羅 琳

(上海第二工業(yè)大學(xué) 文理學(xué)部,上海201209)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的核心課程, 是許多專(zhuān)業(yè)后續(xù)課程的重要學(xué)習(xí)基礎(chǔ),也是許多專(zhuān)業(yè)技術(shù)的重要知識(shí)工具[1]。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)如何在人才培養(yǎng)質(zhì)量的提升中發(fā)揮積極作用是高校數(shù)學(xué)工作者需要研究和實(shí)踐的問(wèn)題。隨著教育改革不斷深入, 許多數(shù)學(xué)工作者正在探討教學(xué)改革的有效措施,如提出分層教學(xué)、引進(jìn)數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)、線上線下混合式教學(xué)等措施[2-7], 這些都在某種意義上豐富了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法,大大滿足了大學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)需求。

黨的十八大以來(lái),習(xí)近平總書(shū)記站在國(guó)家繁榮、民族振興、教育發(fā)展的戰(zhàn)略高度,多次就高校落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)做出重要指示并強(qiáng)調(diào) “要把立德樹(shù)人內(nèi)化到大學(xué)建設(shè)和管理各領(lǐng)域、各方面、各環(huán)節(jié),做到以樹(shù)人為核心,以立德為根本” 。近日,教育部在《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》中指出,全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)是深入貫徹習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于教育的重要論述和全國(guó)教育大會(huì)精神、落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措,高校要深化教育教學(xué)改革,充分挖掘各類(lèi)課程思想政治資源,發(fā)揮好每門(mén)課程的育人作用,全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量。

高等數(shù)學(xué)作為大一新生的核心課程,有責(zé)任率先履行好立德樹(shù)人的根本任務(wù),將思政教育引入到課堂教學(xué)中,不知不覺(jué)培養(yǎng)學(xué)生社會(huì)主義核心價(jià)值觀, 正如習(xí)總書(shū)記說(shuō)的 “扣好人生第一?？圩印?。為此,高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中恰當(dāng)引入思政元素,潛移默化培養(yǎng)學(xué)生以樹(shù)人為核心, 以立德為根本, 把個(gè)人價(jià)值和社會(huì)責(zé)任結(jié)合起來(lái),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和使命擔(dān)當(dāng)。近年來(lái), 一些學(xué)者正在開(kāi)展這方面的研究工作,探討課程思政在人才培養(yǎng)中的示范引領(lǐng)作用[8-11]。如姜愛(ài)國(guó)等[9]通過(guò)引入思政元素提高課堂教學(xué)的感染力,發(fā)揮育人功能。俞能福等[10]提出挖掘高等數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵,踐行課程思政,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和使命感。褚小婧[11]提出選擇合適的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)課程思政,以達(dá)到立德樹(shù)人的目的。本文以高等數(shù)學(xué)中無(wú)窮級(jí)數(shù)求和作為教學(xué)案例,探討如何根據(jù)教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)引入思政元素,在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和使命擔(dān)當(dāng),發(fā)揮課堂教學(xué)這一主渠道的作用。

1 無(wú)窮級(jí)數(shù)求和知識(shí)內(nèi)容

無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn), 它是表示函數(shù)、研究函數(shù)以及數(shù)值計(jì)算的一種有效工具。歷史上, 無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題曾經(jīng)困擾數(shù)學(xué)家長(zhǎng)達(dá)幾個(gè)世紀(jì)。有時(shí)一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和是一個(gè)數(shù)、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)無(wú)窮大; 有時(shí)一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和沒(méi)有確定的結(jié)果。19 世紀(jì)上半葉, 法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西建立了嚴(yán)密的無(wú)窮級(jí)數(shù)理論, 使得無(wú)窮級(jí)數(shù)成為一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。例如,能把許多可微函數(shù)表示成無(wú)窮多項(xiàng)式, 如:sinx=-∞ ＜ x ＜+∞;ln(1 +x) =-1＜x≤1。并在誤差范圍內(nèi)把它截?cái)喑捎邢薅囗?xiàng)式,這些無(wú)窮多項(xiàng)式不僅提供了可微函數(shù)的有效多項(xiàng)式逼近,而且有許多實(shí)際應(yīng)用。

