曹鵬飛，禹 靜，尹健龍，沈小燕，李東升

(中國計量大學計量測試工程學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在超精密加工以及超精密檢測領(lǐng)域，氣體潤滑技術(shù)憑借其速度快、精度高、摩擦損耗小、耐高低溫及原子輻射、污染少、壽命長等優(yōu)點而廣泛應(yīng)用[1-3]。而氣體靜壓節(jié)流器是實現(xiàn)氣體潤滑技術(shù)的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外學者對節(jié)流器的研究主要集中在承載力、剛度和穩(wěn)定性上[4-5]。

節(jié)流器的靜態(tài)性能包括承載力和剛度，直接影響氣浮系統(tǒng)的性能。由于氣體的可壓縮性，與傳統(tǒng)液體潤滑方式相比，氣體潤滑技術(shù)的承載力和剛度偏低，因此對于如何提高氣體靜壓節(jié)流器的承載力和剛度，一直是國內(nèi)外學者研究的重點，并取得了許多成果和進展。BELFORTE G等[6]研究了均壓槽對氣膜壓力分布、耗氣量和靜剛度的影響。汲騰龍等[7]采用有限差分方法分析了狹縫節(jié)流動靜壓氣體徑向滑動軸承的承載力、剛度和阻尼特性。于普良等[8]設(shè)計了一種新型徑向槽結(jié)構(gòu)靜壓氣體軸承，并采用CFD仿真方法分析槽結(jié)構(gòu)對承載力和剛度的影響。然而在高速和超精密的要求下，單純提升節(jié)流器的靜態(tài)性能已不再滿足需求，氣體靜壓節(jié)流器的設(shè)計已逐漸集中于動態(tài)性能，其動態(tài)性能包括動態(tài)剛度、動態(tài)阻尼和自激頻率等。在靜態(tài)性能的研究中，普遍采用開設(shè)均壓槽的方式來提升節(jié)流器的承載力，然而這種方式會導致自激振蕩的產(chǎn)生。由于擠壓膜效應(yīng)，當均壓槽中被擠壓產(chǎn)生的聚集能力達到某一閾值時，節(jié)流器會產(chǎn)生高頻振蕩，并伴隨尖嘯聲，此時系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài)，因此國內(nèi)外學者對自激振蕩的產(chǎn)生機理做了大量的研究，且發(fā)生自激振蕩的頻率與節(jié)流器的固有頻率具有密切關(guān)系。AKHOND M等[9]研究了空氣靜壓軸承在低速旋轉(zhuǎn)時的振動響應(yīng)。龍威等[10]研究了自激微振動的產(chǎn)生機理，并通過數(shù)值分析和實驗研究了自激微振動的固有頻率。李步博[11]分析了自激振蕩產(chǎn)生的原因，研究發(fā)現(xiàn)小孔節(jié)流器的固有頻率為122 Hz，與系統(tǒng)發(fā)生自激振蕩的頻率一致。

多微通道式氣體靜壓節(jié)流器結(jié)合了中心節(jié)流孔和環(huán)形分布節(jié)流孔，大幅度提升了承載力，然而承載力的提升犧牲了穩(wěn)定性[12]。目前測量節(jié)流器固有頻率的方法主要是在節(jié)流器平穩(wěn)運行時，在節(jié)流器上施加外部激勵，通常采用沖擊錘施加沖激信號，再利用傳感器測量節(jié)流器的響應(yīng)特性，結(jié)合動態(tài)剛度和動態(tài)阻尼，以此分析節(jié)流器的固有頻率[13-14]。然而根據(jù)機械振動理論，節(jié)流系統(tǒng)本質(zhì)是非線性的系統(tǒng)，其動態(tài)剛度和動態(tài)阻尼的測量具有較大的難度，且沖激信號獲取不穩(wěn)定。階躍信號與沖激信號為微積分關(guān)系，且階躍信號更容易獲取和控制幅值，其階躍響應(yīng)曲線更具代表性。因此，本文提出測量多微通道式氣體靜壓節(jié)流器空載時的階躍響應(yīng)，建立多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的階躍響應(yīng)函數(shù)，分析其實際的固有頻率和阻尼比。同時，通過將多微通道式氣體靜壓節(jié)流器等效為彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，建立其傳遞函數(shù)，進一步求解其靜剛度和阻尼系數(shù)。

