徐龍華

(1.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 安康725000;2.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,陜西 安康725000;3.陜南生態(tài)經(jīng)濟(jì)研究中心,陜西 安康725000)

1.引言

在對(duì)一個(gè)科技創(chuàng)新項(xiàng)目決定是否投資時(shí),有多種方法可供決策者參考.標(biāo)準(zhǔn)的NPV方法是許多文獻(xiàn)中經(jīng)常推薦的方法,而對(duì)回收期方法頗有爭(zhēng)議.根據(jù)回收期法,回收期較短的項(xiàng)目應(yīng)該優(yōu)先考慮.但在不確定情形下,很容易構(gòu)造一個(gè)例子說(shuō)明回收期較短的項(xiàng)目不一定能具有較大的凈現(xiàn)值,即不一定使企業(yè)獲得最大的收益,此時(shí),回收期法與NPV法對(duì)同一項(xiàng)目進(jìn)行決策時(shí),可能會(huì)導(dǎo)致不同的決策.對(duì)資本受到限制的科技創(chuàng)新公司來(lái)說(shuō),利用回收期法可能較好,因?yàn)檩^早的收回成本可以使科技創(chuàng)新公司可以從事之后的項(xiàng)目開(kāi)發(fā).但對(duì)資金充足的科技創(chuàng)新公司來(lái)說(shuō),NPV法則是他們更好的選擇.投資項(xiàng)目在企業(yè)經(jīng)營(yíng)發(fā)展中具有重要的作用,合理選擇投資項(xiàng)目?jī)?nèi)容,合理配置投資方案,對(duì)于實(shí)現(xiàn)科技創(chuàng)新企業(yè)主體的可持續(xù)發(fā)展來(lái)說(shuō)非常重要.

科技創(chuàng)新公司通常通過(guò)計(jì)算預(yù)期回報(bào)率和投資回收期來(lái)評(píng)估投資機(jī)會(huì),許多科技創(chuàng)新公司要求在幾年內(nèi)收回投資支出,要求更高的隱含回報(bào)率.因此,許多科技創(chuàng)新公司的資本支出決策對(duì)利率變化并不直接敏感.盡管最低回報(bào)率和投資回收期都提供了一個(gè)客觀的決策規(guī)則來(lái)作為支出決策的依據(jù),但整個(gè)決策過(guò)程往往具有高度的主觀性.目前,大部分科技創(chuàng)新公司都采用回收期法來(lái)評(píng)價(jià)項(xiàng)目,那么為什么回收期法會(huì)這么受歡迎呢？本文將會(huì)回答這個(gè)問(wèn)題.

對(duì)于傳統(tǒng)的NPV方法看起來(lái)似乎是一個(gè)很合理的評(píng)價(jià)方法,然而,在不確定下的投資時(shí),諸多文獻(xiàn)如文[1-6]都指出了NPV方法的不合理性和缺點(diǎn).傳統(tǒng)的方法只適用于那些不可逆轉(zhuǎn)的投資行為,即管理人員根據(jù)目前已知的或預(yù)測(cè)的信息對(duì)投資項(xiàng)目作出決策,然后觀察和控制將要發(fā)生的情況.然而這類方法卻不適用于下述情況:企業(yè)有機(jī)會(huì)等待和觀察那些與投資項(xiàng)目有關(guān)的不確定性因素,等待事態(tài)發(fā)展到一定程度,然后作出投資決策.在這種情形下,科技創(chuàng)新企業(yè)的投資項(xiàng)目顯然與股票的看漲期權(quán)很類似;所以此時(shí)即使項(xiàng)目的NPV為正,投資者也應(yīng)該等待投資.主要原因在于傳統(tǒng)的NPV方法沒(méi)有考慮到管理者的各種管理柔性,如所謂等待期權(quán)等.即在投資之前,可能等待一段時(shí)間看事情怎樣發(fā)展再?zèng)Q定是否投資會(huì)更好.由于實(shí)際中,回收期方法被大多數(shù)科技創(chuàng)新企業(yè)所采納,而現(xiàn)有的文獻(xiàn)中卻很少對(duì)此做出解釋.Wambach在文[7]中引入了在不確定性下回收期概念.分析了對(duì)回收期與等待期權(quán)之間的關(guān)系,得出了回收期較短的項(xiàng)目具有較少的等待價(jià)值.但是,Wambach是對(duì)投資決策做討論的,在得到“回收期較短的項(xiàng)目是具有較少的等待價(jià)值”這個(gè)主要結(jié)論時(shí),使用的不是直接論證的方法,而是間接推斷出來(lái)的.通過(guò)對(duì)不確定性投資的實(shí)物期權(quán)[8?10]方法的研究,投資者使用投資回收期作為經(jīng)驗(yàn)法則是合理的.本文把Wambach的模型推廣到科技創(chuàng)新項(xiàng)目決策問(wèn)題,并給出回收期的計(jì)算公式,直接證明了回收期與等待期權(quán)的正相關(guān)性,回收期與單位資本回報(bào)的負(fù)相關(guān)性;另外也分析了同一參數(shù)對(duì)回收期及等待期權(quán)產(chǎn)生的不同影響.

