吳慶濤，韓春松，丁傳東

（齊齊哈爾大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

支持向量機(jī)（SVM，Support Vector Machine）最早用于線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)分類(lèi)，引入核函數(shù)后，SVM 具備了處理非線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)的能力，又因其理論完善，需求訓(xùn)練樣本少，分類(lèi)效果好的特點(diǎn)，近年來(lái)被廣泛的用于非線性系統(tǒng)故障診斷。梅恒榮等[1]使用IPSO 算法優(yōu)化SVM 的參數(shù)，有效地提高模擬電路故障診斷的分類(lèi)準(zhǔn)確率和收斂速度，縮短分類(lèi)時(shí)間；張建等[2]用改進(jìn)的免疫算法優(yōu)化支持向量機(jī)懲罰因子、松弛變量及核函數(shù)參數(shù)用于某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)磨損故障診斷；許迪等[3]提出一種量子遺傳算法優(yōu)化的SVM 算法，用于滾動(dòng)軸承的故障診斷；胡曉依等[4]在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上，融入支持向量機(jī)和深度學(xué)習(xí)的模型優(yōu)化技術(shù)，提出適于軸承故障診斷的CNN-SVM 深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；張龍等[5]利用VMD 算法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解處理，作為特征向量輸入到PSO 優(yōu)化的SVM 中，實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承故障診斷；林煜凱[6]提出了基于集成模態(tài)經(jīng)驗(yàn)分解（EEMD）的改進(jìn)布谷鳥(niǎo)搜索算法（ICS）和SVM 的故障診斷方法，用于齒輪箱故障診斷。本文旨在通過(guò)數(shù)據(jù)分類(lèi)實(shí)驗(yàn)，對(duì)比分析SVM 線性核函數(shù)和徑向基核函數(shù)的數(shù)據(jù)處理性能，確認(rèn)適用于非線性系統(tǒng)故障診斷的核函數(shù)。

1 支持向量機(jī)理論

對(duì)于線性可分的訓(xùn)練集樣本 train ={( x1, y1),( x2, y2), …, ( xn, yn)}，且類(lèi)別 yi∈{+ 1 , - 1}，SVM 的目的就是尋求一個(gè)最優(yōu)超平面 ωx + b=0，要求這個(gè)最優(yōu)平面滿足以下兩個(gè)條件：

（1）將兩種類(lèi)別數(shù)據(jù)準(zhǔn)確分開(kāi)，即：

（2）保證兩類(lèi)別數(shù)據(jù)之間的距離最大，即φ (ω ,ξ )的值最?。?/p>

式中，C>0 且為一常數(shù)，ξ 稱(chēng)為懲罰因子。

而后引入拉格朗日系數(shù)αi( i = 1,2, …, l)，再根據(jù)KKT（Karush-Kuhn-Tucker）取得極值的條件和優(yōu)化方程求解的對(duì)偶性原理，最終上述求解最優(yōu)超平面的公式變?yōu)?/p>

那么對(duì)于非線性分類(lèi)問(wèn)題，SVM 的解決方法是使用核函數(shù)將低維非線性數(shù)據(jù)映射成高維特征空間，變成線性可分?jǐn)?shù)據(jù)。加入核函數(shù)后，求解最優(yōu)超平面的公式變?yōu)?/p>

2 實(shí)驗(yàn)探究

本文選取4 組數(shù)據(jù)來(lái)完成SVM 線性核函數(shù)和徑向基核函數(shù)分類(lèi)性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖1, 2 所示。同時(shí)為了實(shí)驗(yàn)結(jié)果更易于對(duì)比，又將分類(lèi)準(zhǔn)確率和用時(shí)以數(shù)據(jù)形式呈現(xiàn)在表1 中。在實(shí)驗(yàn)中，SVM 的懲罰系數(shù)C 設(shè)置為100，徑向基核函數(shù)參數(shù)設(shè)置為1。下面對(duì)4 組數(shù)據(jù)以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)要分析和說(shuō)明。

圖1 線性可分?jǐn)?shù)據(jù)和線性不可分?jǐn)?shù)據(jù)SVM 分類(lèi)結(jié)果

（1）線性可分?jǐn)?shù)據(jù)。在兩段區(qū)間[1,3]和[4,5]中隨機(jī)產(chǎn)生數(shù)據(jù)，且[1,3]區(qū)間產(chǎn)生數(shù)據(jù)樣本類(lèi)別為+1，[4,5]區(qū)間產(chǎn)生數(shù)據(jù)類(lèi)別為-1，最終產(chǎn)生訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)110 個(gè)，測(cè)試樣本數(shù)據(jù)40 個(gè)。圖1 中的a 顯示的是線性核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，圖1 中的c 顯示的是徑向基核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，且表1 中顯示兩個(gè)核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果都是100%，所以?xún)煞N核函數(shù)都能將線性可分?jǐn)?shù)據(jù)有效分類(lèi)，但表1 中顯示徑向基核函數(shù)用時(shí)短。