1 多微通道式氣體靜壓節(jié)流器靜態(tài)參數(shù)分析

多微通道式氣體靜壓節(jié)流器在設(shè)計理念上，為了提升其承載力，除了中心節(jié)流孔，額外設(shè)置了12個環(huán)形分布的節(jié)流孔，同時在環(huán)形分布節(jié)流孔的出口設(shè)置梯形均壓槽，其實物如圖1所示。

圖 1 多微通道式氣體靜壓節(jié)流器實物圖

在建立其數(shù)學模型時，為方便分析，將多微通道式氣體靜壓節(jié)流器分為兩部分，分別是環(huán)形分布的12個小孔節(jié)流和中心孔小孔節(jié)流，并進行如下假設(shè)：

1）通過供氣孔流入節(jié)流器的總流量為經(jīng)過環(huán)形分布節(jié)流孔和中心節(jié)流孔流入氣膜的流量之和。

2）氣體在節(jié)流孔中的流動是連續(xù)的等熵流動，且無流量損失。

3）氣體在氣膜和均壓槽處的流動均為層流，且為等溫流動。

由于多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的結(jié)構(gòu)具有對稱性，因此取其中的一部分作為研究對象。

當中心節(jié)流孔單獨作用時，其氣膜內(nèi)壓力分布[15]為

式中：pa——環(huán)境大氣壓力，Pa；

pzd——錐形氣腔邊界壓力，Pa；

r——氣膜上任意點離中心的距離，mm；

r2——錐形氣腔末端半徑，mm；

r3——軸承外徑，mm。

對式（1）積分可得承載力W1為

其中W1為中心節(jié)流孔單獨作用時的承載力，單位為N。

進一步可得靜剛度k1為

式中：k1——中心節(jié)流孔單獨作用時的氣膜靜剛度，N/m；

h1——中心節(jié)流孔單獨作用時的氣膜厚度，m。

當環(huán)形分布節(jié)流孔單獨作用時，其氣膜壓力分布[15]為

式中：pd——氣體流經(jīng)均壓槽后的壓力，Pa；

rh——氣膜上任意點離環(huán)形分布節(jié)流孔的距離，mm；

r4——均壓槽出口半徑，mm。

對式（4）積分可得承載力W2為

其中W2為中心節(jié)流孔單獨作用時的承載力，單位為N。

進一步可得靜剛度k2為

式中：k2——環(huán)形分布節(jié)流孔單獨作用時的氣膜剛度,N/m；

h2——環(huán)形分布節(jié)流孔單獨作用時的氣膜厚度，m。

由上述靜態(tài)參數(shù)的公式可知，在確保節(jié)流器輸入流量足夠大的情況下，氣膜的承載力W總和靜剛度k總由中心節(jié)流孔和環(huán)形分布節(jié)流孔共同提供，即：

式中：W總——多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的總承載力，N；

k總——多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的總靜剛度，N/m。

由式（7）和式（8）可以確定，多微通道式氣體靜壓節(jié)流器能夠大大提升節(jié)流器的靜態(tài)性能。然而為了提高節(jié)流器的靜態(tài)性能，在環(huán)形分布節(jié)流孔的出口處設(shè)計了梯形均壓槽，均壓槽的存在形成了額外的氣容，導致多微通道式氣體靜壓節(jié)流器隨著輸入氣壓的增大，必然會出現(xiàn)自激振蕩現(xiàn)象，影響節(jié)流器的正常工作。

在以往的研究中，發(fā)現(xiàn)帶均壓槽的節(jié)流器發(fā)生自激振蕩的頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近，因此，測量節(jié)流器的固有頻率顯得尤為重要。

