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        用聯(lián)系的觀點(diǎn)看“冪的運(yùn)算”

        2021-04-14 08:25:44文黃秀旺特級教師
        初中生世界 2021年13期
        關(guān)鍵詞:結(jié)合律乘方交換律

        文黃秀旺(特級教師)

        (作者單位:江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室)

        一、為什么要學(xué)冪的運(yùn)算?

        回顧研究有理數(shù)運(yùn)算的過程,我們經(jīng)歷了有理數(shù)的加法、減法,然后是乘法、除法,最后是乘方的學(xué)習(xí)。因此類似的,在學(xué)習(xí)了整式的加減運(yùn)算后,也應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)整式的乘法、除法,乃至乘方。

        整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱,我們可以設(shè)想整式的乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。其中,多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式較為復(fù)雜,比如(3x+2y)(2x-3y),我們可以把(3x+2y)看成一個字母A,則(3x+

        2y)(2x-3y)=A·(2x-3y)=A·2x-A·3y=(3x+2y)·2x-(3x+2y)·3y=3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y(還需繼續(xù)計算)。這其實(shí)就是利用分配律將多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘積之和,再利用乘法交換律、結(jié)合律進(jìn)行單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算。所以,上述三種基本類型的乘法,是以單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式為基礎(chǔ)的。而單項(xiàng)式的乘積有三種基本類型:同底數(shù)冪的乘法am·an,冪的乘方(am)n,積的乘方(ab)n。只要我們知道了它們的運(yùn)算法則,就可以用乘法的交換律、結(jié)合律以及這些法則進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算了。

        因此,學(xué)冪的運(yùn)算就是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)整式的乘法運(yùn)算。

        二、如何理解冪的運(yùn)算與有理數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系?

        我們知道有理數(shù)的運(yùn)算涉及的是具體的數(shù),而冪的運(yùn)算涉及的既可以是具體的數(shù),也可以是字母。當(dāng)字母取一個確定的數(shù)時,其形式就是數(shù)的運(yùn)算,因此,它們在運(yùn)算的順序上是一致的,舉例如下。

        有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序?yàn)椋合瘸朔剑俪顺?,最后加減。如果有括號,先進(jìn)行括號內(nèi)的運(yùn)算。

        例2計算:(-2x3)2·x3-(3x3)3。

        解:原式=4x6·x3-27x9(先算乘方)

        =4x9-27x9(然后做同底數(shù)冪的乘法)

        =-23x9。(最后做減法)

        觀察以上兩例,例1 是有理數(shù)的混合運(yùn)算,例2 是冪的運(yùn)算,它們都遵循了基本的運(yùn)算順序:先算乘方,后乘除,最后加減。也就是說,代數(shù)式的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算在運(yùn)算順序以及運(yùn)算律的應(yīng)用上是一致的。

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