溫 娜，張 帆,2

（1.北京信息科技大學 光電測試技術(shù)及儀器教育部重點實驗室，北京 100192；2.北京信息科技大學先進光電子器件與系統(tǒng)創(chuàng)新引智基地，北京 100192）

引言

生命從誕生開始就生活在力學環(huán)境中并與之相適應。細胞與細胞外微環(huán)境的力學相互作用對于細胞的遷移、增殖和分化都起著至關(guān)重要的作用[1-4]。但由于細胞內(nèi)在的生物復雜性及微納米尺度的制約，傳統(tǒng)的宏觀實驗力學方法與技術(shù)往往難以直接使用。經(jīng)微加工技術(shù)制備的垂直排列的聚二甲基硅氧烷（ploydimethylsiloxane，PDMS），在頂端表面修飾后可支持細胞粘附，細胞粘附后產(chǎn)生的牽引力會造成微柱彎曲，將測得的撓度變化輸入簡單的材料力學公式即可獲得細胞的牽引力分布。采用這種致密、垂直、離散微柱矩陣結(jié)構(gòu)替代傳統(tǒng)測量的連續(xù)介質(zhì)，通過對微柱形變的顯微圖像處理，細胞牽引力可以被直接定量測量，精度可以達到數(shù)十nN·μm?1量級[5-6]。

微柱形變的顯微圖像處理，作為細胞牽引力測量的最后一環(huán)，直接決定著細胞牽引力最終測量結(jié)果的精度和準確性。而在微柱的顯微圖像處理中，微柱頂端的位移識別及提取精度又是影響數(shù)字圖像處理的核心因素之一。

目前在數(shù)字圖像處理中常用的微柱頂端位移識別的方法有質(zhì)心法（centroid method）和霍夫變換法（Hough transform）等。質(zhì)心法利用微柱在高倍顯微成像下成像模型圓對稱性質(zhì)，利用Matlab中的計算區(qū)域描繪子函數(shù)regionprops 計算質(zhì)心的位置從而獲得微柱位置。具體操作是將微柱的高倍顯微圖轉(zhuǎn)換為灰度圖，然后將圖像進行中值濾波、二值化等處理，最后通過計算得到微柱端面質(zhì)心[7-12]。霍夫變換是數(shù)字圖像處理中常用的一種特征提取技術(shù)。它將一個空間中具有相同形狀的曲線或直線映射到另一個坐標空間的一個點上形成峰值，從而把檢測任意形狀的問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計峰值問題。利用霍夫變換進行微柱頂端的位移識別，實質(zhì)上是用霍夫變換提取分布于目標圓周上的參數(shù)及點的特征值來檢測圓，對圖像上的每個點定義一個參數(shù)空間的映射，通過在參數(shù)空間找尋特征值（峰值或最大值）得到為與圖像空間中的目標形狀。具體操作是將高倍顯微下的微柱圖轉(zhuǎn)化為灰度圖，進行雙邊濾波后通過霍夫變換檢測圓，得到圓的圓心和半徑[13-15]。在用霍夫變換檢測圓時，需要一個三維數(shù)組用來進行累加運算，因此當所要檢測的圓太多時，計算量和內(nèi)存占用量將會急劇增大，計算效率將會大大降低。而利用regionprops 函數(shù)中的centroid 參數(shù)提取質(zhì)心時，是通過一階中心矩陣計算出的質(zhì)心，無論是在計算量上，還是內(nèi)存占用量上，都遠遠小于霍夫變換檢測圓時的計算量和內(nèi)存占用量，計算效率遠大于霍夫變換的計算效率[16-19]。但是用質(zhì)心法處理高倍顯微鏡下的PDMS 微柱圖像時，可能會由于微柱陣列自身基底不平或者照明不均導致處理圖像時很難選取到合適的閾值，進而影響后續(xù)的一系列操作；而且質(zhì)心法處理圖像需要有原始位置作為標準，拍攝原始位置或者是算法的處理都較為繁瑣；此外，質(zhì)心法二值化的過程致使其輪廓跳動較大，會給微柱端面質(zhì)心定位帶來誤差。因此質(zhì)心法雖相較于霍夫變換法運算速度較快，但受這種方法自身的局限性，仍存在著照明不均時閾值的合理選取困難，需原始位置作為標準，二值化的過程使得輪廓跳動大這些問題。

