、紙板等)在印刷包裝中被應(yīng)用。此類材料在印刷中的振動(dòng)特性對(duì)印品質(zhì)量有重要的影響。而印刷機(jī)械的滾筒對(duì)此類材料的力學(xué)作用又尤為突出。因此研究滾筒對(duì)運(yùn)動(dòng)紙帶的影響，對(duì)控制紙帶彎曲形變所致的承印物漂移，褶皺等問題，提高印品套印精度具有十分重要意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)的梁、弦線、板殼做了許多研究，已取得較大成果，然鮮見對(duì)中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶的研究。Wu等[1-2]采用微分求積法和D’alembert原理研究了多點(diǎn)彈性支承下的矩形運(yùn)動(dòng)紙帶振動(dòng)穩(wěn)定性問題。Banichuk等[3]用解析法研究了兩輥間勻速運(yùn)動(dòng)卷筒紙帶的動(dòng)力學(xué)與穩(wěn)定性問題。武吉梅等[4]采用無網(wǎng)格法研究了運(yùn)動(dòng)紙板的穩(wěn)定性問題，求得了運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定區(qū)間。邵明月等[5]利用龍格庫塔法研究了隨從力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜非線性強(qiáng)迫振動(dòng)特性，得出了運(yùn)動(dòng)薄膜的穩(wěn)定工作域。Nguyen等[6]研究了空間變化的張力和運(yùn)動(dòng)紙帶時(shí)變傳輸速度之間的關(guān)聯(lián)性，用李雅普諾夫方法推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)紙帶模型的轉(zhuǎn)矩控制律。王硯等[7]研究了線性變厚度黏彈性矩形板在隨從力作用下的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性。Alidoost等[8]利用歐拉-伯努利梁理論和疊層理論，推導(dǎo)了分層梁的運(yùn)動(dòng)方程，并對(duì)顫振、屈曲和自由振動(dòng)進(jìn)行了分析，為薄板振動(dòng)模型分析拓展了方法。Yang等[9]采用改進(jìn)高階基，研制了微分求積有限元。并結(jié)合膨脹逐層理論對(duì)彎曲復(fù)合材料的殼單元振動(dòng)進(jìn)行分析。Liu等[10]應(yīng)用微分求積法研究了mindlin板的自由振動(dòng)問題。Wu等[11]構(gòu)造了新型C1單元法分析了薄板的自由振動(dòng)問題，取得了很高精度。以上研究少見將新有限元法應(yīng)用于紙帶振動(dòng)分析中。

論文應(yīng)用新型P型高階微分求積升階譜法對(duì)中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶(力學(xué)模型為對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由下中間剛性簡(jiǎn)支)進(jìn)行研究，分析紙帶無量綱復(fù)頻率和速度關(guān)系，得到中間剛性簡(jiǎn)支對(duì)紙帶的振動(dòng)穩(wěn)定性影響。

1 運(yùn)動(dòng)紙帶能量變分式建立

圖1為PRC250凹版印刷機(jī)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，當(dāng)運(yùn)動(dòng)紙帶通過印版滾筒與色組壓印滾筒之間的間隙時(shí)，可實(shí)現(xiàn)多色套印。

圖1 運(yùn)動(dòng)紙帶力學(xué)模型

基于能量法[12]得薄板幾何式

(1)

應(yīng)力-位移式

(2)

根據(jù)北人PRC250印刷機(jī)參數(shù)，整理得運(yùn)動(dòng)紙帶彎曲應(yīng)變能

(3)

總動(dòng)能

(4)

引入無量綱

(5)

將式(5)代入式(3)～式(4)中得

(6)

2 C1單元構(gòu)造橫向位移函數(shù)

論文構(gòu)造單元邊界用非均hermite基，內(nèi)部用階譜面場(chǎng)的位移函數(shù)。不僅解決了邊界施加和組裝問題而且隨階次增加還克服了數(shù)值動(dòng)蕩。

2.1 一維赫米特基

在[-1,1]上的C1赫米特函數(shù)

g(x)=P0(x)·g-1(-1)+Pn+1(x)·g-1(1)+

(7)

式中：xk為插函數(shù)節(jié)點(diǎn)；P0，P1，Pn，Pn+1分別為-1，1節(jié)點(diǎn)處插函數(shù)偏導(dǎo)值。

(8)

將式(8)代入式(7)中得邊界赫米特函數(shù)，但函數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)過多時(shí)，會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，為提高精度對(duì)PK(x)求極值。論文取4、7兩種Gauss-Jacobi極值點(diǎn)進(jìn)行說明結(jié)果圖2。