2 節(jié)流器階躍響應(yīng)測試

2.1 階躍響應(yīng)測試方案設(shè)計

圖2為階躍響應(yīng)測試測量裝置的示意圖，壓縮氣體由高精度穩(wěn)壓氣源提供，壓縮氣體相繼通過調(diào)壓閥和電磁閥后流入節(jié)流器。由于振動達到了微米，甚至納米級別，因此測試時將節(jié)流器放置于大理石隔震平臺上，同時大理石隔震平臺置于隔震地基上，使其具有更好的隔震效果。采用高精度激光位移傳感器測量節(jié)流器的階躍響應(yīng)，為了增強激光的反射能力，在多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的上表面靠近邊緣和中心的位置分別貼上反光紙，如圖1（b）所示。同時，在節(jié)流器四周安裝限位裝置，防止節(jié)流器通氣后橫向位移過大，導致激光位移傳感器的點激光無法照射在反光紙上，致使獲取的數(shù)據(jù)不準確。激光位移傳感器安裝于三腳架上，用于測量節(jié)流器在垂直方向上的位移量。測試裝置實物如圖3所示。

圖 2 測試裝置示意圖

圖 3 測試裝置實物圖

所用壓縮氣源的最大供氣壓力為1.0 MPa，采用調(diào)壓閥分別調(diào)節(jié)節(jié)流器進氣壓力為0.1 MPa、0.2 MPa、0.3 MPa和0.4 MPa，通過快速改變電磁閥的工作狀態(tài)來模擬階躍信號輸入，同時由激光位移傳感器測量階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)。

開始測量前，首先調(diào)節(jié)三腳架，使激光位移傳感器的點激光照射在反光紙上。本次測試為空載，即節(jié)流器上不放置任何載荷，只考慮節(jié)流器本身的重量。由于多微通道式氣體靜壓節(jié)流器所用材料剛性較強，不同測試點的幅頻曲線中頻點應(yīng)相似，而越靠近邊緣，其振動幅值越大，因此選取了位于節(jié)流器邊緣的位置1作為測試點，測量了位置1在通氣瞬間的階躍響應(yīng)。

2.2 階躍響應(yīng)測試結(jié)果

激光位移傳感器測得的信號通過配套的信號處理系統(tǒng)處理后輸入上位機，通過軟件可以查看時間-位移曲線。經(jīng)處理后，通氣壓力為0.1 MPa、0.2 MPa、0.3 MPa和0.4 MPa時多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的階躍響應(yīng)曲線如圖4～圖7所示。

圖 4 0.1 MPa時節(jié)流器階躍響應(yīng)曲線

圖 5 0.2 MPa時節(jié)流器階躍響應(yīng)曲線

圖 6 0.3 MPa時節(jié)流器階躍響應(yīng)曲線

圖 7 0.4 MPa時節(jié)流器階躍響應(yīng)曲線

由測試結(jié)果可知，多微通道式氣體靜壓節(jié)流器在通氣瞬間，其階躍響應(yīng)曲線呈現(xiàn)衰減振蕩的趨勢，并且在經(jīng)過一段時間后位移量趨于穩(wěn)定值，即節(jié)流器趨于穩(wěn)定，氣膜厚度趨于穩(wěn)定值。多微通道式氣體靜壓節(jié)流器在空載時的這種階躍響應(yīng)特性與傳統(tǒng)控制理論中的二階欠阻尼系統(tǒng)相似，因此在對數(shù)據(jù)進行分析時，將其簡化為二階線性系統(tǒng)，對多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的固有頻率、阻尼比、靜剛度、阻尼系數(shù)等參數(shù)進行分析。

3 階躍響應(yīng)測試數(shù)據(jù)時域分析與建模

為了得到多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的固有頻率、阻尼比、靜剛度、阻尼系數(shù)等參數(shù)，首先需要對階躍響應(yīng)的時域數(shù)據(jù)進行分析，為降低分析難度，因此做如下假設(shè)：