為了能更直觀、更快速地得到細胞牽引力的分布情況，克服質(zhì)心法處理過程中存在的一些問題，本文提出了一種基于數(shù)字傅里葉變換的細胞牽引力測量方法。該方法通過預設(shè)變形二維點陣圖像仿真實驗，驗證了測量方法的可行性，探究了所選濾波器種類、濾波窗口大小、偏移點大小對實驗結(jié)果的影響。測量得到了微柱高倍顯微圖所受細胞力的分布情況并進一步證明了該方法與質(zhì)心法、霍夫變化法相比在運算速度和運算結(jié)果呈現(xiàn)方面的優(yōu)越性。

1 測量原理

當培養(yǎng)在微柱上的細胞的牽引力帶動微柱偏轉(zhuǎn)，從而使偏轉(zhuǎn)微柱部分的周期性微結(jié)構(gòu)發(fā)生改變時，可通過二維傅里葉變換解調(diào)出變形區(qū)域內(nèi)的各單元變形量。以二維光柵為例，假設(shè)一個未變形的理想正弦光柵，其柵線與X方向、Y方向均不平行。將該未變形的光柵用作參考光柵，其像面光強分布可以表示為

式中：fx為未變形的參考光柵在X方向上的頻率；fy為未變形的參考光柵在Y方向上的頻率； φ0為原始光柵像的初始相，包含變形的光柵，由于變形引起了相位調(diào)制 φ (x,y)；r(x,y)為待測物體表面非均勻的反射率，將變形柵的像光強分布展開為傅里葉級數(shù)，得到：

根據(jù)二維DFT 的可分離性改寫為

式中：

若未變形柵線與一軸線平行，如與Y軸平行，即fy=0，此時未變形柵線的光強分布的傅里葉級數(shù)可寫為

未變形柵線與Y軸平行，此時變形柵線的光強分布傅里葉級數(shù)可寫為

式中：r(x,y)為待測物體表面非均勻的反射率；φ(x,y)為由變形引起的相位調(diào)制。

（5）式、（6）式僅是未變形柵線與Y軸平行時的特例，對于其他更為一般的情況，對（1）式和（2）式兩式作二維傅里葉變換，并用濾波器將低頻直流號和高頻雜散信號濾掉，再將基頻部分進行二維傅里葉逆變換，得到變形后柵線的光強分布：

對比未變形柵線的光強分布：

可知，當光柵的局部發(fā)生變形時，變形處的周期性被破壞，此時變形處的頻率遠小于其他未變形處的頻率，相當于（7）式中的 Δfx、 Δfy都是負值。因此，對應到像面復振幅分布中，發(fā)生變形的光柵其形變部位的峰值也會小于未發(fā)生形變部位的峰值，且變形程度越大對應的復振幅分布中的振幅也越小。

光強到細胞牽引力的計算，依賴于光強到微柱偏移量與微柱偏移量到細胞力兩方面的理論模型。光強g和微柱位移 δ的對應關(guān)系，可由Matlab作對微柱作二維光場仿真計算得出數(shù)學模型：

其中A、B兩值根據(jù)微柱直徑、排布方式以及間距來確定，本文中對直徑3 μm、間距9 μm、90°排布方式的微柱代入計算，得到A=50.793 4，B=?20.656 9，具體分析由仿真實驗得出。

細胞牽引力F可由微柱位移量 δ得到：

式中：E為微柱的剛度，由COMSOL Multiphysics對微柱建立的數(shù)學模型得到。

2 實驗方法

2.1 預設(shè)變形二維點陣仿真

首先利用Photoshop，參照實際中常見的微柱尺寸（直徑為3 μm，相鄰間距為9 μm），等比例繪制30×30 的二維點陣圖以及二維點陣中某點發(fā)生位移的點陣圖，如圖1（a）為未變形的二維點陣圖，圖1（b）、圖1（c）、圖1（d）為偏移點分別在中心、左上角、右下角的二維點陣圖。通過算法將點陣圖像填充為原圖像陣列大小的兩倍來進行0 填充處理。再通過Matlab 軟件對預設(shè)變形的二維點陣圖形分別進行二維快速傅里葉變換、選取特定的高頻點進行濾波、逆傅里葉變換等處理得到其對應的幅值分布圖，以探究二維點陣圖中單點發(fā)生位置偏移以及一些列點均發(fā)生偏移時得到的幅值圖中的結(jié)果。

