崔 敖 何培宇 喻偉闖 王 宏 徐自勵(lì)

(1. 四川大學(xué)電子信息學(xué)院, 四川成都 610065; 2. 中國民航局第二研究所研發(fā)中心, 四川成都 610041)

1 引言

波達(dá)方向角(Direction of Arrival, DOA)的估計(jì)性能受限于陣列的測(cè)向分辨率[1]。提高DOA估計(jì)分辨率的研究一直備受學(xué)界關(guān)注。通常,陣列的有效孔徑越大,測(cè)向分辨率越高[2]。由于陣元間距必須滿足空間采樣定理的約束(即陣元間距Δd≤0.5λ),因此傳統(tǒng)擴(kuò)大陣列孔徑的思路是保證陣元間距小于半波長(zhǎng)的同時(shí)增加陣元數(shù)目。相較于傳統(tǒng)陣列,稀疏陣列(陣元間距Δd>0.5λ)能夠使用較少陣元獲得更大的陣列孔徑,具有低成本、布陣靈活、高分辨率等優(yōu)勢(shì)[3]。但由于其違背了空間采樣定理的約束,因此存在測(cè)向模糊問題[2-5]。

為解決上述問題,學(xué)界對(duì)稀疏陣列進(jìn)行了深入研究,從陣列設(shè)計(jì)和算法角度提出了多種解模糊方法。基于算法的解模糊方法一般利用了信號(hào)中的某些特征作為判斷真實(shí)DOA的判據(jù),并需要較為復(fù)雜的運(yùn)算:例如Kastinen D通過計(jì)算理論模糊集,再通過模式匹配的方法排除掉模糊角以解模糊[6];He Z等人構(gòu)建了一個(gè)用于估計(jì)譜峰處信號(hào)功率的代價(jià)函數(shù),用來識(shí)別真實(shí)峰和虛假峰,以解模糊[7]等;文獻(xiàn)[8-9]使用壓縮感知的方法對(duì)陣列進(jìn)行虛擬插值以解模糊,這類方法不僅運(yùn)算量較大,往往還需要一些先驗(yàn)信息(如信號(hào)入射方向的范圍)作為插值依據(jù)。

相較于算法層面的解模糊方法,基于陣列設(shè)計(jì)的解模糊方法通常利用了稀疏均勻線陣(Sparse Uniform Linear Array, SULA)的幾何特征或陣列流形特征,具有低復(fù)雜度和處理簡(jiǎn)便等優(yōu)勢(shì):例如He Z等通過在SULA陣元上放置不同厚度和不同折射率的介質(zhì)基片,通過改變信號(hào)的等效波長(zhǎng)以解模糊[10];Yang K等通過優(yōu)化SULA各向異性的陣元朝向,以改變陣列可能產(chǎn)生的模糊導(dǎo)向矢量以解模糊[11];Hai-Lang S等通過小幅度移動(dòng)稀疏陣的陣元,通過對(duì)比陣元移動(dòng)前后獲得的DOA估計(jì)譜以解模糊[12];Chen T等通過限制非均勻陣列的最小陣元間距,并使用接收信號(hào)的四階累積量構(gòu)建單快拍測(cè)量的稀疏信號(hào)模型以得到解模糊的DOA估計(jì)[13]。這些方法的核心思路都是改變導(dǎo)向矢量的性質(zhì),使其不產(chǎn)生模糊角,或產(chǎn)生的模糊角在同一坐標(biāo)系下不重合。通過將陣列進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也可以改變其流形特征,文獻(xiàn)[14-17]利用了信源方向固定時(shí)信源相對(duì)陣列的“旋轉(zhuǎn)不變性”,通過將陣列旋轉(zhuǎn)前后的采樣數(shù)據(jù)融合處理,以提高DOA估計(jì)的精度和自由度,但并未將該技術(shù)用于稀疏陣列解模糊方法的研究。Lin M等也應(yīng)用了這種思路,通過旋轉(zhuǎn)陣列,比較陣列旋轉(zhuǎn)前后獲得的DOA估計(jì)譜以解模糊[18-19]。但該方法并未深入研究陣列旋轉(zhuǎn)角度對(duì)模糊角的影響,未給出旋轉(zhuǎn)前后模糊角不重合時(shí)旋轉(zhuǎn)角所應(yīng)滿足的條件。此外,該方法需要對(duì)陣列進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作,這些問題增加了上述研究的應(yīng)用難度。

