廣東省東莞市東莞中學(xué)(523005) 趙銀倉

廣東省東莞市第六高級中學(xué)(523005) 黃佑鋒

1 問題起因

代數(shù)問題可分為等式問題與不等式問題,等式問題學(xué)生在分析中往往借助有關(guān)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化,化歸為熟悉的問題加以解決,找到解決問題的切入點(diǎn).但不等式問題一般不直接套用公式,變形方向不容易找到,困難性自然就增大了.可見,不等式問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),因其推理要求較高,聯(lián)想知識(shí)遷移用于問題解決難度大,學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍感覺到有較大的困難性.在和學(xué)生訪談中發(fā)現(xiàn)普遍存在這樣的問題,做課本中習(xí)題不覺得特別難,但遇到課外練習(xí)題又感很困難.在教材中只講了基本不等式,在解決不等式有關(guān)問題如證明、求最值、求范圍等問題時(shí)大多要使用基本不等式,通過邏輯推理運(yùn)算求解.研究不等式問題,解決方法的選擇大多與問題的結(jié)構(gòu)有關(guān),不同的結(jié)構(gòu)要選擇與其對應(yīng)的方法才能夠推理分析,變形求解.只掌握基本不等式,對一些問題的解決來說困難重重,不僅推理繁雜,而且有時(shí)望洋興嘆,無計(jì)可施,真有一籌莫展之感.如何在教學(xué)中提高學(xué)生在解決不等式問題時(shí)的邏輯思維、推理論證、運(yùn)算求解能力,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)? 在教學(xué)的實(shí)踐中很多老師都在關(guān)注思考解決這個(gè)問題的方案.

2 教學(xué)案例

以人教A 版為例,課本上把一些常用的重要的不等式編入在定理、例題、習(xí)題中,在教學(xué)中若能將其中一些重要的結(jié)論加以適度的拓展延伸并能應(yīng)用,讓學(xué)生在遷移知識(shí)用于解決問題的過程中將知識(shí)與方法融匯貫通,達(dá)到課內(nèi)所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與方法能夠分析和解決課外所遇到的問題,消除學(xué)習(xí)中的困惑,提高分析問題和解決不等式問題能力,提升邏輯思維、推理論證、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以單元復(fù)習(xí)課“基本不等式的拓展及應(yīng)用”的教學(xué)過程的設(shè)計(jì)為例來說明.

2.1 定理拓展,變式推廣

前面同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過基本不等式,對于解決有關(guān)兩數(shù)平方和與兩數(shù)積之間的關(guān)系問題,特別是兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系問題會(huì)非常方便.對于問題中出現(xiàn)了兩個(gè)以上變量的問題,則無效直接應(yīng)對,因此需要探究基本不等式的拓展與推廣.

拓展: 已知a,b,c,d都是正數(shù)，且ad /=bc, 求證:(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.

注: 此結(jié)論為課本習(xí)題,普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修4-5 不等式選講》(人民教育出版社A 版)中第23 頁第2 題.

證明:

等號(hào)成立, 須a2d2=b2c2, 但已知ad /=bc, 故等號(hào)不成立,所以(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.

由上面的證明可以看出,當(dāng)ad=bc,不等式可以取得等號(hào).

拓展為兩組平方和的積的問題,為二次不等式.將二次降為一次,對解決一次類似問題會(huì)簡單直接.

變式: 已知a,b,c,d都為正數(shù), 則(a+b)(c+d) ≥當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc即時(shí)等號(hào)成立.

變式是一個(gè)非常典型的不等式模型,使用這個(gè)不等式使許多結(jié)構(gòu)與它一致或相近的不等式問題會(huì)得到非常簡便的解決.

推廣: 已知a,b,c,d,e,f都為正數(shù), 則(a+b+c)(d+e+f) ≥, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

從二元到三元結(jié)構(gòu)的推廣,使學(xué)生深受啟發(fā),可以建構(gòu)多元結(jié)構(gòu)的類似不等式,也可以嘗試用相似的方法證明,從而提升學(xué)生的思維深度,提升學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì).

