曹露乙

(廣東省佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 廣東 佛山 528011)

1.引言

不管新高考如何改革，數(shù)學(xué)歸納法這一章節(jié)知識(shí)依然是教學(xué)重點(diǎn)。因?yàn)樗粌H有助于數(shù)列、不等式等題型的解決，更能培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。但目前對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)，幾乎是“三段式”程序的機(jī)械傳授，學(xué)生也是生搬硬套的機(jī)械學(xué)習(xí)，或許題目可以做，但學(xué)生并不懂為何要這樣證明，更不懂它的中心思想是什么，實(shí)質(zhì)是什么，最終也就沒(méi)實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)。

2.有意義學(xué)習(xí)理論

奧蘇貝爾提出的有意義學(xué)習(xí)是針對(duì)機(jī)械學(xué)習(xí)而言的，是指在學(xué)習(xí)知識(shí)過(guò)程中，將以符號(hào)表示的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)存在的相應(yīng)概念進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的和非人為的聯(lián)系。所謂實(shí)質(zhì)性聯(lián)系是指符號(hào)為代表的新知概念與學(xué)習(xí)者現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的表象、概念、命題建立內(nèi)在聯(lián)系；非人為聯(lián)系指符號(hào)所代表的新知與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的表象建立邏輯連接。[1]奧蘇泊爾強(qiáng)調(diào)新舊知識(shí)的聯(lián)系與同化。

3.數(shù)學(xué)歸納法理論結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)歸納法是特殊的歸納法，因?yàn)槠浔举|(zhì)采用的是演繹證明。一般來(lái)說(shuō)，所有與自然數(shù)有關(guān)的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。[2]如果要證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，記為P(n)，則數(shù)學(xué)歸納法可按以下步驟：

(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；

(2)假設(shè)n=k(k≥0)時(shí)命題成立，能夠推導(dǎo)出n=k+1時(shí)命題也成立；

(3)綜上兩個(gè)步驟，就可斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。

綜上可見(jiàn)，這是一個(gè)由“個(gè)別—特殊—一般”的推理形式，符合歸納推理的程序。但數(shù)學(xué)歸納法它的邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)，最后一步還需要演繹推理加以證明，只能說(shuō)歸納法作為數(shù)學(xué)歸納法的必要前提，歸納為應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法去證明相應(yīng)的結(jié)論打下了基礎(chǔ)，其本身還是嚴(yán)格的演繹推理過(guò)程。

4.當(dāng)前數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)中存在的問(wèn)題

4.1 分不清歸納、歸納法、數(shù)學(xué)歸納法。許多老師在講數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，都沒(méi)有提歸納、歸納法、數(shù)學(xué)歸納法三者間的關(guān)聯(lián)，以至于學(xué)生覺(jué)得是同一個(gè)概念。歸納是基于邏輯思維得出結(jié)論的過(guò)程。歸納法是人們?cè)谌粘Ｉ钪惺褂玫囊环N推理證明方法，其結(jié)構(gòu)是似真的。數(shù)學(xué)歸納法是一種演繹方法，它的結(jié)論是真的。三者依次遞進(jìn)，依托向上，走向更嚴(yán)謹(jǐn)、更科學(xué)的方向。

4.2 難以理解用有限步推理來(lái)代替無(wú)限步推理的思想。數(shù)學(xué)歸納法不是不完全歸納法，不能通過(guò)前幾項(xiàng)就歸納出結(jié)論。也不是完全歸納法，它不能把無(wú)窮多個(gè)數(shù)都列盡。但它卻使用了有限次的驗(yàn)證(P(n0))和一次邏輯推理(P(k)成立→P(k+1)成立)，代替無(wú)限次的驗(yàn)證，通過(guò)演繹的證明，推導(dǎo)出結(jié)果的正確性，從而實(shí)現(xiàn)了從無(wú)限到有限的轉(zhuǎn)化，這也是數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)。

4.3 學(xué)生不理解“假設(shè)結(jié)論成立，然后再去證明結(jié)論成立”。“p(k+1)的證明過(guò)程建立在p(k)上，p(k)未被預(yù)先證明，并且在推理過(guò)程中也同樣不加證明，為何如此假設(shè)？”以上的困惑來(lái)源于教師在講授時(shí)沒(méi)分析“包含關(guān)系”。數(shù)學(xué)歸納法的目的不是證明p(k)和p(k+1)分別成立，而是它們之間是否存在包含關(guān)系，該包含的關(guān)系能夠推演出命題為真值，這與p(k)和p(k+1)是否成立沒(méi)有關(guān)系[3]。

4.4 遞推關(guān)系證明的數(shù)學(xué)困難。學(xué)生在學(xué)習(xí)“三段式”后，明白只要生搬硬套使p(k+1)成立，題目就迎刃而解了，從而造成許多的假證明，沒(méi)有理解真正的內(nèi)在關(guān)系，最終造成機(jī)械學(xué)習(xí)。

5.有意義學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)歸納法中的應(yīng)用

針對(duì)以上數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)現(xiàn)存缺陷，筆者試圖通過(guò)以下教學(xué)案例，使學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)。

5.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知。

情景一：之前學(xué)習(xí)過(guò)歸納推理時(shí)，遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題一：大家是如何求的呢？

問(wèn)題二：當(dāng)時(shí)猜想正確嗎？n取無(wú)窮可以證明嗎？

這里的提問(wèn)與學(xué)生認(rèn)知發(fā)生沖突，學(xué)生會(huì)意識(shí)到正整數(shù)無(wú)窮，無(wú)法一一檢驗(yàn)。

問(wèn)題三：怎樣才能進(jìn)行無(wú)限的驗(yàn)證呢？亟待找到新的方法。

5.2 問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)，激發(fā)思辨。

問(wèn)題四：在之前學(xué)習(xí)中，有遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題嗎？

情景二：以“求f(x)=x2單調(diào)區(qū)間”為例。

①方法一：畫(huà)圖法。取值帶入，描點(diǎn)作圖，找出圖像上的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間。對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)的實(shí)數(shù)，依然不知是否成立。

②方法二：求導(dǎo)法。對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)′>0，是增區(qū)間，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)′<0，是減區(qū)間。

問(wèn)題五：由這個(gè)例子，可以得到什么啟發(fā)?