（2）線性不可分?jǐn)?shù)據(jù)。3 段區(qū)間[2,3]、[3,4]和[4,5]隨機(jī)產(chǎn)生數(shù)據(jù)，[2,3]區(qū)間和[4,5]區(qū)間產(chǎn)生數(shù)據(jù)樣本類(lèi)別為+1，[3,4]區(qū)間產(chǎn)生數(shù)據(jù)類(lèi)別為-1，最終產(chǎn)生訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)60 個(gè)，測(cè)試樣本數(shù)據(jù)60 個(gè)。圖1(b)是線性核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，圖1(d)是徑向基核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，由圖可以看出徑向基核函數(shù)能夠?qū)?shù)據(jù)圈出分類(lèi)，而線性核函數(shù)無(wú)法有效分類(lèi)，表1 中也顯示出相比于徑向基核函數(shù)，線性核函數(shù)的分類(lèi)準(zhǔn)確率低且用時(shí)長(zhǎng)。

（3）Iris 數(shù)據(jù)集。Iris 也稱(chēng)鳶尾花卉數(shù)據(jù)集是公認(rèn)的分類(lèi)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，是由Fisher 收集整理，這個(gè)分類(lèi)數(shù)據(jù)集可在UCI 數(shù)據(jù)庫(kù)中下載。

Iris 數(shù)據(jù)類(lèi)別分為3 類(lèi)，setosa，versicolor，virginica。每類(lèi)植物有50 個(gè)樣本，共150 個(gè)，每個(gè)樣本有4個(gè)屬性，分別為花萼長(zhǎng)、花萼寬、花瓣長(zhǎng)、花瓣寬。實(shí)驗(yàn)中取setosa 數(shù)據(jù)的類(lèi)別為+1，其余類(lèi)別為0。

圖2(a)是線性核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，圖2(c)是徑向基核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，能看到兩種核函數(shù)都將數(shù)據(jù)有效分開(kāi)，且表1 數(shù)據(jù)也顯示分類(lèi)準(zhǔn)確率均為100%，所以?xún)煞N核函數(shù)都能對(duì)Iris 數(shù)據(jù)進(jìn)行有效分類(lèi)，當(dāng)然徑向基核函數(shù)在用時(shí)上更勝一籌。

（4）軸承故障數(shù)據(jù)。軸承數(shù)據(jù)來(lái)自于美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心，是在故障診斷領(lǐng)域公認(rèn)的數(shù)據(jù)，在諸多文獻(xiàn)中都有使用。

數(shù)據(jù)測(cè)量平臺(tái)有4 種負(fù)載下相應(yīng)就有4 個(gè)轉(zhuǎn)速，分別為1 797, 1 772, 1 750, 1 730 r/min；每種負(fù)載下的軸承有3 個(gè)損傷位置，分為內(nèi)圈（IF）、外圈（OF）、滾動(dòng)體（RF）；而每個(gè)損傷位置又有3 種損傷直徑，即0.177 8, 0.355 6, 0.533 4 mm 三種。

實(shí)驗(yàn)選用的數(shù)據(jù)，是在大負(fù)載下，轉(zhuǎn)速1 730 r/min，軸承損傷位置選為內(nèi)圈（IF），損傷直徑選為0.533 4 mm，而采樣頻率選為12 kHz，選取驅(qū)動(dòng)端數(shù)據(jù)（DE）和風(fēng)扇端數(shù)據(jù)（FE）。訓(xùn)練樣本1 500 組數(shù)據(jù)，其中正常樣本1 000 組，故障樣本500 組；測(cè)試樣本1 000 組數(shù)據(jù)，其中正常樣本500 組，故障樣本500 組。正常樣本類(lèi)別為+1，故障樣本類(lèi)別為-1。

圖2(b)是線性核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，圖2(d)是徑向基核函數(shù)分類(lèi)結(jié)果圖，由圖可以看出徑向基核函數(shù)比線性核函數(shù)分類(lèi)界限更清晰，且表1 體現(xiàn)出徑向基核函數(shù)的分類(lèi)準(zhǔn)確率更高，且用時(shí)更短。

圖2 Fisheriris 數(shù)據(jù)和軸承內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)SVM 分類(lèi)結(jié)果

3 結(jié)論

通過(guò)上述分類(lèi)實(shí)驗(yàn)得出如下結(jié)論：

（1）依據(jù)線性可分?jǐn)?shù)據(jù)和fisheriris數(shù)據(jù)分類(lèi)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)SVM 采用線性核函數(shù)或徑向基核函數(shù)都能夠?qū)@兩種數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確分類(lèi)，同時(shí)也可以看到相比于線性核函數(shù)，徑向基核函數(shù)分類(lèi)用時(shí)縮短約一半，所以徑向基核函數(shù)分類(lèi)速度更快。

（2）依據(jù)線性不可分?jǐn)?shù)據(jù)分類(lèi)結(jié)果和軸承振動(dòng)故障診斷結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)SVM 采用徑向基核函數(shù)進(jìn)行故障診斷時(shí)，準(zhǔn)確率更高，且速度更快。

通過(guò)分析得出最終結(jié)論，SVM 的線性核函數(shù)只適用于線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)分類(lèi)，而徑向基核函數(shù)適應(yīng)范圍更廣，性能更優(yōu)，不僅適于非線性系統(tǒng)故障診斷，且診斷速度更快。

表1 兩種核函數(shù)的分類(lèi)結(jié)果