圖1 預設(shè)偏移的二維點陣圖Fig.1 Two-dimensional lattice diagrams of default offset

預設(shè)變形的二維點陣圖（以圖1（c）為例）在經(jīng)二維快速傅里葉變換后，得到的頻譜圖及頻譜圖的局部放大圖如圖2 所示。選取其中光強較大，并且不包含低頻直流成分的二維點陣圖的一級衍射斑點分別進行標號，分別得到這8 個衍射斑點作傅里葉逆變換的幅值分布圖以探究單頻點的選擇對仿真實驗結(jié)果的影響。在此基礎(chǔ)上將發(fā)生不同方向偏移的點置于同一圖中進行相同的操作以直觀比較選取不同頻點對得到幅值圖的影響，以探究在偏移點的數(shù)量或其他信息未知時對頻點選取的最佳方案。

圖2 頻譜圖及其局部放大圖Fig.2 Spectrogram and its partial magnification diagram

如圖3，A、B、C、D分別為只發(fā)生X方向偏移的點、只發(fā)生Y方向偏移的點和發(fā)生右下、左上方向偏移的點，對這樣同時包含典型偏移方向的偏移點的圖像進行傅里葉變換，選取不同頻點以相同的濾波窗口大小進行濾波，探究頻點選擇對幅值圖的影響。除此之外，濾波器窗口大小的設(shè)置也直接影響仿真實驗結(jié)果，因此以圖1（c）為例針對同一個頻點，只改變?yōu)V波器窗口的大小，探究不同濾波器及濾波器濾器窗口大小對得到幅值分布圖結(jié)果的影響。

圖3 不同方向偏移的點陣圖Fig.3 Lattice diagram with offset in different directions

由于實際中細胞黏附在微柱上，通過細胞牽引力帶動微柱偏轉(zhuǎn)，可能出現(xiàn)某個方向上細胞牽引力太大而使微柱產(chǎn)生較大的偏轉(zhuǎn)，此時的微柱的俯視圖中看到的可能只是該微柱頂端的投影，這樣得到的微柱直徑相比較于其他未偏轉(zhuǎn)的微柱會發(fā)生明顯改變。因此在前面仿真的基礎(chǔ)上，進一步探究不同大小的偏移點對仿真實驗結(jié)果的影響。如圖4 為預設(shè)某點發(fā)生偏移的二維點陣點陣圖的局部放大圖，紅框內(nèi)為大小可變的偏移點，其圓心坐標為固定值。除偏移點外其余點的直徑都均為15 個像素。對不同大小的偏移點經(jīng)過傅里葉變換，選取同一高頻點以同一窗口大小對其進行濾波，再逆傅里葉變換得到幅值分布圖以探究偏移點大小對仿真實驗結(jié)果的影響。

圖4 偏移點陣局部放大圖Fig.4 Partial magnification diagram of offset lattice

2.2 細胞-微柱顯微照片數(shù)字圖像處理

在預設(shè)變形二維點陣圖的基礎(chǔ)上，用真實顯微鏡下拍到的高倍顯微圖替代前面仿真中用Photoshop繪制的二維點陣圖，對其進行數(shù)字傅里葉變換、濾波、逆傅里葉變換等操作后，得到幅值分布圖，以進一步探究利用數(shù)字傅里葉變換測量細胞牽引力的可行性。

具體的測量過程分為兩大部分，首先是微柱的制備、LX-2 肝星狀細胞的接種及后續(xù)培養(yǎng)，一段時間后在選取生長狀態(tài)良好且細胞對微柱產(chǎn)生了較明顯拉伸的細胞區(qū)域進行拍照，得到60X 物鏡下的高倍顯顯微鏡微圖，如圖5 所示[20]。然后將高倍顯微圖轉(zhuǎn)化為灰度圖并填充為2 048×2 048 像素大小的圖像，再對其進行二維快速傅里葉變換、濾波、傅里葉逆變換等處理得到微柱陣列的幅值分布圖，在濾波時選取高頻點1 進行濾波，具體分析步驟如圖6 所示。

