山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)(250109) 張?zhí)N祿

“讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”是世界各國課程改革的永恒主題.“教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)”已成為當(dāng)今世界流行的口號.我國著名教育家陶行知先生早就指出:“我以為好的先生不是教書,不是教學(xué)生,乃是教學(xué)生學(xué).”數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是要求關(guān)注學(xué)生的發(fā)展,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為和習(xí)慣的改善.然而目前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的低效表現(xiàn)呼喚高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的低效表現(xiàn)

很多學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是解題,解一道一道的具體題目.學(xué)生每天在書山題海中跋涉,做了大量的題目.說做題甚至都已經(jīng)過時(shí)了,應(yīng)該叫“刷題”(據(jù)說有的學(xué)校高中三年僅數(shù)學(xué)試卷摞起來竟達(dá)280cm 高).然而在很多情況下,學(xué)生的做題數(shù)量與取得的成績是不相匹配的.經(jīng)常聽到家長說“孩子每天都熬夜到很晚,用了大量的時(shí)間做數(shù)學(xué)作業(yè)可是數(shù)學(xué)成績?nèi)怎r有提高”.很多學(xué)生,老師講時(shí)也能明白,做過的題目過幾天就忘了,于是反復(fù)練、重復(fù)練就成了家常便飯.經(jīng)常聽到老師們抱怨“這個(gè)題講了n遍了,還是這么多學(xué)生出錯(cuò)”.種種跡象表明很多學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是低效率的.

2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率低的成因分析

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為,問題是數(shù)學(xué)的心臟,數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解.數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要素,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是“問題解決”, 而數(shù)學(xué)題是數(shù)學(xué)問題的一個(gè)載體,是數(shù)學(xué)問題的具體呈現(xiàn).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題,著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不做題如入寶山而空手歸”.但是如果解題只是就題論題、淺嘗輒止,而看不到題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì),面對稍微靈活一點(diǎn)的題目便會(huì)無所適從.究其原因是因?yàn)閷W(xué)生缺乏問題意識,僅靠多做題,只是就題論題,這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是碎片化的,是缺乏邏輯性和系統(tǒng)性的,也一定是低效能的,因?yàn)闆]有整體系統(tǒng)的知識是容易丟失的,沒有邏輯關(guān)聯(lián)的知識是容易偏離的.

例1已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線y=x+1 與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn),且滿足OA⊥OB,求橢圓的方程.

例2已知直線l過點(diǎn)且與橢圓相交于C、D兩點(diǎn),求證以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E(1,0).

例3已知橢圓= 1 外一點(diǎn)M(m,0)(m ＞傾斜角為的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn), 若點(diǎn)N(3,0)在以線段CD為直徑的圓E的外部,求m的取值范圍.

例4已知直線l過點(diǎn)且與橢圓相交于C、D兩點(diǎn),試問: 在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動(dòng),以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T? 若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

以上4 個(gè)題目都是圍繞同一個(gè)問題編擬的, 即“垂直問題”.例1 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 根據(jù)OA⊥OB列出x1x2+y1y2= 0 而解答.例2 以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E,實(shí)質(zhì)上還是EC⊥ED.例3 點(diǎn)N在以線段CD為直徑的圓E的外部,等價(jià)于例4 與例2 的區(qū)別就是例2 中點(diǎn)E的坐標(biāo)是已知的,而點(diǎn)T的坐標(biāo)是未知的,理解到這一點(diǎn),只要能求出點(diǎn)T的坐標(biāo)(比如運(yùn)用特殊值法)剩下的就應(yīng)該與例2 相同了.盡管4 道題目圍繞同一個(gè)問題,且題目與題目之間僅僅是細(xì)微的變化,但就是這每一次的細(xì)微變化,都會(huì)阻礙一些學(xué)生的腳步.由于4 道題目學(xué)生不會(huì)同時(shí)遇到,如果學(xué)習(xí)僅僅就題論題、碎片化的,等遇到后面的題目時(shí)前面的題目就已經(jīng)忘記了,老師的每一次講解都要另起爐灶、重新開始.即便是4 道題目全部做過,由于4 道題目分別在不同時(shí)段,且沒有很好的整合,也很難認(rèn)識到這類題目的本質(zhì)規(guī)律.也就是說學(xué)生學(xué)習(xí)效率低的原因是在很大程度上是沒有很好的發(fā)揮已做題目的作用.

