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        函數(shù)等高線的妙用

        2021-04-13 09:08:34江西省吉安市白鷺洲中學(xué)343000尹丙武
        關(guān)鍵詞:橫坐標(biāo)所求等高線

        江西省吉安市白鷺洲中學(xué) (343000) 尹丙武

        我們知道,地理中“等高線”指地形圖上高程相等的相鄰各點所連成的閉合曲線.借助于這一名詞,數(shù)學(xué)中對于函數(shù)y=f(x),若存在互不相等的實數(shù)a,b,c,使f(a)=f(b)=f(c)=t,則y=t稱作函數(shù)y=f(x)的等高線.利用函數(shù)的等高線求解與交點橫坐標(biāo)有關(guān)式子的取值范圍問題綜合性較強,難度也較大,一般作為客觀題壓軸題出現(xiàn).本文就此類問題的破解方法予以總結(jié).

        1.利用對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)之和

        x3+x4的取值范圍是( ).

        A.(2,5] B.(-∞,0]∪[5,+∞)

        C.[5,+∞) D.(2,+∞)

        圖1

        評注:本題關(guān)鍵用兩次對稱性,由性質(zhì)“若A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線x=a對稱,則x1+x2=2a”得出其中兩個交點橫坐標(biāo)之和為常數(shù)x1+x2=1,另兩交點橫坐標(biāo)之和x3+x4=2m.再結(jié)合圖像確定m≥2,由此以m為主元,求出m的取值范圍.

        2.利用對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)之積

        A.(18,28) B.(18,25) C.(20,25) D.(21,24)

        解析:不妨設(shè)a

        圖2

        評注:本題關(guān)鍵用兩次對稱性,由性質(zhì)“若直線y=m與函數(shù)y=|logax|(a>0且a≠1)有兩個不同交點A(x1,y1),B(x2,y2),則|logax1|=|logax2|,所以-logax1=logax2,x1x2=1.”得出其中兩個交點橫坐標(biāo)之積為常數(shù),即ab=1;另兩交點橫坐標(biāo)之和為常數(shù),即c+d=10.再結(jié)合圖像確定3

        3.求等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)函數(shù)的取值范圍

        圖3

        評注:本題關(guān)鍵是以m為主元,把所求式子中的變量a,b,c均用m表示,由此將所求的多元代數(shù)式轉(zhuǎn)化成一元,再利用函數(shù)的性質(zhì)求解.

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