2.不確定性下科技創(chuàng)新項(xiàng)目的回收期

本文利用Wambach的思想,對(duì)他的基本模型作出了推廣.Wambach的模型是針對(duì)投資決策的,而本文將他的模型推廣到科技創(chuàng)新項(xiàng)目投資問(wèn)題.因?yàn)樵诋?dāng)今科技高速發(fā)展的時(shí)代,投資者們?nèi)绾螠?zhǔn)確把握時(shí)代的脈搏,尋找市場(chǎng)的最佳切入點(diǎn),抓住機(jī)遇,改革創(chuàng)新使科技創(chuàng)新企業(yè)立于不敗之地是一個(gè)相當(dāng)重要很值得探討的問(wèn)題.現(xiàn)在雖然許多的文獻(xiàn)都對(duì)企業(yè)的最優(yōu)進(jìn)入與退出時(shí)機(jī)進(jìn)行了分析,但很少考慮到科技創(chuàng)新企業(yè)進(jìn)入某項(xiàng)目后,了解到該行業(yè)市場(chǎng)行情及發(fā)展趨勢(shì),從而具有科技創(chuàng)新的能力,這樣,科技創(chuàng)新企業(yè)具有一個(gè)新的期權(quán),即研究開(kāi)發(fā)與創(chuàng)新的期權(quán).[11?14]而本文引進(jìn)回收期法的概念,考慮對(duì)一種簡(jiǎn)單的科技創(chuàng)新項(xiàng)目作決策的情況:再進(jìn)行研究之前,一次性投入固定成本,且投資不可逆.研究成功時(shí)間具有不確定性.研究成功后,投入市場(chǎng)無(wú)須成本,而利潤(rùn)流也具有不確定性.下面就是要給出計(jì)算這種項(xiàng)目的回收期方法.

考慮一個(gè)科技創(chuàng)新公司有這樣的一次投資機(jī)會(huì):投資成本為I.進(jìn)行某一研究,而研究成功時(shí)間具有不確定性.這里假定成功時(shí)間服從指數(shù)分布,即它的密度函數(shù)為f(t)=λe?λt,t ≥0,λ表示研究的努力程度.研究成功后,以零成本投入市場(chǎng)獲取利潤(rùn)流P(t).P(t)也是具有不確定性,假定它服從一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng),即dP=αPdt+σPdz,這里dz定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的維納過(guò)程,α和σ是常數(shù).P的期望值是時(shí)間的增函數(shù),即E(P(t))=P0eαt,其中α表示項(xiàng)目漂移率.α越大,則將來(lái)期望支付越大;σ越大,則科技創(chuàng)新項(xiàng)目的利潤(rùn)流的不確定性就越大.特別,支付的方差Var(P(t))=P20e2αt(eσ2t ?1).只要就會(huì)有任意大的t都有P(t)>0 ,因此科技創(chuàng)新項(xiàng)目永遠(yuǎn)都有價(jià)值,這里我們假定投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的.因此較大的σ,并不意味要求更大的回報(bào).在后面會(huì)給出證明,更大的σ會(huì)有更大的等待期權(quán),即使對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性者來(lái)說(shuō),當(dāng)不確定性更大時(shí),等待一段時(shí)間再作決定可能是更好的.那么,對(duì)這類科技創(chuàng)新項(xiàng)目如何計(jì)算它的期望的回收期,下面我們就給出計(jì)算過(guò)程.