圖2 赫米特基

計(jì)算結(jié)果，論文的邊界函數(shù)具有插值特性，并且插值函數(shù)在插值點(diǎn)取最值1，其余點(diǎn)誤差不超±0.2，同時(shí)插值點(diǎn)正交，綜上知構(gòu)造的赫米特函數(shù)有強(qiáng)數(shù)值穩(wěn)定性。

2.2 混合形函數(shù)建立

在自然坐標(biāo)系下建立的混合形函數(shù)，通過等參變換生成物理平面形函數(shù)。圖3所示每個(gè)角點(diǎn)6自由度分別為w，wε，wη，wε2，wη2，wεη；各邊2自由度wn，w。以圖3中的角點(diǎn)4和面內(nèi)場(chǎng)函數(shù)為為例說明構(gòu)造過程。

圖3 Gauss-Jacobi點(diǎn)超限映射

論文用C1單元，故構(gòu)造需滿足C1要求，這里用勒讓德積分法進(jìn)行構(gòu)造，二維P型高階微分求積升階譜法，可由兩個(gè)一維勒讓德積分相乘得，形式如

(9)

式中：m，n分別為φn+1(ε);φm+1(η)為勒讓德多項(xiàng)式階次。

僅構(gòu)造場(chǎng)函數(shù)精度欠高，需增加其余撓度函數(shù)，圖3中的角點(diǎn)4形函數(shù)在[-1,1]上的C2赫米特式

(10)

將投射算子P[·]進(jìn)行混合函數(shù)運(yùn)算得

(11)

將式(11)、式(9)進(jìn)行整理，得角點(diǎn)4和面函數(shù)形函數(shù)

(12)

由圖4可知，角點(diǎn)4有六自由度，面內(nèi)場(chǎng)函數(shù)滿足羅德利克張量積且C1連續(xù)。也可知角點(diǎn)處撓度最大，偏導(dǎo)形函數(shù)對(duì)撓度影響小，面內(nèi)階譜函數(shù)在邊界處值和導(dǎo)數(shù)為零。綜上得構(gòu)造的形函數(shù)代表了各節(jié)點(diǎn)的物理意義。且內(nèi)部函數(shù)有serendipity形函數(shù)特性。

圖4 撓度函數(shù)

3 復(fù)特征方程解

用上文構(gòu)造的橫向撓度形函數(shù)，和Guass-lobato法對(duì)中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶無量綱能量泛函進(jìn)行離散，撓度形函數(shù)為

(13)

將式(13)代入式(6)中離散。得中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶無量綱橫向振動(dòng)方程

M·(τ)+C·(τ)+K·(τ)=0

(14)

|[K]+[C]·ω·j-ω2·[M]|=0

(15)

式(15)所求ω為中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶無量綱頻率。

4 計(jì)算與Hypermesh有限元比較

應(yīng)用新型P型高階微分求積升階譜法，對(duì)一對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由邊界下，有中間支承的運(yùn)動(dòng)紙帶進(jìn)行分析比較。

4.1 FSFS邊界下有中間支承的運(yùn)動(dòng)紙帶

以北人PRC250印刷機(jī)紙帶為研究對(duì)象，研究中間簡(jiǎn)支下運(yùn)動(dòng)紙帶橫向彎曲規(guī)律。據(jù)該型印刷設(shè)備色輥與中間支承輥間距離設(shè)置比2/3要求，且按煙包紙規(guī)格，將色輥與中間支承輥的位置分別設(shè)為a=1.5 m，c=1 m，它等效于對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由下，中間有剛性簡(jiǎn)支支承的情況，該型印刷機(jī)紙帶基本參數(shù)如表1所示。

表1 PRC250凹版印刷機(jī)紙帶基本參數(shù)

