彭涓 楊金強(qiáng) 劉澤華 趙思琦

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71772112;71972122;72072108）、上海財(cái)經(jīng)大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目（2016110241）

作者簡介：彭 涓（1986—），女，湖南湘潭人，博士，華東政法大學(xué)商學(xué)院講師， 研究方向：行為金融，資產(chǎn)定價;通訊作者：楊金強(qiáng)（1983—），男，河北衡水人，博士，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，教育部青年長江學(xué)者，國家自然科學(xué)基金委優(yōu)秀青年基金獲得者，上海市領(lǐng)軍人才， 研究方向：公司金融、數(shù)理金融、 風(fēng)險(xiǎn)管理。

摘 要：運(yùn)用動態(tài)最優(yōu)控制理論與隨機(jī)金融分析方法，研究由勞動收入的特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)與借貸約束導(dǎo)致的非完全市場對消費(fèi)者最優(yōu)投資和消費(fèi)策略、波動及福利損失的影響，得到相應(yīng)的動態(tài)最優(yōu)投資和消費(fèi)策略。研究發(fā)現(xiàn)：非完全市場會顯著抑制消費(fèi)者的消費(fèi)動機(jī)和投資動機(jī)，并加劇消費(fèi)波動和投資波動。此外，財(cái)務(wù)困境下非完全市場會對消費(fèi)者造成高達(dá)40%的福利損失。

關(guān)鍵詞：特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn);非完全市場;投資組合;借貸約束

中圖分類號：F830.59 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-7217（2021）06-0075-07

一、引 言

經(jīng)濟(jì)沖擊隨時都可能發(fā)生，不管是商業(yè)周期波動、國際金融市場波動還是貿(mào)易政策不確定性等都會對居民的收入產(chǎn)生很大的影響。最近的新冠肺炎疫情只是眾多例子中的一個。面對這樣的沖擊，許多居民可能面臨收入減少，甚至出現(xiàn)入不敷出的艱難時期。如何平滑自己的消費(fèi)以及怎樣優(yōu)化自己的投資策略顯得尤為重要。消費(fèi)具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，它是宏觀經(jīng)濟(jì)中很平穩(wěn)的變量。黨的十一屆三中全會制定的一系列改革開放政策，使經(jīng)濟(jì)得到持續(xù)快速發(fā)展。隨著收入水平的大幅提升，居民的消費(fèi)需求快速增長，消費(fèi)水平迅速提高。2011-2019年間，我國的最終消費(fèi)率平均約為53%。雖然受新冠肺炎疫情的影響，2020年最終消費(fèi)率接近55%，但是總體趨勢還是比較平穩(wěn)的。

一般來說，發(fā)展成熟的金融市場能夠通過風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)來降低消費(fèi)的波動程度。隨著我國金融市場的快速發(fā)展，越來越多的居民開始選擇將一部分資金投資于金融市場，可選的金融資產(chǎn)的種類不斷增加，但是儲蓄和購買股票或基金仍然是居民的主要選擇。我國居民的儲蓄率在家庭金融資產(chǎn)中占比例偏高（大部分年份都在50%以上，1995年更是高達(dá)87.1%），而股票和基金的比例偏低（常年低于20%）。因此，在一定的預(yù)算約束下，居民如何進(jìn)行合理的消費(fèi)、儲蓄和金融資產(chǎn)投資，對其實(shí)現(xiàn)終身效用最大化有著重要的作用。

從20世紀(jì)70年代開始，Merton （1969）和 Samuelson （1969）首先證明了在完全市場和沒有勞動收入的假設(shè)下[1，2]，最優(yōu)投資組合選擇在整個生命周期中是常數(shù)。隨后，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了大量的拓展研究。在現(xiàn)實(shí)中，市場為消費(fèi)者提供的資源是有限的，消費(fèi)者在面對收入波動等特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)時如何平滑自己的消費(fèi)以及如何調(diào)整自己的投資策略是非常重要的問題。