2.2 深度應(yīng)用,訓(xùn)練思維

前面得到的拓展、變式和推廣不等式,它們的結(jié)構(gòu)簡潔,形式優(yōu)美,容易記憶.作為定理應(yīng)用于解決其它問題便于聯(lián)想找到解決問題的思路,可作為橋梁,容易發(fā)現(xiàn)已知與結(jié)論之間的聯(lián)系通道,溝通彼此,知識(shí)融合,思維發(fā)展.下面分類探究,便于總結(jié)揭示內(nèi)在規(guī)律.

2.2.1 探究某些類型的不等式的證明

例1證明下列不等式,并說明等號(hào)成立的條件.

(2) 設(shè)正數(shù)a,b滿足a+b= 1,求證:并說明等號(hào)成立條件.

證明(1)因?yàn)?/p>

設(shè)計(jì)意圖此例是訓(xùn)練學(xué)生能在較復(fù)雜的問題中發(fā)現(xiàn)使用變式不等式的結(jié)構(gòu),進(jìn)行推理論證.兩個(gè)小題結(jié)構(gòu)總體一致,已知兩個(gè)正數(shù)的和為定值,求與這兩個(gè)正數(shù)有關(guān)的兩個(gè)式的和或積的最值問題.訓(xùn)練學(xué)生通過觀察、聯(lián)想、變形、推理等思維過程,分析問題結(jié)構(gòu)特征,與已知之間的聯(lián)系,運(yùn)用變式不等式求證.第(1)小題, 訓(xùn)練學(xué)生能通過觀察發(fā)現(xiàn)特點(diǎn): 待證不等式左端式子中兩個(gè)分式的分母都為正數(shù),而且之和為常數(shù);兩個(gè)分式的分子和分母都是一次式.基于兩個(gè)特點(diǎn),可對不等式左瑞進(jìn)行分拆變形,找到可以使用變式不等式的形式.此小題形式及系數(shù)設(shè)計(jì),在推理及運(yùn)算中有一定的困難性,其目的就是增強(qiáng)學(xué)生思維的難度,訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力及推理能力,同時(shí)要讓學(xué)生體會(huì)到對于復(fù)雜的題目往往要通過對已知或求證進(jìn)行變形才能找到之間的聯(lián)系.第(2)小題要進(jìn)行兩次不等式處理, 在應(yīng)用變式不等式后,還要再次使用或用基本不等式,在不等式傳遞的過程中要注意等號(hào)能夠成立.雖然還有其它解法,但這種解法顯得更為簡潔.旨在訓(xùn)練學(xué)生能廣泛聯(lián)想,嚴(yán)謹(jǐn)慎密推理.

2.2.2 探究某些類型的最值問題

例2(1)求函數(shù)y=的最大值.

教師常去關(guān)注學(xué)生的“成功”，而卻易忽略學(xué)生的“錯(cuò)誤”。公式的應(yīng)用不熟練會(huì)導(dǎo)致學(xué)生解題出錯(cuò)，教師要抓住學(xué)生的錯(cuò)誤之處，有意制造錯(cuò)誤，以加深學(xué)生對公式的理解把握，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。學(xué)生在思維不全面時(shí)，會(huì)有遺漏特殊問題的情況出現(xiàn)，這會(huì)導(dǎo)致解答的不完整，教師要引導(dǎo)學(xué)生剖析這種“以偏概全”，分析出錯(cuò)的原因，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。如在求圓的兩條平行弦之間的距離時(shí)，學(xué)生往往只考慮兩弦在圓心同側(cè)這種情況，而忽視了兩弦在圓心異側(cè)的情況，導(dǎo)致解題不嚴(yán)謹(jǐn)。

(2)設(shè)正數(shù)a,b滿足0＜a ＜1,0＜b ＜1,且求的最小值.