3 “問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法

“問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,從數(shù)學(xué)問題及其解法或者是定理、性質(zhì)、結(jié)論等提煉出一般性的數(shù)學(xué)問題中,建立一個(gè)屬于該一般性數(shù)學(xué)問題的賬戶,在后續(xù)的學(xué)習(xí)中圍繞這一問題逐步進(jìn)行積累、建構(gòu)、進(jìn)而形成一個(gè)完善的數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.“問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法有提煉問題、建立賬戶、積累構(gòu)建、形成系統(tǒng)幾大基本步驟.

“問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法遵循建構(gòu)主義原理,通過給數(shù)學(xué)問題建立賬戶的形式,不斷積累與建構(gòu)數(shù)學(xué)問題,逐步形成數(shù)學(xué)問題系統(tǒng).完善的數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)的形成意味著能從數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化的具體呈現(xiàn)中洞察其來龍去脈、把握其本質(zhì)規(guī)律.“問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法強(qiáng)調(diào)在原有知識體系的基礎(chǔ)上構(gòu)建,重視舊知與新知的整合,最大限度的發(fā)揮已做題目的作用,真正做到“經(jīng)歷+總結(jié)=提高”,進(jìn)而提高解題效率.

例1-例4 僅僅是“垂直問題”的幾個(gè)變式而已,其實(shí)關(guān)于垂直問題的變式還有很多,如果每遇到一次變式,就把這一問題補(bǔ)充完善、梳理整合,積累到一定程度,認(rèn)識到這類問題的本質(zhì)規(guī)律也就是水到渠成的事了.

4 “問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法的實(shí)施

4.1 提煉問題、建立賬戶

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要有問題意識,要善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、提煉問題,只有提煉出問題才有可能給所提煉的問題建立一個(gè)“賬戶”.也只有給問題建立起一個(gè)賬戶,才能圍繞這一問題逐步進(jìn)行構(gòu)建,逐步存儲(chǔ)一些有價(jià)值的東西.這就和銀行存款一樣,只有在銀行建立一個(gè)賬戶,才能不斷向這一賬戶存款.如果沒有問題意識、賬戶意識,那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就只剩下解題了.

前文所述,如果解答例1 時(shí)就給垂直問題建立一個(gè)賬戶,解答例2-例4 時(shí)及時(shí)積累關(guān)于垂直問題的一些變式,那么就會(huì)對這一問題的認(rèn)識越來越深刻,積累到一定程度,就會(huì)出現(xiàn)任其垂直問題千變?nèi)f化總能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)的東西.再看下面的例子.

例5若0＜a ＜1,且函數(shù)f(x) =|logax|,則下列各式中成立的是

這是課本上的一道傳統(tǒng)題目,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合(如圖1),其本質(zhì)就是f(a)=f(b),則ab=1.答案選A.

如果解答此題僅是就題論題,求解之后沒有做過多思考,也沒有進(jìn)一步提煉出這道題目所涉及到的問題,那么解此題的效率就很低了.

例6(2010 高考全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科第10 題)已知函數(shù)f(x) =|lgx|,若0＜a ＜b,且f(a) =f(b),則a+2b的取值范圍是

例7設(shè)方程3x=|lg(?x)|的兩個(gè)根為x1,x2,則

A.x1x2＜0 B.x1x2=0 C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1

例8已知函數(shù)f(x) =若0＜a ＜b ＜c,滿足f(a) =f(b) =f(c),則的取值范圍是_____.

分析對于例6,不難得到a+2b=a+然后再利用“對勾”函數(shù)的性質(zhì), 可得出答案選C.對于例7, 如圖2, 此題就是在原來例5 的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一些變化,但是無論如何變化,只需抓住y=|ln(?x)|的性質(zhì),就能體會(huì)變中的不變,答案選D.對于例8,只要理解好f(x)=|logax|(a ＞0,a/=1)的性質(zhì),就能得到ab= 1,然后只需求出的范圍即可,答案為(1,2).

