陳壯壯，王志斌，李克武，吳笑男

（中北大學 理學院 山西省光電信息與儀器工程技術研究中心，山西 太原 030051）

引言

光柵（grating）屬于應用廣泛的光學元件，在光學傳感、集成光路、光信息處理、光通信等光學應用領域都呈現(xiàn)了舉足輕重的作用。目前，該元件主要運用在納米級別。國內(nèi)外對于新型的光學元件納米級光柵在生物傳感、光子晶體[1-3]等多領域都有深入的研究和探討。

在柔性器件領域，柔性電子設備主要有兩類，其中有機半導體[4-6]占比最高。而在制備其他的柔性元件時，則主要依托聚二甲基硅氧烷（polydimethylsiloxane，PDMS）[7]等一些具有良好可拉伸性能的材料，以及其他具有延展性的結構類體系材料。PDMS 薄膜不僅拉伸性能良好，且具有親膚性和無毒性。因此，PDMS薄膜作為柔性材料的代表受到了大家的青睞，被廣泛應用在柔性電子設備和可穿戴設備[8]之中。在這些應用中，作為柔性支撐材料是PDMS 薄膜本身最常見的作用。

本文選用時域有限差分（finite difference time domain，F(xiàn)DTD）法，通過相關仿真軟件FDTD Solutions，建立一種以PDMS 薄膜為基板的具有周期邊界條件的二維金屬等離子體光柵仿真結構。通過對光柵施加應力，改變PDMS 薄膜等離子體光柵的參數(shù)（即周期、占空比及Au 膜厚度），并對其進行設計仿真和理論計算。通過對其共振波長特性的探究，本文提出了對應力最為敏感的等離子體光柵結構。最后將仿真結果與理論數(shù)值做對比，并計算出相對誤差的大小。

1 基本原理

1.1 等離子體光柵理論模型

等離子體作為一種比較特殊的物質(zhì)狀態(tài)，是由高密度且呈均等分布狀態(tài)的兩種帶電自由粒子所構成的[9]，它本身不會產(chǎn)生空間電荷，對外也不顯電性?；诠鈻篷詈系脑恚軌蛞鸨砻娴入x子體波，其示意圖如圖1 所示。當光波（包括極化光p）進入光柵表面的電介質(zhì)時，光柵本身的周期結構會導致一系列衍射。衍射光線被反射的同時，按照不同的衍射角進行衍射，繼而出現(xiàn)不同的衍射級次。當某一級次的波向量與表面等離子體波的波向量在界面方向上的投射相一致時，表面等離子體波便可以在光柵表面激發(fā)[9]。

圖1 光柵耦合模型Fig.1 Grating coupling model

對于入射角為θ的光，在基板和空氣中傳播的衍射級數(shù)與基板表面平行的衍射波的波長λ為

式中：n1為PDMS 基底的折射率；n2為空氣的折射率；m為任意整數(shù)，對應不同衍射級次，m＞0 時（1）式、（2）式取正，m＜0 時取負；p為光柵周期。（1）式和（2）式分別為等離子體光柵反射和透射時衍射級數(shù)與波長的關系。

1.2 表面等離子體共振原理

眾所周知，自由電子存在于金屬內(nèi)部的同時，也大量存在于其表面，且組成獨立的自由電子團，也就是等離子體（plasmon）；另一方面，將存在于金屬表面高活性的自由電子團定義為表面等離子體。當入射光照射到金屬表面時，會與它產(chǎn)生的自由電子團振動頻率相同從而引起共振，便產(chǎn)生了表面等離子體共振[10]（surface plasmon resonance，SPR）。與SPR 一樣，光和電子的相互作用也可以產(chǎn)生局域表面等離子體共振（localized surface plasmon resonance，LSPR）。當光束照射到金屬表面時，金屬表面的自由電子迅速激發(fā)，并與入射光中的光子以一致的頻率在晶格中共振[11]，在光譜上顯示出紫外可見光范圍內(nèi)的強共振吸收或散射峰。而對于金納米材料，LSPR 特性明顯改變的直觀表現(xiàn)是峰值和顏色的變化，因而可以在傳感器[12]等眾多領域中發(fā)揮關鍵的作用。

表面晶格共振是由金屬顆粒的局域表面等離激元與瑞利反常[13]（rayleighabnormal，RAs）產(chǎn)生衍射耦合引起的。瑞利反常，這是由平行于基板表面的衍射階數(shù)疊加和來自單個納米線的局域表面等離子體共振（LSPR）引起的。瑞利反常產(chǎn)生時，某些衍射級次對應的衍射角恰好為90°，意味著它們處于倏逝波[8]或傳播波（不附帶能量或附帶有能量）的臨界狀態(tài)。

由光柵方程可知，假設光柵常數(shù)[8]為a，空氣中的入射光照射到光柵上的角度為θ，ε1代表金薄膜的介電常數(shù)，ε2代表空氣介電常數(shù)，沿光柵表面產(chǎn)生SPPs[8]的條件可以寫成：