基于上述原因,本文首先研究了SULA的模糊導(dǎo)向矢量,發(fā)現(xiàn)模糊角與轉(zhuǎn)動(dòng)角度間的非線性關(guān)系。并從這種非線性關(guān)系出發(fā),研究和論證了SULA旋轉(zhuǎn)前后不出現(xiàn)重疊模糊角時(shí)旋轉(zhuǎn)角應(yīng)滿足的條件,提出了旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則。為解決實(shí)際應(yīng)用中線陣一旦布好無法旋轉(zhuǎn)的問題,本文基于上述準(zhǔn)則,提出一種稀疏X-形陣列多重聯(lián)合MUSIC方法(Multiple-Joint MUSIC, MJ-MUSIC)方法,通過構(gòu)造X-形陣列來代替陣列的旋轉(zhuǎn)。該方法充分利用了陣列上的接收信號(hào),使虛假峰相互交錯(cuò),并進(jìn)一步利用提出的準(zhǔn)則增大真實(shí)峰與虛假峰之間的差值,提高了DOA解模糊的正確率。當(dāng)滿足旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則時(shí),該方法的DOA解模糊正確率與非稀疏情況下傳統(tǒng)MUSIC算法的估計(jì)正確率一致。

2 SULA的模糊問題

如圖1所示,一個(gè)N陣元的ULA(Uniform Linear Array, ULA),對(duì)于DOA為θm∈(0°,180°)的入射信號(hào)(0°為陣元1處端射,90°為垂直入射,180°為陣元N處端射),該陣列對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量為:

圖1 ULA示意圖Fig.1 Illustration of ULA geometry

(1)

假設(shè)有M個(gè)非相干的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào),其到該陣列的DOA分別為{θ1,θ2,…，θM},則這些信號(hào)對(duì)該陣列的流形矩陣為:

(2)

在子空間類的DOA估計(jì)方法中,如多重信號(hào)分類(MUtiple SIgnal Classification, MUSIC)算法,通過對(duì)接收信號(hào)的自相關(guān)矩陣進(jìn)行分解,得到信號(hào)子空間span(Us)與噪聲子空間span(Un)。由于入射信號(hào)導(dǎo)向矢量a(θm)∈span(Us)且span(Us)⊥span(Un),則可通過計(jì)算不同角度的導(dǎo)向矢量對(duì)噪聲子空間的性來獲得DOA估計(jì)譜[20],即:

(3)

其中,(·)H為向量或矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

(4)

(5)

3 旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則

假定信源位置不變,SULA以其幾何中心為軸在信源和陣列構(gòu)成的平面上旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)的角度記為φ(φ>0時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),φ<0時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn))。則陣列旋轉(zhuǎn)前后的測(cè)向角有如下線性映射關(guān)系:

θφ=θ+φ

(6)

相應(yīng)地,記aφ(·)為旋轉(zhuǎn)后陣列的導(dǎo)向矢量,根據(jù)式(6),該導(dǎo)向矢量與原陣列導(dǎo)向矢量有如下關(guān)系:

aφ(θφ)=a(θ+φ)

(7)

(8)

其中,θm,φ為陣列旋轉(zhuǎn)后的第m個(gè)DOA。

考察一種SULA對(duì)稱旋轉(zhuǎn)的情況,即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角φ分別等于φ和-φ(φ>0°)時(shí),根據(jù)式(1)和式(6),經(jīng)過對(duì)稱旋轉(zhuǎn)的SULA的導(dǎo)向矢量應(yīng)滿足:

(9)

其中bφ(θ)∈CN×1與導(dǎo)向矢量的結(jié)構(gòu)類似,可表示為:

(10)

旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則:當(dāng)陣元間距與信源波長(zhǎng)的比值ρ和對(duì)稱旋轉(zhuǎn)角φ滿足:

(11)

時(shí),有:

(12)

旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則的證明(反證法):

(13)

此外,根據(jù)假設(shè)1和式(5)、(9)可得:

(14)

其中,線性組合的復(fù)系數(shù)由式(5)所定義,為不失一般性,且與式(13)中的復(fù)系數(shù)加以區(qū)分,使用κm表示該復(fù)系數(shù)。

將式(13)代入式(14),有:

(15)

(16)

4 MJ-MUSIC方法

該稀疏X形陣兩臂上接收到的陣列信號(hào)可分別記為:

(17)

對(duì)式(17)中的兩項(xiàng)接收信號(hào)進(jìn)行求和,有:

(18)

其中,cφ(θm)=aφ(θm,φ)+a-φ(θm,-φ),Cφ=[cφ(θ1),cφ(θ2),…,cφ(θM)],S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]。

(19)

式(19)中的矩陣Cφ類似于式(2)的陣列流形矩陣,可將Rc進(jìn)一步分解,得到其噪聲子空間span(Uc,n),同樣類似于子空間類的DOA方法,Uc,n由Rc最小的N-M個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成。

(20)

因此,可推出:

(21)