假如現(xiàn)在的利潤(rùn)流水平為P0,回收期設(shè)為PP(P0),根據(jù)回收期法的概念,也就是到第PP(P0)年時(shí)期望能收回成本I.我們采用記號(hào)G(X)表示從投資I開(kāi)始后至第X年期間所獲得的利潤(rùn)折現(xiàn)值.其中折現(xiàn)率為γ,γ可看作無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,且假設(shè)γ >α,因此

這里T0表示研究成功的時(shí)間.因?yàn)橹挥醒芯砍晒罂萍紕?chuàng)新公司才會(huì)獲得利潤(rùn)流,所以當(dāng)T0>X時(shí),沒(méi)有利潤(rùn)流,即G(X)=0.因此到第X年時(shí)科技創(chuàng)新公司的期望收益為:

根據(jù)回收期定義,回收期內(nèi)的科技創(chuàng)新公司期望收益等于公司對(duì)此項(xiàng)目的資本投資,則應(yīng)有:

由(2.2)及(2.3)可知,PP(P0)滿足方程:

上式化簡(jiǎn)變形即得:

(2.4)式即為回收期PP(P0)應(yīng)滿足的方程.

命題1當(dāng)時(shí),方程(2.4)關(guān)于PP(P0)的解是存在唯一的.

證(2.4)式左邊對(duì)PP(P0)求導(dǎo),得:

所以(2.4)式左邊是關(guān)于PP(P0)的單調(diào)減函數(shù).由于(2.4)式左邊是關(guān)于PP(P0)的單調(diào)減函數(shù),又有當(dāng)PP(P0)=0時(shí),(2.4)式左邊為大于(2.4)式右邊,而當(dāng)PP(P0)→∞時(shí),(2.4)式左邊→0.因此(2.4)式左邊的最大值為,最小值為0.由此,當(dāng)時(shí),方程(2.4)有唯一解,即存在一個(gè)有限的回收期PP(P0).

故此在利潤(rùn)水平為P0時(shí)投資,該項(xiàng)目的凈現(xiàn)值NPV(P0)為:

以上便是對(duì)這樣一種簡(jiǎn)單的科技創(chuàng)新項(xiàng)目的回收期進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程,我們得到了一個(gè)可以確定回收期的重要方程(2.4).這個(gè)方程不僅能夠唯一的確定回收期,方程(2.4)的右邊還可以計(jì)算總現(xiàn)值和凈現(xiàn)值以及有助于得到等待期權(quán)的價(jià)值,而且這個(gè)方程可以得到各個(gè)參數(shù)對(duì)回收期的影響.

有了確定回收期的方程,就有了評(píng)價(jià)科技創(chuàng)新項(xiàng)目是否應(yīng)該進(jìn)行投資的指標(biāo),我們便應(yīng)該考慮如何利用這個(gè)指標(biāo)來(lái)做出決策,即該科技創(chuàng)新項(xiàng)目是投資還是不投資,或即刻投資或等待投資.