例5-例8 都屬于“函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1)的性質(zhì)”問題.盡管題目變換不定, 但是只要抓住了函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1) 在“區(qū)間(0,1) 上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增”以及“f(m) =”這個(gè)關(guān)鍵, 題目都能解決.很多學(xué)生不能解決的原因是當(dāng)題目的背景、題設(shè)條件等變化之后不能正確甄別.也就是說對函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1)的性質(zhì)的認(rèn)識和理解還不到位.而學(xué)生正常情況下又很難一次遇到這么多的題目,解答例5 之后可能要間隔很長時(shí)間才能遇到例6-例8 中的問題,而此時(shí)在很多學(xué)生的記憶中f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1)的性質(zhì)已經(jīng)漸行漸遠(yuǎn)了,因?yàn)樵谶@部分學(xué)生的知識框架里根本沒有函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1)的性質(zhì)的賬戶.一旦遇到后面的題目,當(dāng)老師講解時(shí)也能明白,但卻很難與前面的題目整合在一起,這就使得解題的效率大大降低.

如果學(xué)生第一次遇到例5 時(shí), 就提煉出函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a/=1)的性質(zhì),并及時(shí)給這一問題建立一個(gè)賬戶,在以后的學(xué)習(xí)中再碰到諸如例6-例8 中的問題,及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充、完善,把前后問題整合在一起,那么這種學(xué)習(xí)就是圍繞問題在學(xué)習(xí).如果圍繞這一問題不斷積累,就會(huì)發(fā)生有量變到質(zhì)變的飛躍,這就是我們經(jīng)常所說的厚積薄發(fā).

4.2 積累建構(gòu)、形成系統(tǒng)

提煉問題、建立賬戶后,根據(jù)學(xué)習(xí)的進(jìn)展,要逐步補(bǔ)充完善,每一個(gè)問題要有足夠的題目或變式作為支撐,也就是說這個(gè)問題要有一個(gè)基本骨架,有了這樣一個(gè)基本骨架,才叫有了“形”,進(jìn)而形成一個(gè)有血有肉的有機(jī)整體,形成一個(gè)數(shù)學(xué)問題系統(tǒng).盡管說問題和具體題目不是一回事,但是問題還需要具體題目來呈現(xiàn).

例如前面圍繞函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1)的性質(zhì)所建立的賬戶,盡管存儲(chǔ)了諸如例5-例8 等題目后已經(jīng)不再是干巴巴的性質(zhì)而是有血有肉的一個(gè)小的單元,或著具有了一個(gè)“雛形”,但僅有這幾個(gè)題目還不足以支撐起這一問題的整個(gè)系統(tǒng).

例9已知函數(shù)f(x)=若0＜x1＜x2＜x3, 滿足f(x1) =f(x2) =f(x3), 則的取值范圍是____.

例10已知函數(shù)f(x)=若?1＜a ＜b ＜c ＜d,滿足f(a) =f(b) =f(c) =f(d),則a+b+c+d的取值范圍是____.

例11(2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(B) 一試第10 題) 已知定義在(0,+∞) 上的函數(shù)f(x) 為f(x) =設(shè)a,b,c是三個(gè)不相等的實(shí)數(shù),滿足f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范圍.

分析例9 就是把例8 中的函數(shù)進(jìn)行了平移,由此變成了(x1+1)(x2+1)=1.理解了此種變化問題就不難解決了,答案仍為(1,2).例10 是把例9 中的分式函數(shù)變成了二次函數(shù),(a+1)(b+1) = 1,c+d= 4,就可以求出a+b+c+d的取值范圍是(4,+∞).例11 就是把函數(shù)y= log3x平移和翻折變換,此時(shí)f(a) =f(b)已不再是a,b互為倒數(shù),而是ab=32=9,但本質(zhì)上還是一樣的,其具體解法如下:

解不妨設(shè)a ＜b ＜c, 則a ∈(0,3),b ∈(3,9),c ∈(9,+∞), 因?yàn)閒(a) =f(b), 1?log3a= log3b ?1, 所以ab=32=9,于是abc=9c.又因?yàn)?＜f(c)=4?所以c ∈(9,16),故abc ∈(81,144).