式中：g為光柵波矢，且g=2π/a，ω=2π/λ；m表示衍射級次。

當光柵常數(shù)和入射角合適時，金屬表面可產(chǎn)生SPPs 波。這種激發(fā)表面等離子體共振的方式適用于金屬/電介質(zhì)界面和空氣/金屬界面[14]。通過計算（2）式和（3）式，可以得出等離子體光柵透射時所產(chǎn)生的共振波長λspp為

式中：p和n1分別表示光柵的周期和基底的折射率。

1.3 PDMS 等離子體光柵應力應變原理

由胡克彈性定律[15-16]可知，物體在彈性區(qū)間內(nèi)所受的外力與它單向拉伸的變量成線性關系，即應力σ和應變ε成正比：

式中：E 為彈性模量或楊氏模量[16]。

在本文中，我們采用FDTD Solutions 模擬分析了PDMS 基板上的等離子體晶格光柵的視向光學響應。光柵所用的材料為金，一般而言，金、銀等金屬材料都可以用來制作光柵，但是銀在制作過程中容易發(fā)生氧化，在其表面形成一種氧化膜，從而會對實驗結果產(chǎn)生影響。因此，從光學特性來看我們選擇了金作為PDMS 光柵的材料。

對等離子體光柵沿柵線方向施加壓力，改變等離子體光柵參數(shù)，當壓力變大時，光柵的周期、占空比都會不斷減小，金膜厚度則隨著壓力的增大而逐漸增大。本文中將通過仿真等離子體光柵的透射率來觀察光柵參數(shù)變化時對光柵共振吸收峰的影響，并得出光柵參數(shù)對光柵應力的響應敏感程度；其次將仿真所得結果與理論計算值作比較得出相對誤差的大小。

2 等離子體光柵仿真模型結構設計

FDTD Solutions 是一款對微結構進行仿真設計分析的高性能軟件。該軟件能經(jīng)過腳本語言構建任何形狀的二維和三維結構，借助軟件提供的綜合數(shù)據(jù)分析和作圖，可以很快地解決問題。此外，F(xiàn)DTD Solutions[17]可以根據(jù)本文設計模型結構進行選取，可以用來建立仿真周期性光柵結構，并對簡化的二維模型進行設計分析。用FDTD 仿真光柵，需要建立物理模型、定義仿真區(qū)域、設置光源和監(jiān)視器，最后進行運行及分析。

我們用FDTD 建立了具有邊界周期條件的yz平面等離子體晶格光柵的視向光學響應的二維模型。如圖2 所示，已知PDMS 基底的折射率n1為1.55，空氣介質(zhì)中的折射率n2設置為1，光柵的材料是Au，用p表示光柵周期，用h表示刻槽深度，其中金膜的厚度為b，PDMS 寬度為w，平面波斜入射時的角度為θ，光柵的占空比f=w/p。

圖2 光柵結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of grating structure

光柵上的光沿y方向線性極化，考慮到模擬的光柵在結構上屬于周期性，因此在仿真中豎直方向結構為無限周期邊界條件，選擇完全邊界條件[18-20]將照射的電磁波全部吸收無反射，水平方向結構則采用周期邊界條件。設置周期性邊界條件后，建立仿真區(qū)域時只需對其中一個周期進行建模，便可實現(xiàn)對整個周期排列的結構進行電磁場仿真分析[21]，極大地提高了工作效率。

3 仿真結果與理論對比

3.1 周期改變對等離子體光柵共振峰的影響

光從空氣向PDMS 薄膜光柵入射時，此時光入射的角度θ為50°?？紤]光的入射波長范圍為0.4 μm～1.5 μm，PDMS 寬 度w為0.25 μm，光 柵 槽 深h為0.12 μm，其中金膜厚度b為0.02 μm，占空比f為50%。本仿真中光柵周期p的取值范圍為0.4 μm～0.7 μm，步長為0.05 μm，用FDTD Solutions 進行仿真得到的透過率結果如圖3 所示。

圖3 不同周期的共振譜Fig.3 Resonance spectrum of different periods

由圖3 可知，在波長相同的入射光條件下，不同周期激發(fā)產(chǎn)生表面等離子體共振峰的位置不同。其次，當周期從0.4 μm～0.45 μm 變化時，光柵的共振峰光譜發(fā)生了紅移，共振深度逐漸增加，共振半峰寬度逐漸減??；但當周期在0.45 μm～0.7 μm區(qū)間內(nèi)時，共振峰光譜又發(fā)生紅移，共振深度逐漸縮小，共振半峰寬度隨之遞減，但其激發(fā)的等離子體光柵共振吸收峰的波長隨著周期變大而逐漸增大，且周期每增大0.05 μm，對應的共振峰波長增加0.1 μm。圖3 可以看出周期在0.65 μm～0.7 μm時，透射率變化最明顯，在0.7 μm 時共振峰最尖銳，共振半峰寬度最窄，因此對應力響應最敏感的周期為0.7 μm。