1）假設(shè)系統(tǒng)輸入信號為理想的階躍信號。測試所用電磁閥的啟動響應(yīng)時間約為2 ms，同時根據(jù)圖4～圖7的測試結(jié)果可知，輸入氣壓為0.3 MPa時階躍響應(yīng)的峰值時間最小，約為8 ms。因此，在到達第一個波峰時，輸入氣壓已經(jīng)達到最大值，在假設(shè)系統(tǒng)輸入信號為理想的階躍信號時，不能忽略電磁閥的啟動響應(yīng)時間對峰值時間的影響。

2）假設(shè)通氣瞬間，壓縮氣體同時從中心節(jié)流孔和環(huán)形分布節(jié)流孔中流入氣膜，即氣膜上氣體分布均勻。

3.1 階躍響應(yīng)函數(shù)建立

從測試結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，不同輸入氣壓下，第一個波峰處的超調(diào)量為178%、157%、239%和105%，均大于100%，說明測得的階躍響應(yīng)并不是簡單的單輸入-單輸出系統(tǒng)（SISO）的階躍響應(yīng)。從多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，氣膜由中心節(jié)流孔和環(huán)形分布節(jié)流孔共同作用形成，因此在壓縮氣體剛從節(jié)流孔流入氣膜時，氣膜承載力由中心節(jié)流孔和環(huán)形分布節(jié)流孔共同提供。另外從測試數(shù)據(jù)中可知，不同輸入氣壓下，多微通道式氣體靜壓節(jié)流器在空載時，其氣膜厚度最后分別穩(wěn)定在191 μm、187 μm、177 μm和179 μm。根據(jù)相關(guān)資料可知，在此氣膜厚度下，環(huán)形分布節(jié)流孔的作用已非常小，中心節(jié)流孔起主導作用。

二階欠阻尼系統(tǒng)固有頻率的計算涉及峰值時間，從圖4～圖7可以發(fā)現(xiàn)，對于每一個階躍響應(yīng)曲線，從第2個波峰開始，波峰與波峰之間的時間都比較接近，但是峰值時間遠大于半周期，具體數(shù)據(jù)見表1。分析可知，由于電磁閥打開時存在2 ms左右的響應(yīng)時間，因此系統(tǒng)輸入信號不是理想的階躍信號，對峰值時間具有一定的影響。

表 1 峰值時間和平均振蕩周期

綜上，可知：

1）不同氣壓輸入下，雖然階躍響應(yīng)曲線接近二階欠阻尼系統(tǒng)，但是從數(shù)據(jù)上可以得知，多微通道式氣體靜壓節(jié)流器是一個多輸入-多輸出系統(tǒng)（MIMO），尤其是在第一個波峰處，超調(diào)量均超過100%，不能直接用于阻尼比的計算。

2）峰值時間遠大于半周期，主要是受到電磁閥啟動響應(yīng)時間的影響，且影響不能忽略，因此不能直接用峰值時間計算阻尼振蕩頻率。

為了將中心節(jié)流孔與環(huán)形分布節(jié)流孔共同作用時的階躍響應(yīng)分離開，同時在超調(diào)量和峰值時間不可直接用于計算阻尼比和阻尼振蕩頻率的情況下，擬通過求解階躍響應(yīng)函數(shù)的方法來獲得阻尼比和阻尼振蕩頻率。二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)函數(shù)如下

式中：ε——穩(wěn)態(tài)輸出，m；

ωn——無阻尼振蕩頻率，rad/s；

ωd——阻尼振蕩頻率，rad/s；

β——初相角，β=arccosξ。

對式（9）進行移項，可得

其中 σ為實際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出之間的偏差。

對式（10）積分后并使其等于 0，可得式（10）的解為ωdt=0,π,2π,3π,···。將解代入式（10），可得波峰和波谷的響應(yīng)值與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差公式為