3.等待期權(quán)

對(duì)上面給出的這種科技創(chuàng)新項(xiàng)目,管理者是馬上投資還是等待呢? 是否要根據(jù)傳統(tǒng)的NPV法,只要現(xiàn)在的NPV(P0)大于零就可以進(jìn)行投資? 如果現(xiàn)在不投資,那么什么時(shí)候才是最佳的投資時(shí)間? 或者說(shuō)最優(yōu)的投資決策是在P達(dá)到多大時(shí)就馬上投資呢? 這個(gè)臨界值P?如何確定? 要回答這個(gè)問(wèn)題,采用實(shí)物期權(quán)的思想是很有用的.投資機(jī)會(huì)可以看作是一個(gè)期權(quán),以及實(shí)物期權(quán)的思想.我們知道了通常在做出投資決策是處在不確定的環(huán)境下的,如果光憑著科技創(chuàng)新項(xiàng)目的凈現(xiàn)值來(lái)決定是否投資不一定是正確的,因?yàn)閮衄F(xiàn)值只能決定在此刻是投資還是不投資,而不能說(shuō)明在此刻投資是否能獲得最大的收益.在這種情況下,我們是否要考慮等待更多的信息以獲取更多價(jià)值.這就有了一個(gè)最優(yōu)投資點(diǎn)的問(wèn)題了,下面我們具體來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

投資者有一個(gè)支付I進(jìn)行科技創(chuàng)新,成功后可獲利潤(rùn)流為P(t)的期權(quán),但他不一定立即執(zhí)行這個(gè)期權(quán),可以采取等待,在最佳時(shí)機(jī)再進(jìn)行投資.為了得出這個(gè)最佳投資點(diǎn),我們借用數(shù)學(xué)上,已經(jīng)發(fā)展起來(lái)的在不確定性下的動(dòng)態(tài)優(yōu)化理論工具.考慮一個(gè)科技創(chuàng)新公司已經(jīng)作了投資,那么它的總現(xiàn)值是:

(3.1)可以由(2.5)直接得到,其中,P(t)為在t時(shí)刻已知投資的利潤(rùn)流.

現(xiàn)在,考慮一個(gè)科技創(chuàng)新公司還未對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行投資,則這個(gè)項(xiàng)目的價(jià)值可由貝爾曼原理得出:

這就是現(xiàn)在的投資期權(quán)值等于明天的投資期權(quán)值折現(xiàn).只要這個(gè)投資期權(quán)沒(méi)有被執(zhí)行,即只要P及P+dP是小于P?(臨界值),方程(3.2)總成立.(3.2)式右邊可利用伊藤引理展開(kāi):

通過(guò)利用E[dP] =αPdt,E[(dP)2] =σ2P2dt,及e?γdt= 1?γdt+o(dt),代入上式得到關(guān)于V(P)的微分方程:

解這個(gè)方程可得到:

設(shè)β1,β2是方程(3.5)的兩根.由于γ >α,因此由方程(3.5)可知,它的其中一根大于1,另一根小于0,我們不妨假設(shè)β1>1,β2<0.A1,A2由邊界條件可確定,其中一個(gè)條件是:如果P= 0,則項(xiàng)目值應(yīng)該為0(V(0)= 0),這一點(diǎn)可以直接解釋,因?yàn)楫?dāng)P= 0 時(shí),隨機(jī)過(guò)程P(t)總會(huì)為常數(shù)值0.因此,由β2<0,可得A2= 0.至于A1的計(jì)算,則必須考慮投資的最優(yōu)點(diǎn)時(shí)的項(xiàng)目?jī)r(jià)值V.我們定義這個(gè)最優(yōu)點(diǎn)為P?.則有兩個(gè)條件必須滿足:(i)值匹配條件,即投資的期權(quán)值應(yīng)該等于總現(xiàn)值減掉投資成本;(ii)光滑通過(guò)條件,即期權(quán)值V(P)對(duì)P的偏導(dǎo),在P=P?時(shí)應(yīng)等于總現(xiàn)值GPV對(duì)P的偏導(dǎo).A1及P?由(3.6)確定.