圖4 表明了共振波長與周期的變化關系，通過（2）式計算可得周期為0.4 μm，0.45 μm，0.5 μm，0.55 μm，0.6 μm，0.65 μm，0.7 μm 時的共振波長分別為0.704 μm，0.792 μm，0.88 μm，0.918 μm，1.056 μm，1.144 μm，1.232 μm，可知理論數(shù)值與仿真所得結果都吻合，其中周期為0.7 μm 時共振波長為1.251 μm，相對誤差為1.5%。

圖4 共振波長與周期的變化關系Fig.4 Change relationship between resonance wavelength and period

3.2 金膜厚度改變對等離子體光柵共振峰的影響

不同金膜厚度會影響金屬性能，當金膜厚度較薄時，其表面電子濃度低，會導致SPR 響應不明顯。只有金膜厚度一定、形成均勻平滑的薄膜層時，產(chǎn)生SPR 現(xiàn)象才更為穩(wěn)定。如果金膜厚度再逐漸增加，那么光譜曲線中的諧振共振峰耦合深度會變淺。

本文中設置其余條件不變，取p=0.7 μm，f=50%，將金膜厚度b的取值范圍設置為0.01 μm～0.07 μm，步長為0.01 μm，用FDTD Solutions 仿真得到的透過率結果如圖5 所示。

圖5 不同金膜厚度的共振譜Fig.5 Resonance spectrum with different gold film thicknesses

其中圖5 中的嵌圖為光柵金膜厚度改變時共振波長的局部放大圖。光柵周期為0.7 μm 時，由嵌圖可知，金膜厚度小于0.02 μm 時，共振深度增大，等離子體光柵共振波長隨之增大；金膜厚度大于0.02 μm 時，個別數(shù)據(jù)除外，共振深度逐漸增大，共振波長大小基本不變，且金膜厚度從0.01 μm～0.02 μm 變化時，共振吸收峰的深度增大得最為明顯。同時金膜厚度為0.02 μm 時，光柵的共振深度最深，共振半峰寬度最窄。因此可得金膜厚度為0.02 μm 時，對應力的響應最為敏感。

圖6 表明了共振波長和金膜厚度的變化關系，可知光柵周期為0.7 μm 時，F(xiàn)DTD 仿真所得的共振波長為1.25 μm，與理論值對比后，其相對誤差是1.4%。

3.3 占空比改變對等離子體光柵共振峰的影響

其余參數(shù)保持不變，光柵周期p設置為0.7 μm，金膜厚度b為0.02 μm，占空比f的取值范圍為35%～65%，步長為5%，用FDTD Solutions 仿真得到的透過率結果如圖7 所示。

圖6 共振波長和金膜厚度的變化關系Fig.6 Change relationship between resonance wavelength and gold film thickness

圖7 不同占空比的共振譜Fig.7 Resonance spectrum with different duty cycle

其中圖7 中的嵌圖為光柵占空比改變時共振波長的局部放大圖。光柵周期為0.7 μm 時，由嵌圖可知，光柵占空比的變化并不會引起共振波長的改變。當占空比小于55%、f增加時，共振深度變深；當占空比大于55%時，共振深度變淺；當占空比等于55%時，共振半峰寬度最窄。因此在SPR測量中，占空比為55%時對應力的響應最為敏感。

圖8 表明了共振波長和占空比的變化關系，可知光柵周期為0.7 μm 時，F(xiàn)DTD 仿真所得的共振波長為1.254 μm，與理論值對比后，其相對誤差是1.7%。

圖8 共振波長和占空比的變化關系Fig.8 Change relationship between resonance wavelength and duty cycle

4 結論

本文利用PDMS 薄膜優(yōu)越的拉伸特性，提出了一種以PDMS 薄膜為基底的具有周期性邊界條件的金屬等離子體光柵結構。借助FDTD Solutions光學仿真軟件，通過對等離子體光柵施加應力，得出了光柵周期、占空比及金膜厚度改變時對等離子體光柵共振峰波長的影響以及對力的響應敏感程度。結果表明，當金膜厚度b和占空比f一定時，周期p為0.7 μm 的等離子體光柵的共振半峰寬度最窄，共振峰最尖銳；當占空比f和周期p一定時，金膜厚度b為0.02 μm 的光柵的共振深度最深，共振半峰寬度最窄；當金膜厚度b和周期p一定時，占空比f為55%的光柵的共振深度最深，共振半峰寬度最窄。

綜上所述，當光柵周期p=0.7 μm，占空比f=55%，金膜厚度b=0.02 μm 時，對光柵施加應力所產(chǎn)生的響應最為敏感；其次，將仿真所得的不同周期時的共振峰波長與理論計算值相比較可知，二者結果相吻合。并且當周期為0.7 μm 時，共振吸收峰的波長為1.251 μm，理論與仿真所得結果的相對誤差都小于2%。該方法可以為傳感器、光譜儀等光學應用領域提供參考。