Cox和 Huang （1989）研究了不確定條件下連續(xù)時間內(nèi)的最優(yōu)消費(fèi)組合問題[3]。Munk（2008）研究了一個具有偏好形成習(xí)慣的投資者的動態(tài)消費(fèi)以及最優(yōu)投資組合[4]。Wang和 Hou（2015）考察了習(xí)慣形成、資本主義精神、遞歸效用和穩(wěn)健性這四個因素對消費(fèi)和投資組合選擇、消費(fèi)動態(tài)和資產(chǎn)定價的影響[5]。宋靜靜等（2014）研究了有限期限上的最優(yōu)投資消費(fèi)問題[6]。姜奎等（2016）探討了通貨膨脹對投資者的消費(fèi)投資策略的影響[7]。費(fèi)為銀等（2016）研究了當(dāng)隨機(jī)利率服從CIR模型時，帶有隨機(jī)勞動收入的最優(yōu)消費(fèi)投資問題[8]。彭涓等（2017）研究了過度外推下消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)策略和投資組合[9]。李仲飛等（2017）探討了具有隨機(jī)收入和時變相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的消費(fèi)者的最優(yōu)投資消費(fèi)問題[10]。

然而，這些研究并沒有考慮借貸約束和特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)。Wang C，Wang N 和Yang J（2012，2016） 雖然假設(shè)借貸約束和特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)會導(dǎo)致非完全市場[11，12]，但是他們僅考慮了最優(yōu)消費(fèi)，而沒有將投資組合考慮進(jìn)來。本文在借貸約束下，研究在存在收入波動等特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)時的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合問題，研究問題更貼合實(shí)際，結(jié)論和啟示對發(fā)展和完善我國金融市場具有直接的借鑒意義。

二、假設(shè)和模型

在連續(xù)時間下，假定消費(fèi)者可以無限期生存，且可以獲得永久性的隨機(jī)收入流。金融市場上具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和與系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)完全相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)兩種金融產(chǎn)品。另外，為了保證消費(fèi)者凈財(cái)富時刻為正，假定消費(fèi)者不能進(jìn)行借款，這體現(xiàn)了借貸約束和信貸市場的非完全。

（一）勞動收入過程

廣泛應(yīng)用的勞動收入過程均會考慮臨時性和永久性沖擊，這在模型中都會得到體現(xiàn)。為了方便，在基準(zhǔn)模型中假定Y僅包括永久性沖擊。

財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐（雙月刊）2021年第6期2021年第6期（總第234期）彭 涓，楊金強(qiáng)，劉澤華等：居民最優(yōu)消費(fèi)與投資組合

假定勞動收入服從下列幾何布朗過程：

其中，B是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，μ是收入的期望增長率，σ是收入的波動率。

（二）投資組合

正如Merton（1971）[13]所假設(shè)的，消費(fèi)者面臨以下兩種金融資產(chǎn)：支付固定利率的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和反映市場風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。假設(shè)時間段dt內(nèi)，市場投資組合的收益服從獨(dú)立同分布（i.i.d.），即：

其中，μR和σR代表市場投資組合回報(bào)的均值和波動率，Z是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動。令

式（3）表示市場投資組合的夏普比率。假設(shè)消費(fèi)者的勞動收入與市場組合回報(bào)的相關(guān)系數(shù)為φ，其中φ≠1表示消費(fèi)者的勞動收入風(fēng)險(xiǎn)不能被完全對沖。不可對沖的勞動收入風(fēng)險(xiǎn)則為特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)，定義為ε=σ2（1-ρ2），其中ε>0體現(xiàn)了金融市場的非完全?？梢?，市場的非完全性同時體現(xiàn)在金融市場的非完全和信貸市場的非完全。

（三）Epstein-Zin期望遞歸效用函數(shù)

