曾曉紅

【摘要】本文就2020南京市中考第20題，學(xué)生中的典型失誤進行分析，及本題對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點啟示：1.夯實基礎(chǔ)，穩(wěn)扎穩(wěn)打;2.關(guān)注知識間的聯(lián)系，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);3.滲透數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注學(xué)生長遠發(fā)展;4.理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，注重解題指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù)? 不等式（組）解法? 轉(zhuǎn)化? 數(shù)形結(jié)合? 數(shù)軸? 解題指導(dǎo)

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）45-0112-03

1.試題呈現(xiàn)

已知反比例函數(shù)y=■的圖象經(jīng)過點（-2，-1）

（1）求k的值

（2）完成下面的解答

解不等式組2-x>1①■>1②

解：解不等式①，得____。

根據(jù)函數(shù)y=■的圖像，得不等式②得解集____。

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來

從中可以找出兩個不等式解集的公共部分，得不等式組的解集。? ? ? ? ? .

2.試題解法分析

本題難度中等偏易題，第（1）問是根據(jù)所給條件，已知反比例函數(shù)y=■圖像上點（-2，-1），利用待定系數(shù)法，求出k的值，進而求出反比例函數(shù)表達式。第（2）問是解不等式組，4個得分點，分別是：①正確解不等式。②利用反比例函數(shù)中y>1圖像對應(yīng)部分，找出函數(shù)自變量的取值范圍進而得出不等式■>1的解集。③準(zhǔn)確地用數(shù)軸表示不等式的解集。④利用數(shù)軸找出各個不等式解集的公共部分，得出不等式組的解集。本題將反比例函數(shù)模型和不等式組模型有機結(jié)合，滲透數(shù)形結(jié)合思想。利用數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，實現(xiàn)試題完美解決。

3.典型失誤及分析

3.1有關(guān)第（1）問的典型錯誤

失誤1：表達式亂寫，題目的題設(shè)中已經(jīng)明確給出反比例函數(shù)關(guān)系式，但仍有一小部分考生設(shè)y=kx，y=kx+b，y=ax2等。

分析：學(xué)生對一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的概念不能厘清。

3.2有關(guān)第（2）問的典型錯誤

失誤1：一空不等號寫反，錯解為x>1或 x<-3

分析：x>1是學(xué)生對不等式的基本性質(zhì)理解與應(yīng)用存在問題。x<-3是移項未變號。

失誤2：二空取值范圍有偏差，錯解x<2或x<2且x≠0。

分析：不能用題目提示的方法，由“形”利用反比例函數(shù)圖像求不等式的解，而是直接由”數(shù)”兩邊同乘x。這樣要進行分類討論， 其中x≠0，倘若x是一個負(fù)數(shù)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等號的方向要改變，<1，與題意矛盾，舍去。有的學(xué)生都把x當(dāng)成正數(shù)，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式來解，得錯解x<2。有的學(xué)生考慮到x≠0，可沒有考慮到反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不連續(xù)，要分兩部分加以描述。

失誤3：數(shù)軸表示解集錯誤：空實心位置標(biāo)注錯誤，開口方向錯誤。

分析：數(shù)軸上空心與實心含義理解不清，不等式概念理解不清，數(shù)軸上表示數(shù)的大小位置也不清晰。

4.教學(xué)啟示

4.1夯實基礎(chǔ)，穩(wěn)扎穩(wěn)打

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗和基本思想方法。課標(biāo)（2017版）也提出數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)，這與 “四基”是一脈相承，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的課程目標(biāo)是“四基四能”，這更是初中教學(xué)的重中之重。（1）問的失誤1、失誤2，（2）問的中失誤1、失誤2其問題的根源是在于基本運算、方程、函數(shù)、不等式中基礎(chǔ)知識，基本技能和基本思想方法沒有得到有效的落實。如果學(xué)生能夠擁有基本的運算能力，順應(yīng)題目要求，正確理解函數(shù)圖像上點與函數(shù)表達式的關(guān)系，運用待定系數(shù)法這個基本方法求出反比例函數(shù)關(guān)系式。再利用描點法正確畫出反比例函數(shù)的大致圖像，運用數(shù)形結(jié)合基本思想方法確定不等式解集。這些種種失誤都在提醒我們教師“落實四基，培養(yǎng)四能，以四基四能為載體，在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”。