將式(3.1)及式(3.4)代入(3.6)可解出:

其中P?是最優(yōu)投資的臨界點(diǎn),這個(gè)臨界點(diǎn)的意義在于,當(dāng)P ≥P?時(shí),等待沒(méi)有價(jià)值,則應(yīng)該馬上投資.如果不考慮等待柔性,傳統(tǒng)的NPV方法對(duì)給出現(xiàn)值P可得出:

那么,當(dāng)P

此時(shí)有GOW>0.

利用不確定性下的動(dòng)態(tài)優(yōu)化理論工具所算得的P?是判斷是否馬上進(jìn)行投資的關(guān)鍵指標(biāo).在t時(shí)刻的利潤(rùn)流是P,當(dāng)P ≥P?時(shí),等待沒(méi)有價(jià)值,則應(yīng)該馬上投資;當(dāng)P

在下面第四部分我們將給出這個(gè)科技創(chuàng)新項(xiàng)目的回收期和其等待期權(quán)的價(jià)值的關(guān)系,通過(guò)回收期與等待期權(quán)的這種正相關(guān)性來(lái)解釋回收期決策方法的合理性.并討論各個(gè)參數(shù)對(duì)回收期以及等待期權(quán)的影響.

4.回收期方法的合理性

傳統(tǒng)的財(cái)務(wù)投資理論認(rèn)為,用凈現(xiàn)值法(NPV法)來(lái)判斷一項(xiàng)投資項(xiàng)目是否可行是最主要的方法.但是這種方法有很多不合理的地方,對(duì)投資項(xiàng)目有很多局限性.即在不確定的環(huán)境下,NPV法的有效性受到了質(zhì)疑.為了考慮這些不確定性,應(yīng)該要融入實(shí)物期權(quán)理論,前面提出了很多科技創(chuàng)新公司都是用回收期法評(píng)價(jià)項(xiàng)目,而已有的文獻(xiàn)卻很少解釋它,這里我們通過(guò)回收期與等待期權(quán)的這種正相關(guān)性來(lái)解釋它.

為了更具一般性,我們用平均單位投資成本的等待期權(quán)及平均單位投資成本的收益與回收期的長(zhǎng)短來(lái)比較.由(3.8)式可知,因?yàn)镻 ≥P?時(shí),無(wú)需等待,立即投資,所以我們只考慮P

由(3.7)式的結(jié)果代入(4.1)式,得到:

方程(2.4)可變形為:

則(4.3)式左端表示在利潤(rùn)為P狀態(tài)時(shí),投資的單位回報(bào),記為將(4.3)代入(4.2)式,可得:

然后方程兩邊對(duì)RUC求導(dǎo),得:

由P

此可解釋為,如果現(xiàn)在投資時(shí)的每單位回報(bào)增加,則每單位投資等待期權(quán)的價(jià)值就減少;如果現(xiàn)在投資時(shí)的每單位回報(bào)減少,則每單位投資等待期權(quán)的價(jià)值就增加.而另一方面,從(4.4)式有:

此可解釋為,回收期越長(zhǎng),則每單位投資的回報(bào)越少;回收期越短,則每單位投資的回報(bào)越多.綜合(4.4)與(4.5)兩式可得到下面的命題2.

命題2等待投資期權(quán)與回收期正相關(guān),即:

因此,當(dāng)回收期越長(zhǎng)時(shí),每單位投資的回報(bào)越少,每單位投資的等待期權(quán)就會(huì)越大;而回收期越短,每單位投資的回報(bào)越多,則每單位投資的等待期權(quán)就會(huì)越少.所以,回收期越短的項(xiàng)目應(yīng)該越早投資.這就揭示了在不確定的環(huán)境下,利用回收期法,不僅可以給科技創(chuàng)新公司管理者幾年可收回投資的信息,還可以利用回收期與等待期權(quán)的正相關(guān)性,決定項(xiàng)目是應(yīng)該早點(diǎn)投資,還是晚點(diǎn)投資.