雖然這里以教師講授為主，但卻是有意義的接受學(xué)習(xí)。通過(guò)引例，激發(fā)學(xué)生思考：能否通過(guò)驗(yàn)證有限步驟的有效性來(lái)確保無(wú)限步驟的有效性？

5.3 知識(shí)遷移，形成概念。為解決“有限步確保無(wú)限步的成立”這個(gè)問(wèn)題，接下來(lái)利用多媒體演示多米諾骨牌游戲視頻。

情境三：多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)一：老師推倒第1塊多米諾骨牌，然后第2塊，第3塊，第...塊都倒下，實(shí)驗(yàn)成功。

問(wèn)題六：在什么樣的條件下，出現(xiàn)了這樣的結(jié)果？

此時(shí)學(xué)生心里一定會(huì)有答案，即第一塊骨牌倒下，前一個(gè)給后一個(gè)推倒。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，讓學(xué)生自己總結(jié)概念，繼續(xù)類(lèi)比實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)二：教師沒(méi)有推倒第1塊骨牌，接著第2塊，第3塊，第...塊都沒(méi)有倒下，實(shí)驗(yàn)失敗。

問(wèn)題七：對(duì)比試驗(yàn)一與二，分析實(shí)驗(yàn)二失敗原因？

此時(shí)學(xué)生就會(huì)意識(shí)到，若想試驗(yàn)成功，第一要義就是讓第一塊骨牌倒下。

實(shí)驗(yàn)三：將第4塊骨牌和第5塊骨牌拉大間距，使間距大于骨牌橫截面的長(zhǎng)，教師推倒第1塊骨牌，接著第2塊，第3塊，第4塊全部倒下，但第5塊并沒(méi)有倒下，隨后的也沒(méi)有倒下，實(shí)驗(yàn)失敗。

問(wèn)題八：對(duì)比試驗(yàn)一與三，分析實(shí)驗(yàn)三失敗原因？

根據(jù)以上分析，學(xué)生明白：實(shí)驗(yàn)成功的第二要義就是相鄰的兩塊骨牌前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。

針對(duì)上述實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生總結(jié)多米諾骨牌全部倒下的條件：

⑴第一塊要倒下；

⑵當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下；

當(dāng)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件后，多米諾骨牌全部都倒下。

根據(jù)多米諾骨牌的實(shí)驗(yàn)使學(xué)生大概了解了數(shù)學(xué)歸納法的雛形，也認(rèn)識(shí)到兩個(gè)步驟的必要性。但生活情境畢竟不能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，還需要遷移到數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行同化。

回顧：回到情境一，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題九：受多米諾骨牌的啟發(fā)，能否使情境一得到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明呢？

證明：①我們已經(jīng)驗(yàn)證了第一個(gè)等式成立。

5.4 反饋練習(xí),鞏固提高。

及時(shí)的反饋不僅是對(duì)老師教學(xué)的鞭策，更能使學(xué)生及時(shí)了解自己，提高自我效能感，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的認(rèn)知?jiǎng)恿Α?/p>

6.有意義學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的啟示

6.1 完善學(xué)生頭腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將知識(shí)同化升華。數(shù)學(xué)歸納法在此之前已經(jīng)或多或少的滲透過(guò)，根據(jù)高中生身心發(fā)展和記憶的特點(diǎn)，就能夠在頭腦里建立有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這就為有意義學(xué)習(xí)做了鋪墊。所以在教學(xué)開(kāi)始前，設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)列的講解，表明了不完全歸納法的缺陷，既注重了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”教學(xué)，又使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，隨后通過(guò)多米諾骨牌的游戲，使學(xué)生“跳一跳就摘到果子”，總結(jié)出概念。根據(jù)奧蘇貝爾認(rèn)知同化理論，學(xué)生通過(guò)有意義學(xué)習(xí)，可以將原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行升華，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

6.2 數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)的要有層次性，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系。奧蘇貝爾提出的先行組織者策略旨在教師通過(guò)簡(jiǎn)單易懂的講解，使學(xué)生利用舊知去同化新知。因此教師在設(shè)計(jì)導(dǎo)入環(huán)節(jié)時(shí)，可以從學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，盡可能提供起點(diǎn)低、易于學(xué)生理解的引導(dǎo)性材料。本文設(shè)計(jì)的數(shù)列作為先行組織者，使學(xué)生產(chǎn)生矛盾，接著使用二次函數(shù)和多米諾骨牌，引出數(shù)學(xué)歸納法的重難點(diǎn)，學(xué)生在有層次的課堂設(shè)計(jì)下，進(jìn)行了有意義學(xué)習(xí)。

6.3 正確反饋學(xué)生學(xué)習(xí)成效，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論同樣強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。因此教師在數(shù)學(xué)歸納法概念教學(xué)完成后，典型練習(xí)，鞏固訓(xùn)練必不可少。只有及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，了解自己的學(xué)習(xí)效果，才能激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的主觀愿望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。[4]