根據(jù)測試數(shù)據(jù)可以得到波峰和波谷的實際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差，代入式（11），可求出每一個波峰和波谷對應(yīng)的阻尼比 ξ。令圖4～圖7第一個波谷計算所得阻尼比序號為1，第二個波峰計算所得阻尼比序號為2，依次往后排序。則不同氣壓輸入下，利用每一個波峰和波谷求出的阻尼比曲線如圖8所示。

圖 8 阻尼比曲線圖

從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，采用每一個波峰和波谷的方法求取阻尼比時，使用序號1～8的波谷或波峰計算所得的阻尼比波動較大，這是由于此時環(huán)形分布的節(jié)流孔作用還較大。同時，從曲線上可以發(fā)現(xiàn)波峰對照的阻尼比變大，波谷對照的阻尼比變小，也可以看出在氣膜形成初期，環(huán)形分布節(jié)流孔的作用較大。隨著節(jié)流器和氣膜逐漸穩(wěn)定，環(huán)形分布節(jié)流孔的作用逐漸減弱，阻尼比也趨于穩(wěn)定，選取較平緩區(qū)域的阻尼比，求取平均阻尼比。同時根據(jù)公式ωd=2π/T，求出阻尼振蕩頻率，參數(shù)見表2。

表 2 阻尼振蕩頻率

將表2中的數(shù)據(jù)代入式（9），可以得到多微通道式氣體靜壓節(jié)流器在只有中心節(jié)流孔作用時，節(jié)流器的階躍響應(yīng)函數(shù)z(t)。

輸入氣壓為0.1 MPa時，z1(t)為

輸入氣壓為0.2 MPa時，z2(t)為

輸入氣壓為0.3 MPa時，z3(t)為

輸入氣壓為0.4 MPa時，z4(t)為

隨著氣膜的形成，環(huán)形分布節(jié)流孔的作用減弱，因此其作用是非線性的，且在第一個波峰處作用最大，根據(jù)第一個波峰對階躍響應(yīng)函數(shù)進行修正，得到完整的階躍響應(yīng)函數(shù)c(t)。

輸入氣壓為0.1 MPa時，c1(t)為

其中，tc為環(huán)形分布的節(jié)流孔作用較大的時間，單位為s。

輸入氣壓為0.2 MPa時，c2(t)為

輸入氣壓為0.3 MPa時，c3(t)為

輸入氣壓為0.4 MPa時，c4(t)為

從階躍響應(yīng)函數(shù)c(t)中可以發(fā)現(xiàn)：

1）不同氣壓輸入下，中心孔單獨作用時的阻尼比相對接近，但是中心孔單獨作用時的阻尼振蕩頻率隨著輸入氣壓的增大而增大，因此不同氣壓輸入時的階躍響應(yīng)函數(shù)并不完全一致。分析后認為是由于空載時未控制氣膜厚度，不同氣壓輸入下的節(jié)流器-氣膜系統(tǒng)并不是完全相同的，從而導致阻尼振蕩頻率的變化。

2）從非線性項中可以發(fā)現(xiàn)，在輸入氣壓為0.3 MPa時，其在第一個波峰處的幅值最大，達到了596 μm，說明在此壓力下，阻尼振蕩頻率接近節(jié)流器-氣膜系統(tǒng)的共振區(qū)，在使用多微通道式氣體靜壓節(jié)流器時應(yīng)避免此氣壓。

3.2 傳遞函數(shù)分析

在以往的研究中，通常認為氣膜的阻尼很小或者在計算時忽略氣膜的阻尼，在某些情況時對結(jié)果的影響不大，但是在超精密領(lǐng)域，其誤差不可忽略，因此擬進一步對多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的傳遞函數(shù)進行分析，從而獲得氣膜的阻尼系數(shù)。根據(jù)機械流體相關(guān)知識，可知節(jié)流器-氣膜系統(tǒng)可等效為彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)，根據(jù)多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的結(jié)構(gòu)，若將環(huán)形分布的節(jié)流孔與中心節(jié)流孔分開考慮，則系統(tǒng)簡圖如圖9所示。