4.2關(guān)注知識間的聯(lián)系，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

我們的教材為了遵循學(xué)生的認(rèn)知特點和學(xué)習(xí)規(guī)律，分散難點，同時給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容提供有利的基礎(chǔ)，但是這樣卻一定程度上割裂了學(xué)習(xí)內(nèi)容的連貫性、系統(tǒng)性與整體性，致使學(xué)生對知識體系缺乏清晰的認(rèn)識，對知識間的聯(lián)系理解膚淺，造成了“只見樹木，不見森林”的現(xiàn)象。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)既要見樹木，又要見森林。第（2）問中失誤2中有不少學(xué)生即使在題目給出具體的解題思路方法的情況下，也不能將不等式問題轉(zhuǎn)化為反比函數(shù)問題來解決。本題中解不等式<1，若單從解不等式數(shù)的角度去思考，以學(xué)生初中階段的知識水平，還是有一定難度的。而運用反比例函數(shù)中y>1，在反比列函數(shù)圖像中找到對應(yīng)部分，進而找出對應(yīng)的自變量x的取值范圍，就能直觀形象地得出不等式的解集，將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，化抽象為形象，以形助數(shù)，很容易地得正解。函數(shù)與不等式之間有著密切的聯(lián)系，高中階段還會對它們進行比較深入的研究。實際上對于方程，不等式的問題，我們可采用代數(shù)方法求解，也可以采用圖像法求解。多角度解決問題可以讓我們對函數(shù)概念、圖像和性質(zhì)有更深入的理解。由此可見，數(shù)學(xué)知識之間并不是孤立的，而是存在著前后照應(yīng)的聯(lián)系，平時教學(xué)過程中要有意識地關(guān)注知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。第（2）問失誤1，在進行不等式基本性質(zhì)新授的教學(xué)時可先復(fù)習(xí)回顧等式性質(zhì)，不等式概念、意義及解集，類比等式的基本性質(zhì)，由已知探求未知，體悟歸納思想，使學(xué)生歸納地去探究、發(fā)現(xiàn)，歸納地定義，再歸納地論證，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。

4.3滲透數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注學(xué)生長遠發(fā)展

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，教學(xué)的重中之重是培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，感悟知識的生成過程，數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用是學(xué)生思維品質(zhì)的外在表現(xiàn)，初中也要關(guān)注學(xué)生能力的培養(yǎng)。

在平時的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，教師對數(shù)形結(jié)合思想理解得不透徹，致使學(xué)生也無法較好地感悟應(yīng)用，思想方法滲透流于口頭“蜻蜓點水”式的表達。如果本題沒有給出解題的思路，考生的得分率可能會大大下降，這就是由于學(xué)生沒有形成自覺運用思想方法的意識而造成。就第（2）問的失誤2，有的學(xué)生沒有利用反比例函數(shù)的圖像去解決問題，也是沒有自覺運用數(shù)形結(jié)合思想方法的意識。方程、不等式問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，可以通過圖像法解決;以“形”助 “數(shù)”， “數(shù)”借助“形”可以使抽象的問題生動化和直觀化。反過來，可以借助 “數(shù)”的精確性來闡明圖形的某些屬性或特征;以“形”助“數(shù)”、以“數(shù)”解“形”，數(shù)形結(jié)合。這樣，我們可以依托元認(rèn)知學(xué)習(xí)策略，在平時的教育教學(xué)過程中，系統(tǒng)地向?qū)W生介紹數(shù)形結(jié)合的價值和操作體系，加強數(shù)形結(jié)合題型的訓(xùn)練，充分經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合解題過程，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生思維層次不斷提升，促進學(xué)生終身發(fā)展。

4.4理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，注重解題指導(dǎo)

筆者在之前的習(xí)題教學(xué)過程中，很多時候是“就題論題”，常常只關(guān)注“怎么做”，這是不行的，教師要更多關(guān)注“為什么這樣做”，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。第（2）問中的失誤3，不少學(xué)生不能正確地在數(shù)軸上表示不等式的解集，這可能是由于我們的教材上只是告訴我們“怎么畫”，沒有說明“為什么這樣畫”，教師又不夠重視，學(xué)生不易理解，導(dǎo)致出錯。后期教學(xué)要詳細解釋為什么這樣畫，讓學(xué)生知其然，還知其所以然。第（2）問第二空，可根據(jù)波利亞解題理論進行習(xí)題教學(xué)，教學(xué)中加強解題指導(dǎo)。先認(rèn)真審題，反復(fù)讀題，正確理解題目所給信息，理清已知條件、未知條件及隱藏條件，能由已知推出間接條件，再根據(jù)個人解題經(jīng)驗，思考之前有沒有見過類似的題型，之前是怎么做的，思考能否將其轉(zhuǎn)化，找出解題思路;然后實現(xiàn)計劃，這里需要學(xué)生認(rèn)真畫圖，提高數(shù)形結(jié)合的意識解決問題，再利用數(shù)軸找出不等式組的公共部分，進而得解。如果這個題就到此為止的話，解題教學(xué)的效果會大打折扣，一題講完后，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時回顧反思，這樣的解題方法是否可以運用到別的類似的題目上，可以由學(xué)生獨立設(shè)計運用此方法的題目，同伴研討，對知識追本溯源，明確思考方向，怎么去想，強化學(xué)法，力求觸類旁通，把握每一類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，積累并掌握解決問題的關(guān)鍵所在。這樣能夠培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而得心應(yīng)手地處理新的問題。

參考文獻：

[1]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐[M].廣西教育出版社，2008.

[2]韓蘇文.價值引領(lǐng)構(gòu)建——數(shù)形結(jié)合思想下的“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（2）：66-69.

[3]馮強泉.不等式的解集[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（4）：24-25.

[4]楊運標(biāo).不等式性質(zhì)的探索與運用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（4）：27-29.

[5]裴光亞.在書房與教室間 穿行的教研人生[M].西安： 陜西師范大學(xué)出版總社，2013.

[6]兌繼華，侯穎.2019中考數(shù)學(xué)河南第21題學(xué)生答題典型失誤分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（12）：51-54.