可利用式(3)的方式使用cφ(θ)對(duì)噪聲子空間span(Uc,n)進(jìn)行掃描,得到聯(lián)合MUSIC估計(jì)譜:

(22)

(23)

(24)

(25)

其中,Pφ(θ)和Pφ(-θ)分別為順時(shí)針和逆時(shí)針夾角方向陣列臂上得到的MUSIC估計(jì)譜。MJ-MUSIC方法的原理框圖如圖2所示。

圖2 MJ-MUSIC方法原理Fig.2 Block diagram of MJ-MUSIC method

綜上所述,MJ-MUSIC方法再次利用了旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則,對(duì)聯(lián)合MUSIC譜中的虛假峰進(jìn)行了“二次減弱”,可降低譜峰檢測(cè)門限,以更靈敏,更準(zhǔn)確地進(jìn)行譜峰搜索,得到解模糊的DOA估計(jì)結(jié)果。

圖3 傳統(tǒng)MUSIC算法在φ不同取值時(shí)的DOA估計(jì)結(jié)果Fig.3 DOA estimated by conventional MUSIC on different φ

5 仿真驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)1兩個(gè)窄帶非相干信號(hào)分別從22°和127°入射至一個(gè)稀疏X形陣,該陣列共有7個(gè)陣元,陣元間距Δd=2.5λ?？炫臄?shù)為200,SNR=15 dB。實(shí)驗(yàn)分別取φ=80°和φ=87°時(shí)X形陣兩臂上得到的傳統(tǒng)MUSIC估計(jì)譜進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。圖中,X-軸表示測(cè)向角,Y-軸表示MUSIC譜密度,譜峰重疊處使用虛線進(jìn)行了標(biāo)記。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則,當(dāng)ρ=2.5時(shí),只有當(dāng)φ∈(84.26°,90°)時(shí)可確保稀疏X形陣兩臂上的模糊角在同一坐標(biāo)下不互相重疊。

圖3(a)中,φ=84°∈/ (84.26°,90°),兩個(gè)MUSIC譜均存在很多譜峰,其中含有真實(shí)峰和虛假峰?？梢钥吹?當(dāng)映射到同一坐標(biāo)下,兩個(gè)MUSIC譜的譜峰在22°、127°和170°處均出現(xiàn)了重疊。而真實(shí)DOA為22°和127°,170°處的譜峰重疊是由于此時(shí)的陣列夾角φ和陣元間距ρ不滿足旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則的約束,使它們同時(shí)在170°出現(xiàn)了模糊。

圖3(b)中,φ=87°∈(84.26°,90°)。可以看到,當(dāng)映射到同一坐標(biāo)下,兩個(gè)MUSIC譜的譜峰僅在22°和127°處重疊,在其他角度上都互相交錯(cuò)。

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)陣列夾角φ和陣元間距ρ滿足旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則的約束時(shí),得到的兩個(gè)MUSIC譜不會(huì)出現(xiàn)相同的模糊角。

實(shí)驗(yàn)2三個(gè)窄帶非相干信號(hào)分別從25°、78°和152°入射至一個(gè)稀疏X形陣,該陣列共有7個(gè)陣元,陣元間距Δd=3λ?？炫臄?shù)為200,SNR=20 dB。實(shí)驗(yàn)分別取φ=80°和φ=87°時(shí)該稀疏X形陣上得到的聯(lián)合MUSIC估計(jì)譜和MJ-MUSIC估計(jì)譜進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。圖中,X-軸表示測(cè)向角,Y-軸表示譜密度,譜峰檢測(cè)門限取值為-20 dB,使用水平虛線進(jìn)行標(biāo)記,真實(shí)DOA使用垂直虛線進(jìn)行標(biāo)記。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則,當(dāng)ρ=3時(shí),只有當(dāng)φ∈(85.22°,90°)時(shí)可確保稀疏X形陣兩臂上的模糊角在同一坐標(biāo)下不互相重疊。

圖4 MJ-MUSIC和聯(lián)合MUSIC在φ不同取值時(shí)的DOA估計(jì)結(jié)果Fig.4 DOA estimated by MJ-MUSIC and Combined MUSIC on different φ

圖4(a)中,φ=80°∈/ (85.22°,90°)?？梢钥闯?聯(lián)合MUSIC譜和MJ-MUSIC譜除了在25°、78°和152°處有顯著高于檢測(cè)門限以上的譜峰,還有很多其他略高于譜峰檢測(cè)門限的虛假峰。這是因?yàn)榇藭r(shí)陣列夾角φ不滿足旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則的約束,產(chǎn)生了互相重合的模糊角,進(jìn)而影響了式(21)中聯(lián)合導(dǎo)向矢量cφ(θ)對(duì)噪聲子空間的非正交性。由于虛假峰的干擾,兩種方法均無法估計(jì)出正確的DOA。