圖 9 節(jié)流系統(tǒng)動力學模型圖

其運動方程為

式中：m多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的質(zhì)量，kg；

x1_中心節(jié)流孔單獨作用時節(jié)流器在Z軸方向的位移量，m；

c1_中心節(jié)流孔單獨作用時的氣膜阻尼系數(shù)，N/(m·s-1)；

f1(t)——中心節(jié)流孔單獨作用時的氣膜承載力，N；

x2_環(huán)形分布節(jié)流孔單獨作用時節(jié)流器在Z軸方向的位移量，m；

c2——環(huán)形分布節(jié)流孔單獨作用時的氣膜阻尼系數(shù)，N/(m·s-1)；

f2(t)——環(huán)形分布節(jié)流孔單獨作用時的氣膜承載力，N。

對式（20）進行Laplace變換，可得

當中心節(jié)流孔單獨作用時，令c1/m=2n1，k1/m=ωn12，其傳遞函數(shù)為

式中：n1——衰減系數(shù)；

ωn1——系統(tǒng)固有頻率。

當環(huán)形分布節(jié)流孔單獨作用時，其傳遞函數(shù)為

式中：n2——衰減系數(shù)；

ωn2——系統(tǒng)固有頻率。

已知多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的質(zhì)量為0.26 kg，結(jié)合表2數(shù)據(jù)，代入式（22），可以得到不同氣壓輸入時，中心節(jié)流孔單獨作用時的傳遞函數(shù)。

輸入氣壓為0.1 MPa時，傳遞函數(shù)為

輸入氣壓為0.2 MPa時，傳遞函數(shù)為

輸入氣壓為0.3 MPa時，傳遞函數(shù)為

輸入氣壓為0.4 MPa時，傳遞函數(shù)為

根據(jù)公式c1/m=2n1和k1/m=ωn12，可以進一步計算得到阻尼系數(shù)c1和靜剛度k1，具體數(shù)值見表3。

表 3 阻尼系數(shù)和靜剛度

通過對多微通道式氣體靜壓節(jié)流器傳遞函數(shù)的推導，成功求出了阻尼系數(shù)和靜剛度，多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的阻尼系數(shù)在以往的論文中是沒有獲得過的。

4 結(jié)束語

本文給出了多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的靜態(tài)參數(shù)方程和動力學模型；通過階躍響應(yīng)測試分析了多微通道式氣體靜壓節(jié)流器在不同氣壓輸入時的動靜態(tài)特性，主要得到以下結(jié)論：

1）給出了多微通道式氣體靜壓節(jié)流器氣膜壓力分布、承載力和靜剛度的方程。根據(jù)靜態(tài)參數(shù)的方程發(fā)現(xiàn)，多微通道式氣體靜壓節(jié)流器可大大提升節(jié)流器的承載力與剛度，然而由于設(shè)置了較多的均壓槽，導致節(jié)流器穩(wěn)定性下降，易產(chǎn)生自激振蕩現(xiàn)象，因此需要對節(jié)流器的固有頻率等動靜態(tài)參數(shù)進行進一步分析。

2）測試得到了多微通道式氣體靜壓節(jié)流器的階躍響應(yīng)曲線，從曲線中發(fā)現(xiàn)，其階躍響應(yīng)接近二階欠阻尼系統(tǒng)，這說明多微通道式氣體靜壓節(jié)流器-氣膜系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，然而不同氣壓輸入時的階躍響應(yīng)函數(shù)并不統(tǒng)一，主要原因是未控制氣膜厚度完全一致，導致節(jié)流器-氣膜系統(tǒng)發(fā)生改變。

3）通過時域分析方法，獲得了不同壓力輸入下的阻尼比和阻尼振蕩頻率，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的阻尼振蕩頻率隨著輸入氣壓的增大而增大。同時，通過分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù)獲得了氣膜的阻尼系數(shù)和靜剛度，發(fā)現(xiàn)阻尼系數(shù)和靜剛度呈現(xiàn)相同的增長趨勢，因此在滿足靜剛度的情況下，應(yīng)合理控制系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，對后續(xù)研究起指導作用。