深圳市高級(jí)中學(xué)(集團(tuán))(518040) 譚業(yè)靜 平光宇

2021年1月23-25日,第三批啟動(dòng)高考綜合改革的八個(gè)省份進(jìn)行了普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練.其中數(shù)學(xué)試卷的第20 題,對(duì)立體幾何內(nèi)容的考查一反常態(tài),引起師生熱議.

原題北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性,規(guī)定: 多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如: 正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)都有3 個(gè)面角,每個(gè)面角是所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π ?3×=π,故其總曲率為4π.

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)若多面體滿足: 頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)+面數(shù)= 2,證明: 這類多面體的總曲率是常數(shù).

本題以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為背景,考查立體幾何相關(guān)知識(shí)、空間想象能力,立意新穎.突出考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).特別是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表述能力.本文整理了幾種解答表述,供讀者參考.

解法一(1)由題意,四棱錐在各頂點(diǎn)處面角之和即為各面內(nèi)角之和,四棱錐有四個(gè)側(cè)面三角形,一個(gè)底面四邊形.面角之和為4×π+2π= 6π.而四棱錐有5 個(gè)頂點(diǎn),總曲率即為各頂點(diǎn)曲率之和,所以,總曲率為5×2π ?6π= 4π,所以四棱錐總曲率為4π.

(2)設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為x,棱數(shù)為y,面數(shù)為z,由題意可知:x ?y+z= 2.多面體在各頂點(diǎn)面角之和即為各面內(nèi)角之和,n邊形內(nèi)角和為(n ?2)π.而多面體一共有z個(gè)面,這z個(gè)面的所有邊的總數(shù)為2y(兩個(gè)面的公共邊算作兩條邊),所包含的所有內(nèi)角也恰好為2y個(gè),因此,所有這些面角(也就是多邊形的內(nèi)角)之和剛好等于這z個(gè)面多邊形的內(nèi)角和的總和,即等于(2y ?2z)π.多面體有x個(gè)頂點(diǎn),而多面體總曲率即為各頂點(diǎn)曲率之和,所以,多面體的總曲率為:x·2π ?(2y ?2z)π=2(x ?y+z)π=4π,即該多面體總曲率為4π,是常數(shù).

解法二(1) 解略; (2) 設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)為x, 棱數(shù)為y, 面數(shù)為z, 總曲率為w, 則x ?y+z= 2.設(shè)多面體的z個(gè)面多邊形分別是ni(i= 1,2,··· ,z) 邊形, 內(nèi)角和為(ni ?2)π,其中,n1,n2,··· ,nz滿足n1+n2+···+nz=2y,則w=2πx ?[(n1?2)π+(n2?2)π+···+(nz ?2)π]=2πx ?(n1+···+nz ?2z)π=2π(x ?y+z)=4π為常數(shù).所以,這類多面體總曲率為常數(shù).

解法三依題意,多面體的曲率為其頂點(diǎn)數(shù)乘2π 減去其所有面內(nèi)角之和.

(1)四棱錐有5 個(gè)頂點(diǎn),4 個(gè)三角形面,1 個(gè)四邊形面,故曲率為: 5×2π ?4×π ?1×2π=4π.

(2) 設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)為x, 棱數(shù)為y, 面數(shù)為z, 則x ?y+z= 2.設(shè)多面體的z個(gè)面中ai邊形的面有bi個(gè)(i= 1,2,··· ,n),則=z,又因?yàn)槊織l棱恰在其兩側(cè)的兩個(gè)面多邊形中各出現(xiàn)一次,所以= 2y,故曲率為2π·x ?=π(2x ?π(2x ?2y+2z)=4π.所以,對(duì)于任意滿足題中條件的多面體,其曲率為常數(shù)4π.

解法四(1)解略;(2)設(shè)該多面體由1,2,··· ,n邊形圍成,其中i邊形有mi(i= 1,2,3,...,n)個(gè)(其中有一些可以等于零),故棱數(shù)又頂點(diǎn)數(shù)x=2+y ?z,所以

設(shè)αk(k= 1,2,··· ,z)為第k個(gè)面的內(nèi)角之和,顯然等于該多面體的所有面角之和,且

不難得出總曲率w=將①、②兩式代入上式，得到

故該多面體的總曲率為定值4π.

本題的解答要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力,通過(guò)數(shù)學(xué)抽象將問(wèn)題符號(hào)化,并利用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言作為工具進(jìn)行邏輯推理.其中關(guān)鍵是將每一個(gè)面,設(shè)其為ni(i= 1,2,··· ,z)邊形,利用內(nèi)角和為(ni ?2)π,先求出面角,找出多面體的棱和各面邊數(shù)的關(guān)系,再利用歐拉公式得出證明.

在解法三和解法四中,更加充分地運(yùn)用了符號(hào)語(yǔ)言,相對(duì)于解法一和解法二,避免了許多繁冗而難以理解的文字語(yǔ)言表述,從而更加自然而簡(jiǎn)潔地表達(dá)出了上面所說(shuō)的邏輯關(guān)系.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,重視和加強(qiáng)符號(hào)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練,既是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的需要,也是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.