如果一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的,那么級(jí)數(shù)求和的思想,體現(xiàn)的是從無(wú)窮到有限的過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中,首先要從直觀上指導(dǎo)學(xué)生明白: 研究無(wú)窮級(jí)數(shù)貌似復(fù)雜(因?yàn)橛袩o(wú)窮項(xiàng)相加), 但實(shí)際上是希望將無(wú)窮個(gè)函數(shù)的和或者無(wú)窮個(gè)數(shù)的和通過(guò)一個(gè)具體的函數(shù)或者數(shù)去表達(dá)。當(dāng)然這一過(guò)程要求這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)滿足某些條件或者數(shù)學(xué)上具備某些性質(zhì)才行。無(wú)窮級(jí)數(shù)和的概念如下:

從這個(gè)定義不難看出,如果無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂, 那么這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和就一定存在。在計(jì)算一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和時(shí)可以直接應(yīng)用這一定義求解。但能夠直接應(yīng)用定義求解的問(wèn)題畢竟不多, 尤其是當(dāng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)稍微復(fù)雜的時(shí)候,更是需要我們利用級(jí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決,如冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等性質(zhì)。

2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和思政元素切入

問(wèn)題1計(jì)算下列級(jí)數(shù)的和。

解題過(guò)程:

(1)直接法。由于

所以

(2)間接法。由于

(3)間接法。根據(jù)上題的啟發(fā),有:

思政元素切入:

第(1)題采用直接法,即直接利用級(jí)數(shù)收斂的定義求和。而第(2)、(3)題采用間接法,也就是利用了指數(shù)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式進(jìn)行間接求和。兩種解法充分體現(xiàn)了直接法與間接法間相輔相成、相得益彰的美好效果,從而指導(dǎo)學(xué)生在工作和生活中也要做到發(fā)揮所長(zhǎng)、相互配合、相互補(bǔ)臺(tái),才能彼此促進(jìn)、彼此成就。例如, 在大眾創(chuàng)業(yè)、萬(wàn)眾創(chuàng)新的偉大浪潮中, 許多大學(xué)生畢業(yè)后希望自己創(chuàng)業(yè)。但一個(gè)創(chuàng)業(yè)公司,想要快速成長(zhǎng)起來(lái),需要學(xué)會(huì)利用已有的技術(shù)和平臺(tái), 解決自身企業(yè)產(chǎn)品的難題。眾所周知的小米科技公司成立于2010年,至今已走過(guò)10年創(chuàng)業(yè)之路,從最初10 人左右的小公司到如今世界知名的全球化移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)。正如公司CEO 雷軍在小米10 周年慶典上的分享:在公司起步階段,沒(méi)有自己的手機(jī)做研發(fā),就先在別人家的手機(jī)上做;操作系統(tǒng)復(fù)雜,先找一套開(kāi)源系統(tǒng),在開(kāi)源系統(tǒng)的基礎(chǔ)上研發(fā)。正是利用了這些已有的技術(shù)平臺(tái), 才有了小米公司從零開(kāi)始乘風(fēng)破浪、碩果累累的十年。通過(guò)這樣具體的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)不怕困難、解決困難的方法,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)精神。

3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和思政元素切入

問(wèn)題2求下列級(jí)數(shù)的和。

解題過(guò)程:

(1)收斂域?yàn)?1 ≤x≤1。

設(shè)s(x) =, 則s(0) = 0, 且x·s(x)=。

則當(dāng)0＜|x|＜1 時(shí),兩邊求導(dǎo)2 次得：[x·s(x)]′=?[x·s(x)]′′=

兩邊積分2 次得:x·s(x)=x+(1-x)ln(1-x)。所以

由于冪級(jí)數(shù)在x=±1 處收斂,那么其和函數(shù)分別在x= 1,x=-1 處分別左、右連續(xù),即=1。因此其和函數(shù)為:

該結(jié)論可應(yīng)用于問(wèn)題1 中的第(1)題(只要選擇x=1 即可)。

(2)收斂域?yàn)?1＜x ＜1。

設(shè)s(x)=(n+1)2xn,則兩邊積分得

兩邊求導(dǎo),即得所求和函數(shù)為:s(x) =(-1＜x ＜1)。

(3)收斂域?yàn)?∞＜x ＜+∞。

設(shè)s(x)=,則兩邊積分得

兩邊求導(dǎo), 即得所求和函數(shù)為:s(x) =-∞＜x ＜+∞。

該結(jié)論可應(yīng)用于問(wèn)題1 中的第(3)題(只要選擇x=1 即可)。

思政元素切入:

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和本身是個(gè)困難的知識(shí)點(diǎn)。以上兩個(gè)小題均為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中冪級(jí)數(shù)求和的典型問(wèn)題。從這兩問(wèn)題的解答過(guò)程不難看出,求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)離不開(kāi)求導(dǎo)和積分的步驟。第(1)題利用先求導(dǎo)再積分的過(guò)程來(lái)求解,第(2)、(3)題利用先積分再求導(dǎo)的過(guò)程來(lái)求解,其目的都是為了去掉多項(xiàng)式的系數(shù), 實(shí)現(xiàn)等比級(jí)數(shù)求和目標(biāo)。從解決問(wèn)題的步驟來(lái)看,無(wú)論是先求導(dǎo)再積分還是先積分再求導(dǎo),都是為了實(shí)現(xiàn)算法變換的平衡。從這個(gè)問(wèn)題的解法可以很自然地指導(dǎo)學(xué)生:科學(xué)計(jì)算需要平衡,生活需要平衡, 大自然更需要平衡。隨著現(xiàn)代社會(huì)的飛速發(fā)展,人類(lèi)獲得了很好的物質(zhì)享受,但往往忽視了自然界的平衡。如:熱帶雨林遭受破壞、戶外動(dòng)物被肆意獵殺等, 這些行為都是破壞大自然平衡的現(xiàn)象。這次新冠肺炎疫情也是人類(lèi)破壞大自然平衡所遭受的慘痛教訓(xùn)。通過(guò)這些實(shí)際事例, 指導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到大自然就是人類(lèi)賴以生存的家園,我們需要維護(hù)這個(gè)家園的平衡,以健康的方式共建和諧美好平衡的自然環(huán)境。這一思政元素引入的過(guò)程, 不僅訓(xùn)練了學(xué)生的科學(xué)思維,也進(jìn)行了科學(xué)倫理的教育,從而培養(yǎng)了學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感。

4 結(jié)語(yǔ)

級(jí)數(shù)求和是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí),教師在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)精心設(shè)計(jì),根據(jù)教學(xué)內(nèi)容非常自然地在講解知識(shí)的過(guò)程中引進(jìn)課程思政,既傳授了級(jí)數(shù)求和的科學(xué)知識(shí),也通過(guò)思政元素的切入,潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)立德樹(shù)人的思想。正如前文在問(wèn)題1 的講解過(guò)程中通過(guò)解題方法,教會(huì)學(xué)生如何有效利用直接法或間接法去解決問(wèn)題,在問(wèn)題2 的解答過(guò)程中指導(dǎo)學(xué)生如何在計(jì)算過(guò)程中實(shí)現(xiàn)變換平衡的思想。這些思政元素的自然切入, 不僅豐富了課堂,提高了趣味性和快樂(lè)感,更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生思考問(wèn)題的方式、不怕苦難的信心、解決問(wèn)題的方法以及創(chuàng)新能力的提升。而且從教學(xué)問(wèn)題中拓展出來(lái)的實(shí)際事例潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的使命感和擔(dān)當(dāng)意識(shí),從而培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)國(guó)、愛(ài)家、愛(ài)環(huán)境的責(zé)任擔(dān)當(dāng)。

習(xí)近平總書(shū)記在北京大學(xué)師生座談會(huì)上強(qiáng)調(diào) “教育興則國(guó)家興、教育強(qiáng)則國(guó)家強(qiáng)。高等教育是一個(gè)國(guó)家發(fā)展水平和發(fā)展?jié)摿Φ闹匾獦?biāo)志” 。作為教書(shū)育人的實(shí)踐者,讓我們不懈努力,開(kāi)拓進(jìn)取,在教學(xué)中履行立德樹(shù)人的根本任務(wù),培養(yǎng)具有使命感和擔(dān)當(dāng)精神的創(chuàng)新型人才,為中華民族偉大復(fù)興的燦爛前景奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。