例5-例11 盡管都屬于“函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /=1)的性質(zhì)”問題.題目考查點(diǎn)各有側(cè)重,難度也各有不同,有課本題目、也有高考試題,還包括競賽題目,但歸根結(jié)底都與函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1)的性質(zhì)有關(guān).如果說例5-例8 是這一問題的雛形,積累到例9-例11,就構(gòu)建起了一個(gè)比較完善的系統(tǒng)了.如果構(gòu)建起了這樣一個(gè)系統(tǒng),那么學(xué)生對這一問題的認(rèn)識就不會(huì)再是就題論題了,就能從千變?nèi)f化中洞察和把握其中的本質(zhì)規(guī)律.我們經(jīng)常說題目萬變不離其宗,此時(shí)學(xué)生就能夠抓住這個(gè)宗.這類問題的宗就是無論題目怎么變化,都要圍繞函數(shù)f(x) =|logax|(a ＞0,a /= 1)在“區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增”以及的本質(zhì).當(dāng)然題目變化之后,這一本質(zhì)也會(huì)出現(xiàn)一些新的呈現(xiàn)方式(例如例9 中變成(a+1)(b+1)=1,例11 中f(a) =f(b)變?yōu)閍b= 9),但是無論如何變化,都是圍繞這一性質(zhì)的變化.如果學(xué)生能抓住這一點(diǎn),千變?nèi)f化的一道一道的具體題目呈現(xiàn)在面前時(shí),就能夠不畏浮云遮望眼了,甚至學(xué)生都可以自己編題了.

當(dāng)然不可否認(rèn),某些數(shù)學(xué)天分極高的學(xué)生在例5 的基礎(chǔ)上就能直接上升到例11 的問題,甚至是有能力直接解答例11,但是據(jù)筆者多年的教學(xué)實(shí)踐,如果僅僅是給問題建立了賬戶,而圍繞問題的積累還非常單薄,還不具備足以構(gòu)建起支撐起這一問題基本變化系統(tǒng),還是不能游刃有余的解決此類問題的.任何一個(gè)問題系統(tǒng)都有構(gòu)成這一問題系統(tǒng)的基本要素,也就是說這個(gè)系統(tǒng)應(yīng)包含這類問題數(shù)學(xué)本質(zhì)、以及數(shù)學(xué)本質(zhì)的具體呈現(xiàn)形式,處理這一類問題的基本規(guī)律、技巧,以及學(xué)生在解決這類問題中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤等等都屬于這個(gè)問題系統(tǒng)的構(gòu)成要素.當(dāng)然構(gòu)建起的系統(tǒng)也不是內(nèi)容越多越好,整個(gè)建構(gòu)過程應(yīng)該是一個(gè)去粗取精、去偽存真的過程,也是一個(gè)因人而異的過程.“問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法是要給所有的(既包括天分極高、也包括看似天分不高的)學(xué)生提供一種知識梳理與盤點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法,只是面對同一問題,其梳理與積累的方法和耗費(fèi)的精力因人而異罷了.

也許有人說,為什么老師講解例5 時(shí)不把這些變換給學(xué)生講清楚呢? 事實(shí)上,由于受時(shí)間、課時(shí),以及學(xué)生接受能力的限制,圍繞這一問題的諸多題目是不可能一下子給學(xué)生呈現(xiàn)的,因?yàn)檫@也違背了分層遞進(jìn)、螺旋上升的認(rèn)知規(guī)律,以及夠一夠摘桃子的“最近發(fā)展區(qū)”理論.整個(gè)積累完善的過程應(yīng)該是先由教師引導(dǎo),最終要變成一個(gè)學(xué)生的自發(fā)行為.目的是讓學(xué)生掌握一種梳理知識、總結(jié)反思的學(xué)習(xí)方法.另一方面如果僅僅看到問題的“終點(diǎn)”或是較高目標(biāo)點(diǎn),而忽視數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)的構(gòu)建過程結(jié)果也會(huì)適得其反.