圖5 細胞高倍顯微圖Fig.5 High-power micrograph of cell

圖6 程序分析步驟圖Fig.6 Flow chart of process analysis

高倍顯微圖經(jīng)數(shù)字傅里葉變換后得到的是幅值分布圖，要想測得細胞力必須首先得到高倍顯微圖中微柱的偏移量，再代入力學模型得出細胞力。

為了將經(jīng)圖6 的程序分析得到的幅值圖轉(zhuǎn)換為微柱偏移量，需對偏移的值和對應的幅值進行標定。具體標定過程為：參照高倍顯微圖灰度圖中未發(fā)生偏移的微柱大小及與其他未偏移微柱之間的間距，構(gòu)建與高倍顯微圖經(jīng)填充后的灰度圖大小完全相同的灰度圖，以標準微柱直徑及間隔在圖上構(gòu)建17×17 個“微柱”陣列，除最中心一個“微柱”發(fā)生偏移外，其余皆呈周期性排布，如圖7 所示。

圖7 作為標定的圖及其局部放大圖Fig.7 Diagram as calibration and its partial magnification diagram

設(shè)置中心偏移“微柱”的偏移量為從0 到60 像素，以10 像素為步長得到一系列的灰度圖。將這些灰度圖做為待測圖，選擇與細胞-微柱顯微圖的灰度圖進行運算時相同的參數(shù)重復圖6 所示程序運算，得到一系列幅值圖，測量得到不同位移幅度下的幅值分布的系統(tǒng)響應，如圖8 所示。標定經(jīng)數(shù)字傅里葉變換、濾波、傅里葉逆變換處理后幅值分布和局部偏移移量的關(guān)系。

圖8 偏移量及幅值的對應關(guān)系圖Fig.8 Corresponding diagram of offset and amplitude

由圖8，微柱偏移量在0～60 像素（對應實際距離為3 μm）范圍內(nèi)，經(jīng)OriginPro 程序可分析擬合出偏移量與幅值二者存在的線性關(guān)系，即通過標定可以從幅值分布圖解算出微柱偏移的像素值，再由細胞的高倍顯微圖像素值換算微柱實際偏移量的分布。依據(jù)前文提到的本實驗中微柱陣列的固化參數(shù)（固化溫度65 ℃，固化時間40 h），查閱相關(guān)文獻[21]得到此時PDMS 的楊氏模量約為2.66 MPa。在已有的相關(guān)文獻基礎(chǔ)上，調(diào)整楊氏模量和最大施加的力等參數(shù)，用多物理場仿真軟件COMSOL Multiphysics 對微柱頂端受力發(fā)生形變進行仿真，得到此實驗中微柱的力學模型。圖9 為在微柱頂端施加150 nN 力時微柱頂端的偏移情況，此時微柱底端保持不變，只在微柱頂端發(fā)生偏移，且此時最大偏移量為3.52 μm。通過仿真可知，在微柱頂端施加0～150 nN 的力時，微柱頂端偏移量與所受的力有很好的線性關(guān)系，且此時微柱剛度約為42.66 nN·μm?1，細胞牽引力分布情況最終由微柱的偏移量乘微柱剛度得到。

圖9 COMSOL Multiphysics 仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of COMSOL Multiphysics

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 預設(shè)變形二維點陣

3.1.1 預設(shè)變形點的位置

分別將圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）、圖1（d）經(jīng)0 填充后進行快速傅里葉變換，單頻點濾波，再逆傅里葉變換，得到的幅值分布圖如圖10 所示。

圖10 不同位置預設(shè)變形點對應的幅值分布圖Fig.10 Amplitude distribution diagrams corresponding to preset deformation points at different positions

由圖10 仿真結(jié)果可知，當點陣圖未發(fā)生點的偏移時，對圖像進行傅里葉變換，濾波及傅里葉逆變換后，得到的像面幅值除點陣邊緣的突變產(chǎn)生的高頻信號外，點陣中央均勻排布的點陣經(jīng)一系列處理得到的像面幅值仍均勻排布，不存在峰值突變的地方，與前文分析的理論一致。而分別使點陣中間一點偏移、左上角一點偏移以及右下角一點偏移得到的點陣圖，經(jīng)相同的處理，得到的幅值圖中點偏移的部位會出現(xiàn)一個明顯的幅值突變，且幅值突變最大值處的坐標剛好為原圖中點偏移后坐標和未偏移的理論坐標連線的中點，這說明最后得到的幅值分布圖可以直觀精確的定位發(fā)生點偏移的位置。