在投資消費(fèi)文獻(xiàn)中，常相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)（CRRA）是最常見的偏好函數(shù)，然而該類型的效用函數(shù)也存在一定的局限性，比如它不能將跨期替代彈性系數(shù)（EIS）和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)進(jìn)行區(qū)分。為更好地體現(xiàn)非完全市場下偏好對投資消費(fèi)的影響，采用比較常用的非期望遞歸效用函數(shù)，它是由Epstein和Zin（1989）以及Weil（1990）在Kreps和Porteous（1978）的工作基礎(chǔ)上創(chuàng)立的，能夠很好地將風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和EIS系數(shù)分離開來[14-16]。非期望效用函數(shù)的連續(xù)形式如下：

其中，fC，V是有關(guān)C和V的正規(guī)化算子。Duffie和Epstein（1992）[17]指出，在Epstein-Zin效用下，fC，V的表達(dá)式如下：

其中，θ=1-ψ-11-γ。這里，ψ是EIS系數(shù)，γ是相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，ρ是主觀貼現(xiàn)因子。值得一提的是，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)等于EIS的倒數(shù)時， 即γ=1/ψ， CRRA效用函數(shù)是遞歸效用函數(shù)的一個特例。此時可得f（C，V）=U（C）-ρV，其中U（C）=ρ C1-γ/（1-γ）。也就是說，CRRA效用函數(shù)將C和V分割開來。若θ≠1，則f（C，V）無法拆分C和V。

（四）金融財(cái)富動態(tài)過程與借貸約束

定義W為消費(fèi)者的金融財(cái)富，Πt為消費(fèi)者投資于市場風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價值，根據(jù)上面的假設(shè)可得金融財(cái)富動態(tài)過程如下：

假設(shè)消費(fèi)者不能借用未來的勞動收入，即在任意時刻消費(fèi)者的財(cái)富均不為負(fù)，即Wt≥0。這也就意味著當(dāng)Wt=0時，Ct≤Yt。

總而言之，給定勞動收入過程式（1），財(cái)富積累過程式（7）以及借貸約束，消費(fèi)者的目標(biāo)是最大化其效用函數(shù)，即式（4）和式（5）。在分析非完全市場模型之前，首先闡述完全市場下的求解過程并介紹基于確定性等價財(cái)富過程的永久性收入假說（PIH）。

三、完全市場（CM）和永久收入假說（PIH）

為更好地分析非完全市場對投資消費(fèi)與收入估值的影響，首先給出完全市場下的解。為了使模型具有動態(tài)完備性，假定金融市場中還有一個可交易的金融資產(chǎn)，該資產(chǎn)與收入的特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)是完全相關(guān)的。通過運(yùn)用Black和Scholes（1973）[18]提出的動態(tài)投資組合復(fù)制策略，在動態(tài)無摩擦的環(huán)境下交易無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和新引進(jìn)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，能夠得到完全市場下的解。接下來，與Friedman（1957）[19]和Hall（1978）[20]一樣，定義人力財(cái)富（用H表示）為未來所有勞動收入的貼現(xiàn)值：

在完全市場下，式（7）表示勞動收入的市場價值，因?yàn)閯趧邮杖腼L(fēng)險(xiǎn)被完全分散化，且沒有風(fēng)險(xiǎn)溢價的補(bǔ)償，因此勞動收入的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率r。為了保證人力財(cái)富在完全市場下是有限且收斂的，假設(shè)勞動收入的期望增長率μ-ρησ小于市場利率r，即：

可以得到，人力財(cái)富與當(dāng)期收入水平是成比例的，即：

本文的模型（在完全市場以及非完全市場下）關(guān)于財(cái)富W和收入Y具有齊次性的特性。用小寫字母（大寫字母除以當(dāng)期收入Y）表示單位收入對應(yīng)的變量。例如，wt=Wt/Yt，ct=Ct/Yt和πt=Πt/Yt分別表示金融財(cái)富收入比、消費(fèi)收入比與投資組合收入比。為保證完全市場下解的收斂性，還需進(jìn)一步假設(shè)：

它意味著，主觀貼現(xiàn)因子ρ需要足夠大，以保證能夠產(chǎn)生足夠大的消費(fèi)動機(jī)，使得財(cái)富積累速度不會過快，從而確保最優(yōu)化問題具有收斂的解。下面的定理總結(jié)了完全市場下的主要結(jié)論：