例12(2012年高考山東卷理科第21 題) 已知函數(shù)(k為常數(shù),e=2.71828···是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.

(1)求k的值;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè)g(x) = (x2+x)f′(x),其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明: 對任意x ＞0,g(x)＜1+e?2.

分析例12 是2012年山東高考理科的壓軸題,當(dāng)時(shí)得分率很低,特別是(3)更是很少有考生問津,更不用說得分了.(3)實(shí)際上就是要證明當(dāng)x ＞0 時(shí),1 + e?2.而要完成此不等式的證明很多考生就會(huì)無所適從, 但是只要熟悉不等式“ex ＞ x+ 1(x ＞0) ”就可把不等式變形為(1?x ?xlnx)＜1 + e?2, 而只需證明1?x ?xlnx≤ 1 + e?2,或者說只需求出h(x) = 1?x ?xlnx(x ＞0) 的最大值就可以了, 這就把壓軸題變成一個(gè)十分簡單的問題了.其實(shí)此題就是表達(dá)式的“變形與轉(zhuǎn)化”問題中的一種情況,如果不把這種情況納入到整個(gè)“變形與轉(zhuǎn)化”系統(tǒng)中,按照由淺入深的原則進(jìn)行積累與建構(gòu),即便是老師講過了,再遇到類似問題學(xué)生還會(huì)無所適從.這就是老師們經(jīng)常抱怨的“這種題該會(huì)的不講也會(huì),不會(huì)的講了也不會(huì)”.一個(gè)主要原因是作為老師沒有關(guān)于“變形與轉(zhuǎn)化”的問題系統(tǒng),更沒有引導(dǎo)學(xué)生逐步積累與建構(gòu)的意識,只是把目標(biāo)定位在了問題的較高目標(biāo)點(diǎn).

5 “問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法的成效

案例1課堂教學(xué)中筆者曾結(jié)合某些高考或模擬題講過拋物線一個(gè)常用性質(zhì).有個(gè)名叫關(guān)樂萌的同學(xué)運(yùn)用“問題·賬戶·系統(tǒng)”學(xué)習(xí)法,對此類問題不斷積累、不斷完善,完成了論文《一個(gè)久考不衰的拋物線的性質(zhì)》.

案例2一次老師課堂上講到巧妙利用對稱性使圓錐曲線題目不再困難.一個(gè)名叫孔湛琦的同學(xué)對圓錐曲線中對稱性的應(yīng)用進(jìn)行了積累和梳理,完成了《用對稱性求解圓錐曲線高考題》.

案例3課堂教學(xué)中筆者講過向量的拆分技巧.一個(gè)名叫朱靜怡的同學(xué)在筆者所講例題的基礎(chǔ)上不斷積累、拓展最后完成了論文《關(guān)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中萬變向量的拆分》.

以上幾個(gè)案例只是眾多案例的幾個(gè)典型代表,筆者的很多學(xué)生作品或發(fā)表于各類報(bào)刊、雜志,或在各級各類比賽中獲獎(jiǎng).新課程已經(jīng)將數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)論文寫作提高到非常重要的地位,有很多教師還在為評職晉級沒有論文發(fā)表而焦急的時(shí)候,我們的學(xué)生竟能在一些重要期刊上發(fā)表自己的論文,這不能不說這些學(xué)生掌握了一種高效的學(xué)習(xí)方法.每當(dāng)看到自己學(xué)生的作品發(fā)表或獲獎(jiǎng),心里都有一種溢于言表的自豪和幸福感.筆者感到高興的絕不僅僅是學(xué)生取得的成績,更重要的是看到學(xué)生已經(jīng)掌握了一種行之有效的高效學(xué)習(xí)方法,真正實(shí)現(xiàn)了授人以魚不如授人以漁.