3.1.2 濾波頻點的選擇

分別選取左上角一點發(fā)生偏移的點陣圖得到的頻譜圖2 中的8 個頻點進行濾波、逆傅里葉變換等操作得到其幅值分布圖，可觀察到選取關(guān)于原點對稱的一對頻點時得到的幅值分布圖完全相同。待測圖是左上角一點的偏移使得原本周期性分布的點陣在此處的空間頻率發(fā)生了改變，右上因為偏移點的靠近而使得空間頻率更小，經(jīng)逆傅里葉變換得到的幅值圖中在該處應有空間頻率發(fā)生變化的體現(xiàn)。此時選取高頻點1 和5 進行濾波，得到的是一個包含波峰和波谷的幅值突變，右上方對應了頻率更高的波峰，左下相應的變?yōu)榈皖l的波谷；同樣的選取頻點2 和4 進行濾波時得到的圖形相似，峰值有一個明顯向右向上的偏移（對應于缺陷點位置的偏移），得到的峰值坐標與理論值相比有1 到2 個像素的偏差；選取頻點3 進行濾波時從圖中不能直觀反映缺陷點的偏移方向，但峰值基本居于正中心，更容易確定峰值點的坐標，得到的坐標與理論值幾乎沒有差別。因此，在已知只有一點發(fā)生偏移時，可通過選取合適的頻點來直觀地得到偏移的方向或者對偏移點進行精確定位。

在探究單點偏移選取不同頻點對結(jié)果圖影響的基礎(chǔ)上，對預設(shè)同時包含有不同方向偏移點的點陣圖3 進行傅里葉變換。圖11（a）、圖11（b）、圖11（c）、圖11（d）是分別選取頻點1、頻點2、頻點3、頻點4 進行逆傅里葉變換得到的幅值分布圖。

圖11 不同方向偏移點選取不同頻點的幅值圖Fig.11 Amplitude diagrams of different frequency points selected at offset points in different directions

通過對比圖11（b）、圖11（c）、圖11（d）、圖11（e）幅圖可以發(fā)現(xiàn)，頻點2 只對水平方向的位移敏感，頻點4 只對豎直方向上的位移敏感，而對角線上的頻點1，3 對水平和豎直方向上的位移都敏感，不同位置的頻點對不同方向的位移敏感程度不同。因此，當待測圖像中有一系列未知偏移方向的點時，為得到較為全面的表征一系列偏移點信息的幅值分布圖，應對分別選取8 個高頻點得到的所有幅值圖相加取平均。

3.1.3 濾波器窗口大小

對左上角存在一點偏移的點陣圖進行二維傅里葉變換，在得到的頻譜圖中選取同一個高頻點，只改變?yōu)V波時窗口的大小進行濾波及逆傅里葉變換，記錄不同濾波窗口大小時從幅值分布圖中得到的偏移點的坐標信息，再以原圖中偏移點偏移后坐標和未偏移的理論坐標連線中點處作為待測偏移點的理論坐標值，繪制出不同濾波窗口大小下仿真實驗得到的坐標與理論坐標的偏差，如圖12（b）所示。

圖12 濾波窗口大小對實驗結(jié)果的影響Fig.12 Influence of filter window size on experimental results

顯然，在濾波窗口取60 像素到85 像素時，幾乎不存在誤差；濾波窗口取45 像素到55 像素時也僅存在1 像素到2 像素的誤差；濾波窗口更小時（對應于頻譜圖中的A 圈），由于高頻點的信息丟失的較多因而誤差較大；同時，當濾波窗口取到90 像素時（對應于頻譜圖中的B 圈），由于窗口太大引入了相鄰高頻點的信息，對原信息造成了干擾因而出現(xiàn)了較大誤差。

仿真發(fā)現(xiàn)，改變?yōu)V波器窗口的大小，得到的幅值分布圖在細節(jié)體現(xiàn)上會存在差異，但只要保證濾波器的窗口能包含高頻點的全部信息且沒有將相鄰高頻點的信息混入，對同一個高頻點進行濾波，再做逆傅里葉變換，得到的幅值分布圖中表征偏移點位置的幅值突變處的坐標差別并不大。

3.1.4 偏移點的大小

對不同大小但圓心坐標相同的偏移點經(jīng)過傅里葉變換，選取同一高頻點以同一窗口大小對其進行濾波，再逆傅里葉變換得到幅值分布圖，從得到的幅值分布圖中提取偏移點的位置信息并與理論值作比較分別繪出圖13（a）、圖13（b）、圖13（c）。