定理1 在保證收斂性的條件1和條件2同時滿足的情況下，完全市場下消費(fèi)者的價值函數(shù)V*W，Y為

四、非完全市場

基于前文的基本假設(shè)，運(yùn)用猜測和驗(yàn)證方法，可得到價值函數(shù)VW，Y為：

其中，b同樣由式（12）給出。在式（17）中，PW，Y可以解釋為確定性等價財(cái)富，即t時刻使得消費(fèi)者在：（1）現(xiàn)狀（擁有財(cái)富W和收入Y）;（2）以后永遠(yuǎn)沒有收入，這兩種情況下無差別的總財(cái)富。因而VW，Y為

為什么選擇分析確定性等價財(cái)富PW，Y而不是分析價值函數(shù)VW，Y呢？首先，確定性等價財(cái)富是比較直觀的概念，其單位是消費(fèi)品的數(shù)量，而價值函數(shù)VW，Y的單位是效用，這個單位是不能被直接衡量的;其次，PW，Y有利于分析。例如，通過計(jì)算PW，Y以及其導(dǎo)數(shù)，即金融財(cái)富的邊際價值PWW，Y，可以衡量金融摩擦的影響。

用cw=CW，Y/Y表示單位收入對應(yīng)的確定性等價消費(fèi)，用pw=PW，Y/Y表示單位收入對應(yīng)的確定性等價財(cái)富。運(yùn)用齊次特征，可得到單位收入對應(yīng)的金融財(cái)富w=W/Y以及金融財(cái)富的邊際價值PWW，Y=p′w。定理2歸納了關(guān)于cw和pw的主要結(jié)論。

五、經(jīng)濟(jì)學(xué)分析

（一）參數(shù)選取

本文模型較為簡單，僅包含八個參數(shù)。為進(jìn)行合理的經(jīng)濟(jì)學(xué)分析和產(chǎn)生有現(xiàn)實(shí)意義的經(jīng)濟(jì)學(xué)啟示，借鑒消費(fèi)儲蓄領(lǐng)域權(quán)威文獻(xiàn)的參數(shù)。首先，根據(jù)Deaton（1991）[21]和Carroll（1997）[22]設(shè)置收入過程的兩個參數(shù)值為：期望增長率μ=1.5%，波動率σ=10%。然后，借鑒Guvenen（2006）[23]和Wang C，Wang B和Yang J（2016）[12]，選定偏好相關(guān)的三個參數(shù)值為：風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ=3，跨期替代彈性ψ=1，主觀貼現(xiàn)因子ρ=4%。最后，參考Wang C，Wang N和Yang J（2012， 2016）[11，12]，選取市場相關(guān)的兩個參數(shù)為：無風(fēng)險(xiǎn)利率r=3.5%，夏普比率η=30%，風(fēng)險(xiǎn)和收益相關(guān)系數(shù)φ=0。

（二）估值與福利損失

圖1（a）和圖1（b）反映了非完全市場對消費(fèi)者單位收入對應(yīng)的確定性等價財(cái)富pw和勞動收入的（主觀）價值qw的影響。特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)ε越大，表示消費(fèi)者的特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)越大;w越小，意味著消費(fèi)者面臨更大的借貸約束，這兩個因素都造成了市場的非完全。不難發(fā)現(xiàn)，市場非完全程度越高，消費(fèi)者單位收入對應(yīng)的確定性等價財(cái)富越低，勞動收入的價值也越低。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)消費(fèi)者單位收入對應(yīng)的金融財(cái)富越高（w越大），借貸約束和特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)對消費(fèi)者的負(fù)面影響越小，此時消費(fèi)者單位收入對應(yīng)的確定性等價財(cái)富和勞動收入的價值就越高。反之，當(dāng)消費(fèi)者單位收入對應(yīng)的確定性等價財(cái)富很低（w很?。r，消費(fèi)者面臨財(cái)務(wù)困境，此時金融財(cái)富的略微增加都可能極大緩解借貸約束和特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的影響，因此相應(yīng)的金融財(cái)富的邊際價值p′w很高，1單位金融財(cái)富的增加會帶來雙倍的價值（見圖1（c））。特別地，特質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)對金融財(cái)富的邊際價值的影響取決于金融財(cái)富水平大?。ㄒ妶D1（c））。對于金融財(cái)富水平不足的消費(fèi)者而言，更大的異質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)對財(cái)富的邊際價值產(chǎn)生非單調(diào)的影響，而對于金融財(cái)富較高的消費(fèi)群體來說，更大的異質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)只會提高財(cái)富的邊際價值。最后，圖1（d）顯示，非完全市場會對消費(fèi)者的福利損失lw造成顯著影響，比如在基準(zhǔn)參數(shù)下（ε=0.1），消費(fèi)者的福利損失大約為40%。隨著金融財(cái)富的增加，消費(fèi)者的借貸需求逐漸降低，特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)避能力逐漸增強(qiáng)，因此福利損失逐漸減小。