圖5和圖6為中間支承下，紙帶前三階無量綱固有頻率虛部與實(shí)部隨速度變化規(guī)律。

圖5 前三階無量綱固有頻率虛部隨無量綱速度變化曲線

圖6 前三階無量綱固有頻率實(shí)部隨速度變化曲線

由圖5和圖6知，當(dāng)λ=0時(shí)，一階、二階、三階無量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)為Re(ω3)>Re(ω2)>Re(ω1)>0，虛部Im(ω)都為零。隨無量綱速度的增加，前三階無量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)都呈現(xiàn)出持續(xù)衰減趨勢(shì)，而虛部Im(ω)保持在零狀態(tài)，到λ=5.78時(shí)，一階無量綱量復(fù)頻率實(shí)部先出現(xiàn)Re(ω1)=0，虛部Im(ω1)正負(fù)坐標(biāo)軸對(duì)稱分叉，且二、三階無量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)仍處在Re(ω3)>Re(ω2)>0，虛部Im(ω2)=Im(ω3)=0，說明運(yùn)動(dòng)紙帶在λ=5.78處會(huì)出現(xiàn)第一次發(fā)散失穩(wěn)。當(dāng)速度增至λ=8.3，一階復(fù)頻率Re(ω1)>0，Im(ω1)=0,二階復(fù)頻率臨界失穩(wěn)，三階復(fù)頻率實(shí)部仍為正，虛部為零。當(dāng)λ=9.43時(shí)，二階、三階無量綱復(fù)頻率模態(tài)耦合，虛部Im(ω)沿坐標(biāo)軸對(duì)稱。此刻運(yùn)動(dòng)紙帶出現(xiàn)耦合顫振。綜上，無量綱速度在[0,5.78]內(nèi)，中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶是穩(wěn)定的。

同時(shí)，得紙帶長(zhǎng)a=1.5 m，寬b=0.82 m，中間支承位置c=1 m的前六階振型，如圖7所示。

由Hypermesh有限元計(jì)算結(jié)果與論文的振型對(duì)比，新型P型高階微分求積升階譜法對(duì)求解中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶動(dòng)力學(xué)特性，比有限元軟件有更良好的數(shù)值穩(wěn)定性、平滑性和收斂性。

4.2 PRC250印刷機(jī)紙帶特性分析

對(duì)已知式(5)進(jìn)行反函數(shù)變換，得紙帶實(shí)際速度與無量綱速度間關(guān)系

(16)

按生產(chǎn)工況，對(duì)PRC250印刷機(jī)紙帶分析。表2為運(yùn)動(dòng)紙帶速度與復(fù)頻率基本關(guān)系。

當(dāng)中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶無量綱速度為0時(shí)，表2解得無量綱固有頻率經(jīng)式(5)轉(zhuǎn)換與hypermesh解一致，證明論文解是有效和可靠的。北人PRC250印刷機(jī)的紙帶為橫跨導(dǎo)輥模式，因印刷需要，會(huì)在導(dǎo)輥間套一組色印。其力學(xué)模型就是論文中計(jì)算的對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由約束下，有中間剛性簡(jiǎn)支的情況。將一階無量綱失穩(wěn)臨界速度代入式(16)中可求得運(yùn)動(dòng)紙帶失穩(wěn)實(shí)際速度vp=39.378 5 m/s，在此速度前，運(yùn)動(dòng)紙帶保持穩(wěn)定。

圖7 紙帶前六階振型和Hypermesh模態(tài)比較

表2 PRC250印刷機(jī)紙帶速度與復(fù)頻率基本關(guān)系

5 結(jié) 論

論文提出用新型P型高階微分求積升階譜研究，有一定抗彎剛度且對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由下，中間支承的運(yùn)動(dòng)紙帶橫向振動(dòng)特性。為北人PRC250印刷機(jī)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，提供了重要的理論依據(jù)。得到以下結(jié)論：

(1)利用新型P型高階微分求積升階譜的C1單元混合插值，生成了正交張量積形函數(shù)，并對(duì)特征方程進(jìn)行了求解。得出了中間簡(jiǎn)支支承對(duì)運(yùn)動(dòng)紙帶橫向振動(dòng)的影響。同時(shí)得到了運(yùn)動(dòng)紙帶無量綱前三階復(fù)頻率與速度關(guān)系曲線。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由的中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶復(fù)頻率隨中間支承的設(shè)置而增大，隨速度的增大，紙帶的穩(wěn)定狀態(tài)區(qū)變小。

(2)經(jīng)Hypermesh有限元與論文的解對(duì)比，證明了新型P型高階微分求積升階譜法對(duì)求解中間支承運(yùn)動(dòng)紙帶動(dòng)力學(xué)特性，比有限元軟件具有更良好的數(shù)值穩(wěn)定性、平滑性和收斂性。

(3)獲得了PRC250印刷機(jī)紙帶運(yùn)動(dòng)的臨界速度39.378 5 m/s，該結(jié)論為設(shè)備結(jié)構(gòu)優(yōu)化，提供了重要的理論依據(jù)。