圖13 偏移點大小對實驗結(jié)果的影響Fig.13 Influence of offset point size on experimental results

圖13（a）和圖13（b）圖分別為偏移點取不同直徑時對應的x軸、y軸的偏差，可以看出，當偏移點的直徑取15 像素時（即偏移點與其余未偏移點大小一樣），得到的偏移點的位置信息與理論值完全相同，在偏移點直徑進一步減小到13 像素時，x軸、y軸方向仍沒有出現(xiàn)偏差，偏移點直徑減小到11 像素時也僅有1 像素的偏差。這說明當偏移點直徑減少的值在標準偏移點直徑的26.7%的范圍內(nèi)，對測量結(jié)果不會產(chǎn)生太大的影響，該測量方法對于偏移點減小的情況有一定的容錯率。但是當偏移點進一步減小時，x軸、y軸都開始出現(xiàn)偏差，且偏移點越小兩軸出現(xiàn)的偏差越大。通過圖13（a）和圖13（b）兩圖還可以發(fā)現(xiàn)，隨著偏移點直徑減小，x軸方向的偏差減小到負值，而y軸方向的偏差增大到正值，結(jié)合圖偏移點向右向上的偏移方向可以看出，當偏移點進一步減小時，測量得到的坐標值與理論坐標值相比，產(chǎn)生了一個向左、向下的位置偏差，正好與偏移點偏移方向相反。而偏移點直徑增大時所有的x軸方向的偏差、y軸方向的偏差較小且均為定值。綜上，當偏移點的大小在標準直徑的26.7%的范圍內(nèi)減小時，對測量結(jié)果不會產(chǎn)生太大的影響，減小值超出這一范圍時，測得坐標值會削弱偏移點產(chǎn)生的位置偏移量，使測得的位置偏移量比實際的小。移點當偏移點增大此時的偏差幾乎可以忽略且不隨偏移點直徑的改變而改變。實際中微柱測細胞牽引力時對應于偏移點減小的情況，只要滿足微柱頂端投影的減少量在微柱標準直徑的26.7%范圍內(nèi)，即使被拉伸的微柱頂端投影相較于其他未偏移的微柱頂端直徑小，仍能得到比較準確的位置信息；微柱頂端投影直徑的減少量超過微柱標準直徑的26.7%時會使測得的微柱頂端偏移量偏小。

3.2 細胞-微柱顯微圖

圖14 為經(jīng)填充的微柱高倍顯微灰度圖進行一次傅里葉變換得到的頻譜圖。分別選取8 個一級衍射斑點進行傅里葉逆變換，將得到的8 張幅值分布圖相加取平均作為最終的幅值圖。通過偏移值與幅值的對應關(guān)系將幅值分布轉(zhuǎn)換成微柱偏移量的分布圖，再由PDMS 的剛度計算得到細胞力的分布圖如圖15（a）所示。

圖14 進行傅里葉變換得到的頻譜圖Fig.14 Obtained spectrogram by Fourier transform

圖15 細胞顯微圖的處理Fig.15 Cell micrograph processing

對同一幅高倍顯微圖用質(zhì)心法測細胞力，先將其轉(zhuǎn)換為灰度圖，再進行中值濾波、二值化等處理，利用Matlab 中regionprops 函數(shù)提微柱端面質(zhì)心坐標。將沒有細胞粘附處未發(fā)生偏轉(zhuǎn)的微柱坐標作為參考坐標，粘附有細胞的偏轉(zhuǎn)微柱頂端質(zhì)心坐標與參考坐標作差得到微柱的偏移量分布圖，再乘仿真得到的剛度得到細胞力分布如圖15（b）。

對比圖15 兩幅圖可以看出，傅里葉變換的方法與質(zhì)心法得到細胞力的分布圖基本一致，從兩種方法得到的細胞力分布圖中各選取被細胞覆蓋且通過牽引力帶動偏轉(zhuǎn)的部分，并將其分為5 個相對應的主要區(qū)域進行研究，在圖15 中對同一區(qū)域進行標號。以質(zhì)心法得到的結(jié)果作為標準值，分別計算出傅里葉變換法得到的5 個區(qū)域的最大細胞力，如表1 所示。