（三）投資與消費(fèi)

圖2 分別展示了非完全市場對消費(fèi)策略cw，投資策略πw，消費(fèi)的邊際傾向c′w，投資的邊際傾向π′w，以及消費(fèi)波動σcw與投資波動σΠw的影響。其中，由圖2（a）和圖2（b）可見，非完全市場會導(dǎo)致消費(fèi)者消費(fèi)不足和投資不足。這是因?yàn)橄M(fèi)者通過抑制消費(fèi)和金融投資以增加預(yù)防性儲蓄，從而更好地規(guī)避特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)和借貸約束。圖2（c）和圖2（d）給出了非完全市場對消費(fèi)傾向和投資傾向的影響，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)消費(fèi)者面臨財(cái)務(wù)困境（w較小）時，每增加1單位的金融財(cái)富，會引致消費(fèi)者0.2單位的消費(fèi)增加和超過4單位的金融投資，在定量上約四倍于完全市場下的值。這意味著，財(cái)務(wù)困境下的信貸放寬或金融資產(chǎn)多樣化（減小特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)ε），會顯著降低消費(fèi)不足和投資不足，從而在極大程度上緩解非完全市場對消費(fèi)者消費(fèi)與投資行為的扭曲。最后，由圖2（e）和圖2（f）可見，非完全市場會增加消費(fèi)者的消費(fèi)與投資的波動性，這意味著通過降低特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)或放寬借貸約束提高市場的完備性，可有效平滑消費(fèi)者的消費(fèi)和投資行為。

六、結(jié)束語

特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)與借貸約束是導(dǎo)致市場非完全的重要因素。以上通過在經(jīng)典的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合模型基礎(chǔ)上，考慮了由勞動收入的特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)與借貸約束導(dǎo)致的非完全市場對消費(fèi)者最優(yōu)投資和消費(fèi)策略、波動及福利損失的影響。研究表明：（1）非完全市場會抑制消費(fèi)者的消費(fèi)與投資組合動機(jī)，引致顯著的消費(fèi)不足和投資不足，并且消費(fèi)與投資行為的扭曲可能會導(dǎo)致消費(fèi)者的福利損失高達(dá)40%;（2）在財(cái)務(wù)困境中，充裕的財(cái)富會極大緩解借貸約束和特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的負(fù)面影響，此時，金融財(cái)富的增加會帶來雙倍的價值體現(xiàn);（3）市場的非完全性會加劇消費(fèi)者消費(fèi)與投資策略的波動性。

由此可見，發(fā)展和完善金融股票市場和借貸市場，可以降低居民由于市場不完全可能導(dǎo)致的投融資風(fēng)險(xiǎn)，提高居民的福利水平，是平滑消費(fèi)者消費(fèi)和投資行為的有效手段。尤其在當(dāng)前復(fù)雜的形勢下，發(fā)展完善的金融市場可以提升金融對消費(fèi)和投資的支撐，對推動消費(fèi)發(fā)展和促進(jìn)國內(nèi)大循環(huán)等有積極的影響。

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