蔣文超，譚立輝

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

在信號處理領(lǐng)域，為了實(shí)現(xiàn)信號的分類、存儲、識別等目的，通常需要將信號分解為不同的原子，研究它們的不同表示形式。而稀疏表示的目的就是用盡可能少的原子來表示信號，以獲得信號更為簡潔的表示形式和更容易地獲取信號所蘊(yùn)含的信息，實(shí)現(xiàn)信號的壓縮、存貯等目標(biāo)[1-3]。經(jīng)典的信號分解模型有Fourier分解、短時Fourier分解、小波分解等[4-5]。在1998年，N.E.Huang等人提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馑惴?Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD)，它能將任意復(fù)雜信號 f(t)分解為數(shù)目有限的本征模態(tài)函數(shù)之和

其中 fk(t)為本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Functions，簡稱IMF)[6]，rn+1(t)為余量。借助于D.Gabor在1947年提出的用解析信號的方法來定義IMF的瞬時頻率的結(jié)論[7]，通過對每一個IMF的 fk(t)做Hilbert變換H，可得到其對應(yīng)的解析信號為

關(guān)于這個算法極大值選取的存在性及算法的收斂性證明具體參見文獻(xiàn)[22]。圍繞這個分解，錢濤教授及合作者[23-26]開展了一系列的工作，他們不僅從理論上證明了AFD算法的快速收斂性，而且實(shí)現(xiàn)了在系統(tǒng)辨識、圖像去噪等領(lǐng)域的應(yīng)用，并將AFD分解的相關(guān)結(jié)論推廣到矩陣值函數(shù)、高維復(fù)分析、Clifford分析等領(lǐng)域。

由于自適應(yīng)Fourier分解是基于Hardy空間的性質(zhì)建立的分解模型，而Hardy空間本質(zhì)上是一個再生核空間。為了拓寬其應(yīng)用范圍，本文將研究再生核空間W21[a,b][27-29]的自適應(yīng)Fourier分解算法，利用能量下降最快的原理自適應(yīng)性地構(gòu)造出最佳n 項逼近函數(shù)，從理論上證明其收斂性及極大選擇原理成立。最后用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在 W21[a,b]再生核空間中利用自適應(yīng)Fourier分解原理構(gòu)造的n 項最佳數(shù)值原函數(shù)的逼近效果要優(yōu)于用等分節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的 n項最佳數(shù)值原函數(shù)。并且隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，兩個方法的逼近誤差都會逐步變小。

1 W21空間的介紹

1.1 W 21空間的基礎(chǔ)介紹

2 AFD在W 21[a,b]空間的應(yīng)用

2.1 最佳n 項逼近及其性質(zhì)

2.2 AFD的最佳n 項逼近收斂性

3 W 21[a,b]空間中的最佳數(shù)值原函數(shù)

圖1 求解的數(shù)值積分原函數(shù)Fig.1 Solving the original function of numerical integration