表1 測得的各區(qū)域最大細胞力Table 1 Maximum cell forces measured in each region

從表1 可以看出，傅里葉變換法得到的細胞力分布圖中各區(qū)域細胞力的最大值與質(zhì)心法相比，相對誤差在1.76%到17.37%的范圍內(nèi)，且總體測得的細胞力均小于質(zhì)心法測得的細胞力。這種情況的產(chǎn)生可能是由于傅里葉變換法幅值分布圖是由分別取各個高頻點得到的幅值圖相加取平均得到的，而如前文分析，某些頻點只對特定方向的偏移敏感，這樣得到的頻點的幅值分布圖明顯會削弱其他方向的偏移信息，因此所有頻點相加取平均，測得的總體值會偏小。此外，區(qū)域3、區(qū)域4 的相對誤差分別為16.54%和17.37%，相對其他區(qū)域的相對誤差值較大，測得的細胞力較質(zhì)心法測得的細胞力偏小的程度更明顯。這種情況可能是這兩個區(qū)域細胞牽引力較大而使微柱發(fā)生了相對較大的位移，從而使得微柱頂端的投影直徑相比較于其他微柱直徑減小量較多造成的。從圖5 細胞的高倍顯微圖中也可以看出，此時這兩個區(qū)域的微柱頂端均發(fā)生了較大的位移，微柱頂端面積約為其他微柱頂端面積的一半。而如前文分析，偏移點直徑的減小量超過標準偏移點直徑的26.7%，導致了測量結(jié)果偏小。

表2 中，傅里葉變換法得到的細胞力分布圖對各區(qū)域的細胞力取平均值，各區(qū)域相對誤差值與表1 相比方差更小，測量的精度受偏移點偏移方向的影響更小，該方法測得的各區(qū)域的平均細胞力誤差更小。

表2 測得的各區(qū)平均細胞力Table 2 Mean cell forces measured in each region

此外，分別用數(shù)字傅里葉變換和質(zhì)心法對處理點陣個數(shù)分別為900（30×30）、3600（60×60）、8100（90×90）二維點陣圖的運行時間如圖15所示。

從圖中16 可以明顯看到，在二維點陣圖中點的個數(shù)較小時，質(zhì)心法的運行時間和傅里葉變換相差不大；當待處理的點數(shù)繼續(xù)增大（從30×30 的點陣增大到60×60 的點陣）時，傅里葉變換的運行時間基本不變，但質(zhì)心法的運行時間增加近2 倍；待處理點數(shù)增加到8100（90×90）時，傅里葉變換運行時間仍然基本不變，但是質(zhì)心法的運行時間增加到了數(shù)字傅里葉變換的10 倍。由此可以發(fā)現(xiàn)，在處理待測點數(shù)較多的細胞顯微圖時，傅里葉變換法相較于質(zhì)心法，運行時間更短，從執(zhí)行速度上來說該方法也具有明顯優(yōu)勢。

圖16 傅里葉變和質(zhì)心法運行時間的比較Fig.16 Comparison of running time between Fourier transform and centroid method

4 結(jié)論

本文提出了一種基于傅里葉變換的細胞牽引力測量方法，并通過對預設(shè)二維點陣的仿真驗證了測量方法的可行性，并對過程中頻點選擇、濾波窗口大小進行分析，確定了最優(yōu)值。在此基礎(chǔ)上，分別用傅里葉變換法和質(zhì)心法對同一細胞-微柱顯微圖進行了測量，傅里葉變換法的細胞力分布圖在結(jié)果呈現(xiàn)上不亞于質(zhì)心法，測得的各區(qū)域最大細胞力相對誤差在17.37%之內(nèi)，各區(qū)域平均細胞力相對誤差在7.93%之內(nèi)。該方法避免了照明不均時閾值的合理選取困難、需原始位置作為標準、二值化的過程使得輪廓跳動大這些質(zhì)心法中存在的問題，且對于8100 個點數(shù)的點陣圖的運算速度比質(zhì)心法快近10 倍，在運算速度上具有明顯優(yōu)勢。此外，該方法可以直觀體現(xiàn)細胞力的總體分布情況，為后續(xù)通過光學傅里葉變換實現(xiàn)細胞力的測量提供了研究基礎(chǔ)，對光學傅里葉變換在大視場下同時對多個細胞的細胞牽引力分布情況進行研究有重要的參考意義。