解(1)y2=(32+42)(2x ?1+5?2x) ≤100, 所以y≤10, 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)因此,當(dāng)時(shí),y的最大值為10.

(2) 因?yàn)檎龜?shù)a,b滿足0＜ a ＜1,0＜ b ＜1,且所 以(1?a) + (1?b) = 2?(a+b) ≤, 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b.因?yàn)?(1?a)+(1?b))≥4, 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(1?a)2= (1?b)2,即a=b.因此等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b.所以,當(dāng)時(shí),u取得最小值

設(shè)計(jì)意圖此例是訓(xùn)練學(xué)生能在條件隱蔽的問題中發(fā)現(xiàn)隱性關(guān)系,使用變式不等式推理運(yùn)算,求解最值.第(1)小題,旨在訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力,培養(yǎng)思維的靈活性.要能從問題中挖掘出隱含條件: 兩個(gè)根號(hào)下的兩個(gè)式子都非負(fù),它們的和為定值,逆用變式不等式求解.本例中若用導(dǎo)數(shù)完成,運(yùn)算量會(huì)偏大,應(yīng)用變式不等式則十分簡潔,這類問題有時(shí)要圍繞拼湊系數(shù)來進(jìn)行變形.第(2)小題, 旨在訓(xùn)練學(xué)生深度觀察、廣泛聯(lián)想和綜合分析能力,深度學(xué)習(xí)的能力,培養(yǎng)思維的發(fā)散性與深刻性.聯(lián)想到用變式不等式能實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)倒數(shù)和到一個(gè)倒數(shù)的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變,再應(yīng)用基本不等式與條件聯(lián)系起來.

2.2.3 探究某些類型的參數(shù)的取值問題

例3(1) 對于任意的正實(shí)數(shù)x,y, 不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2) 若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足求的取值范圍.

解(1)由題設(shè)知對于x=y= 1, 不等式成立, 所以又因?yàn)閤,y為正實(shí)數(shù), 所以(x+y)(1+1) ≥即綜上,所求實(shí)數(shù)a的最小值為

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=c.因此得0, 解得,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=c且,解得所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是

設(shè)計(jì)意圖此例是訓(xùn)練學(xué)生能通過變形化歸,使用變式不等式求解參數(shù)的范圍.第(1)小題,旨在訓(xùn)練學(xué)生的化歸及思辨能力,培養(yǎng)思維的靈活性與創(chuàng)新性.這個(gè)解法頗有新意,由特殊值發(fā)現(xiàn)成立的必要性,用結(jié)論則證明了其成立的充分性,改變了往往能夠觀察到a取能夠成立,但為什么最小卻說理不充分的窘迫.第(2)小題, 旨在訓(xùn)練學(xué)生的深度聯(lián)想,創(chuàng)新建構(gòu)不等式分析問題與解決問題的能力,培養(yǎng)思維的深刻性與創(chuàng)新性.此題難度較大,使用變式不等式構(gòu)造了二次不等式,實(shí)現(xiàn)了問題的突破,另解是在深層觀察的基礎(chǔ)上,變形分拆,使用變式不等式化為二次不等式求解問題,培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力,邏輯推理能力及創(chuàng)新能力.

2.2.4 探究某些特殊結(jié)構(gòu)的競賽數(shù)學(xué)問題

例4(1)求函數(shù)的最大值.

(2) 設(shè)a,b,c均為正數(shù), 證明:a2+b2+c2+并確定a,b,c為何值時(shí), 等號(hào)成立.

所以,y≤11,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x+27=9(13?x)=4x,解得x=9.因此,當(dāng)x=9 時(shí),y的最大值為11.