5.參數(shù)分析

下面分析參數(shù)λ,γ,α等對(duì)回收期PP(P)及等待期權(quán)GOW的影響.因?yàn)榛厥掌赑P(P)由方程(2.4)確定,(2.4)式兩邊對(duì)λ求導(dǎo)得:

變形為:

記F(PP(P))(5.1)式的右邊,則,當(dāng)PP(P)≥0,時(shí),

由此可見(jiàn)F(PP(P))是PP(P)的增函數(shù),當(dāng)PP(P)=0時(shí),F(0)=0,因此(5.1)式右端F(PP(P))>0,又由于(5.1)左端最后一項(xiàng)是負(fù)數(shù),由此推出此可解釋為當(dāng)研究的努力程度增大或研究成功的期望時(shí)間下降時(shí),則期望的回收期會(huì)減短;當(dāng)研究努力程度減小,則期望的回收期會(huì)增長(zhǎng).這個(gè)結(jié)論是符合實(shí)際常識(shí)的.

當(dāng)λ →∞時(shí),PP(P)會(huì)達(dá)到最小,由(2.4)式可推出

(5.2)式就是文[7]的結(jié)論,因此它是本文λ →∞時(shí)的一種極端情形.由于每單位資本回報(bào),可知當(dāng)λ增大時(shí),RUC增大.又由(4.5)式可知,在P

因?yàn)棣?<γ <∞,由(2.4)式即可知,當(dāng)γ變大或α變小時(shí),回收期PP(P)會(huì)變長(zhǎng).這里由于假定了P(t)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),而P(t)的期望值與σ無(wú)關(guān),因此σ對(duì)回收期沒(méi)有影響.

但由于(3.5)式及β1>1可知,當(dāng)γ變大時(shí),β1變大,而當(dāng)α變小或γ變小時(shí),β1會(huì)變大,因此有而由(4.2)式兩邊對(duì)β1求導(dǎo)可得:

當(dāng)P

γ變大或α變小,都會(huì)使GWUC變小,但是,由于γ變大或α變小,又會(huì)使單位資本回報(bào)率變小,從而由(4.4)知,會(huì)使GWUC變大.因此γ變大或α變小,可能使等待期權(quán)的變化比較模糊.

最后我們利用前面計(jì)算得到的一些公式,可以得出最優(yōu)點(diǎn)的回收期,即在P=P?時(shí),投資研究開(kāi)發(fā),PP(P?)應(yīng)該滿足的方程是:

即

6.結(jié)論

由上述分析我們可以得到結(jié)論:在不確定性投資下,利用回收期法對(duì)科技創(chuàng)新項(xiàng)目作決策是很合理的,即使科技創(chuàng)新公司資金不受限制,也應(yīng)該采用它作為判斷的依據(jù).因?yàn)?回收期短的科技創(chuàng)新項(xiàng)目具有較少的等待期權(quán)價(jià)值,因此應(yīng)優(yōu)先投資;而回收期較長(zhǎng)的科技創(chuàng)新項(xiàng)目則應(yīng)延期投資,因?yàn)榈却跈?quán)價(jià)值較大.本文給出了回收期所應(yīng)滿足的方程,且由該方程能唯一確定回收期,以及由該方程可以得到各個(gè)參數(shù)對(duì)回收期的影響.本文是文[7]的推廣模型,Wambach是對(duì)投資決策做討論的,在得到“回收期較短的項(xiàng)目是具有較少的等待價(jià)值”這個(gè)主要結(jié)論時(shí),使用的不是直接論證的方法,而是間接推斷出來(lái)的.本文把他的模型推廣到科技創(chuàng)新項(xiàng)目決策問(wèn)題,給出回收期的計(jì)算公式,直接證明了回收期與等待期權(quán)的正相關(guān)性,回收期與單位資本回報(bào)的負(fù)相關(guān)性.另外也分析了同一參數(shù)對(duì)回收期及等待期權(quán)產(chǎn)生的不同影響.