圖4(b)中,φ=87°∈(85.22°,90°)?？梢钥闯?聯(lián)合MUSIC譜和MJ-MUSIC的估計(jì)譜在25°、78°和152°處有顯著高于檢測(cè)門限以上的譜峰。此外,聯(lián)合MUSIC的估計(jì)譜還在14°和148°處有略高于檢測(cè)門限的虛假峰,這些虛假峰的高度和數(shù)量均少于圖3(a)所示的結(jié)果。這是因?yàn)樾D(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則雖然能夠保證模糊角在此時(shí)不互相重合,但由于式(24)的影響,聯(lián)合MUSIC譜在14°和148°處出現(xiàn)了局部極值。此時(shí),通過譜峰搜索,可由MJ-MUSIC估計(jì)譜得到正確的DOA。

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)陣列夾角φ和陣元間距ρ滿足旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則的約束時(shí),MJ-MUSIC估計(jì)性能優(yōu)于聯(lián)合MUSIC,可通過MJ-MUSIC估計(jì)譜得到正確的DOA。

實(shí)驗(yàn)3兩個(gè)非相干窄帶信號(hào)從隨機(jī)角度入射至稀疏X形陣,入射角度服從(0°,180°)的均勻分布?？炫臄?shù)為200,SNR=15 dB。該稀疏X形陣共有5個(gè)陣元,陣元間距ρ=2,夾角φ以Δφ=0.1°為增量變化,變化范圍為(80°,90°)。每個(gè)夾角φ取值處進(jìn)行1000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn),用以統(tǒng)計(jì)MJ-MUSIC的平均DOA估計(jì)正確率(譜峰檢測(cè)門限取值為-15 dB),以測(cè)試其解模糊的性能。同時(shí)也統(tǒng)計(jì)了聯(lián)合MUSIC(Combined MUSIC)、稀疏情況下MUSIC算法取重合譜峰(Overlap,文獻(xiàn)[18-19]方法)以及非稀疏情況下MUSIC算法(Δd=0.5λ)的平均DOA估計(jì)正確率作為參考,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。圖中,X-軸表示夾角φ的取值,Y-軸表示DOA估計(jì)正確率,φopt所標(biāo)注的垂直虛線為旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則約束的φ取值下界。

圖5 各方法在φ不同取值時(shí)的DOA估計(jì)正確率Fig.5 DOA estimation correct rate of different methods respect to φ

從圖5可也看出,在(φopt,90°)范圍內(nèi),MJ-MUSIC方法的估計(jì)正確率最高,且在(83°,88°)范圍內(nèi)略微超過了用于參考的非稀疏情況的MUSIC估計(jì)正確率,這是因?yàn)镸J-MUSIC的陣列孔徑((5-1)×2λ=8λ),高于非稀疏情況的陣列孔徑((5-1)×0.5λ=2λ),因此前者的DOA估計(jì)準(zhǔn)確率較高;聯(lián)合MUSIC次之,這是由于其估計(jì)譜由于式(24)的影響,出現(xiàn)了高于檢測(cè)門限的虛假峰;Overlap方法由于會(huì)受到MUSIC分辨率、譜峰搜索誤差等因素的影響,因此正確率最低。

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,提出的旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則是有效的,基于該準(zhǔn)則的MJ-MUSIC方法能有效解模糊。

6 結(jié)論

本文研究了SULA的模糊角與轉(zhuǎn)動(dòng)角之間的關(guān)系,并根據(jù)模糊角與轉(zhuǎn)動(dòng)角度間的非線性關(guān)系,提出了旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則,該準(zhǔn)則揭示了SULA旋轉(zhuǎn)前后不出現(xiàn)重疊模糊角時(shí)旋轉(zhuǎn)角應(yīng)滿足的條件?；诖藴?zhǔn)則,本文提出了MJ-MUSIC方法,該方法應(yīng)用于稀疏X形陣列,用其夾角代替了SULA的旋轉(zhuǎn),并進(jìn)一步利用提出的準(zhǔn)則構(gòu)建了聯(lián)合MUSIC譜,使其與X形陣兩臂上得到的MUSIC相乘,得到MJ-MUSIC譜,進(jìn)一步增大真實(shí)峰與虛假峰之間的差值,提高了DOA解模糊的正確率。最后,仿真結(jié)果驗(yàn)證了旋轉(zhuǎn)模糊對(duì)消準(zhǔn)則的正確性,當(dāng)MJ-MUSIC滿足其約束時(shí),該方法的DOA估計(jì)正確率與非稀疏情況下傳統(tǒng)MUSIC算法的DOA估計(jì)正確率一致,具有較好的操作性和有效性,可以為工程應(yīng)用提供參考。