(2)證明: 因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),所以

設(shè)計(jì)意圖此例是訓(xùn)練學(xué)生能通過化歸使用推廣不等式解決特殊結(jié)構(gòu)的競賽數(shù)學(xué)問題, 旨在訓(xùn)練觀察與聯(lián)想能力,培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性與創(chuàng)新性.第(1)小題,通過系數(shù)的拼湊,構(gòu)造推廣不等式的結(jié)構(gòu)是解決這類最值的常用方法,注意選擇系數(shù)能夠使含有一個(gè)未知數(shù)的方程組有解,滿足等號(hào)成立.第(2)小題,訓(xùn)練學(xué)生整體思維策略,從研究三個(gè)元的平方和與它們之間倒數(shù)和的平方之間的聯(lián)系入手,自然想到將用推廣不等式將三元平方和轉(zhuǎn)化為三元和平方,訓(xùn)練學(xué)生思維的廣度、寬度與深度.

2.3 課堂檢測,評價(jià)教學(xué)

1.設(shè)a ＞0,b ＞0, 若是3a與3b的等比中項(xiàng), 則的最小值為____.

2.設(shè)x,y ∈R,則函數(shù)的最小值為____.

3.設(shè)x,y為實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy= 1 則2x+y的最大值是____.

4.若a ＞0,b ＞0,a+b=2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是____(寫出所有正確命題的編號(hào)).

設(shè)計(jì)意圖通過課堂練習(xí)檢測學(xué)生對三個(gè)重要不等式的掌握情況,學(xué)生在練習(xí)中增強(qiáng)分析問題與解決問題的能力及理性思維能力,在聽取教師評講的過程中完善知識(shí),難度適中.

3 教學(xué)思考

3.1 邏輯推理素養(yǎng)的落實(shí)源于教學(xué)中讓學(xué)生弄清知識(shí)間的邏輯關(guān)系

數(shù)學(xué)是高度邏輯化的學(xué)科,知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成都離不開邏輯,數(shù)學(xué)的定理是在概念與原有知識(shí)的基礎(chǔ)上經(jīng)過邏輯推理產(chǎn)生的,數(shù)學(xué)知識(shí)間都存在著某種邏輯關(guān)系內(nèi)在緊密聯(lián)系著.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),就是要理順弄清知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,不僅要學(xué)習(xí)知識(shí),更是要提升邏輯思維的能力.數(shù)學(xué)教學(xué),就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)間內(nèi)在邏輯關(guān)系,使知識(shí)融合為一體,明白知識(shí)的來龍去脈,數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法間的關(guān)系,在學(xué)生解決有關(guān)問題時(shí)才能得以應(yīng)手地使用知識(shí)和方法去分析問題,尋找解決方案,在思考與表達(dá)時(shí)做到“重論據(jù)、有條理、合邏輯”,更好地發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

3.2 注重不同推理形式的應(yīng)用及教學(xué)評價(jià),促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展

“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),能使學(xué)生增長知識(shí)形成能力,同時(shí)能促進(jìn)思維的發(fā)展,促進(jìn)形成使人終身受益的邏輯推理素養(yǎng).思維的發(fā)展離不開邏輯推理,數(shù)學(xué)推理形式有合情推理和演繹推理,它們在思維的發(fā)展中相互補(bǔ)充,互相促進(jìn).合情推理中的歸納推理實(shí)現(xiàn)特殊到一般的猜想,而類比推理實(shí)現(xiàn)由此到彼的推斷,這兩種合情的想象為科學(xué)的發(fā)展插上了翅膀,使我們在現(xiàn)有認(rèn)知基礎(chǔ)上猜想或推斷可能正確的結(jié)論.而演繹推理幫助我們辨別猜想或推斷的真?zhèn)?去證明其成立性或找出反例說明其錯(cuò)誤性,可見在教學(xué)中要注重不同推理形式的應(yīng)用,以促進(jìn)思維的全面發(fā)展.在教學(xué)中會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)推理的錯(cuò)誤或不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式,要重視學(xué)生課堂回答問題或課后解答問題的評價(jià),讓學(xué)生明白自己錯(cuò)誤的根源,達(dá)到表達(dá)規(guī)范,思維慎密,推理嚴(yán)謹(jǐn),合乎邏輯,以促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.