四川 高繼浩

【例1】(2019·全國(guó)卷Ⅰ文·20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(Ⅰ)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(Ⅱ)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解析：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)當(dāng)x=0時(shí),不等式恒成立.

又因?yàn)間(π)=0,所以a≤0.綜上,a≤0.

高中數(shù)學(xué)人教A版必修1教材第101頁(yè)闡述了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度快慢,其實(shí)對(duì)于給定的函數(shù)是可以進(jìn)行嚴(yán)格證明的,例如：

證明：令f(x)=2x-x2,則f′(x)=2xln2-2x,令g(x)=f′(x),則g′(x)=2x(ln2)2-2.當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),g′(x)>24(ln2)2-2=4(ln4)2-2>0,故g(x)在(4,+∞)上單調(diào)遞增,從而g(x)=f′(x)>f′(4)=8(ln4-1)>0,

【例2】(2018·全國(guó)卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1,證明：當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.

解析：(Ⅰ)證明略.

點(diǎn)評(píng)：教材對(duì)幾類函數(shù)增長(zhǎng)速度快慢的呈現(xiàn)是通過(guò)圖象直觀感受的,在解答題中的運(yùn)用應(yīng)上升到理性認(rèn)識(shí).命題(※)表明y=ex的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)快于y=x2,即當(dāng)x→+∞時(shí),ex遠(yuǎn)大于x2,故本題中當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞.其他函數(shù)可以類似地證明.

3.換元轉(zhuǎn)化法求解0·∞型

【例3】若函數(shù)f(x)=xlnx-a有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

4.比較大小法求解∞-∞型

【例4】若方程xlnx-2xex+x2ex=ax-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.