鄭子釗，彭世國(guó)，付志文，徐云劍

（1. 廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510006；2. 廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能工程學(xué)院，廣東 廣州 510507）

近年來(lái)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)引起了學(xué)界越來(lái)越多的關(guān)注。多變復(fù)雜的系統(tǒng)可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)加以描述，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)、通信網(wǎng)絡(luò)等。同步作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的典型集群動(dòng)力學(xué)行為備受關(guān)注，現(xiàn)有相關(guān)理論研究已被應(yīng)用在保密通訊[1]、信號(hào)處理[2]、機(jī)器人列隊(duì)[3]等諸多實(shí)際領(lǐng)域。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步可以簡(jiǎn)單理解為網(wǎng)絡(luò)中或者網(wǎng)絡(luò)之間的節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)通過(guò)相互作用或外部調(diào)控，使?fàn)顟B(tài)逐步接近，最后達(dá)到同一狀態(tài)。

在實(shí)際應(yīng)用中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不可避免地會(huì)受到各種因素的影響，如環(huán)境中的外部干擾、通訊時(shí)延等，這些因素可以使原來(lái)穩(wěn)定的系統(tǒng)變得不穩(wěn)定[4]。對(duì)于如何衡量外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，魯棒H∞控制則具有較好的描述與處理方法，其控制思想是把系統(tǒng)輸出控制在外部干擾的某一特定范圍之內(nèi)，所以對(duì)魯棒H∞同步的研究尤為重要。文獻(xiàn)[5]考慮切換復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]通過(guò)分布式脈沖控制方法，得到了時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，文獻(xiàn)[7]考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞有限時(shí)間同步問(wèn)題, 文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不確定時(shí)的魯棒H∞有限時(shí)間同步問(wèn)題，需要指出的是，上述文獻(xiàn)只針對(duì)單權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

現(xiàn)實(shí)中，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的連接具有非單一性，如人際網(wǎng)絡(luò)中，個(gè)體間的通訊可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)、電話、傳真等多種方式實(shí)現(xiàn)。每種方式具有各自的特點(diǎn)，多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以更精確地描述這類系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，即網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)間存在多個(gè)連接邊(權(quán)重)。文獻(xiàn)[9-12]研究了多權(quán)重時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步和魯棒H∞同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[13]研究了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)存在自適應(yīng)狀態(tài)耦合時(shí)的魯棒H∞同步問(wèn)題，文獻(xiàn)[14-15]通過(guò)運(yùn)用牽引控制方法，得到了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的實(shí)現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件。

如上所述，已有眾多方法用于處理多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問(wèn)題，如反饋控制、牽引控制、自適應(yīng)控制。在眾多控制方法中，脈沖控制作為一種非連續(xù)控制，能有效降低控制成本，增強(qiáng)系統(tǒng)抗干擾性能，具有很強(qiáng)的實(shí)用性[16]。本文將通過(guò)脈沖控制方法考慮一類多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問(wèn)題。受文獻(xiàn)[5-6]啟發(fā)，本文設(shè)計(jì)了新穎的分布式脈沖控制器，通過(guò)在分布式脈沖控制器中添加誤差狀態(tài)反饋?lái)?xiàng)，以保證網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)魯棒H∞同步。通過(guò)模型變換, 利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步特性,以線性矩陣不等式(LMIs)的形式給出了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，仿真結(jié)果驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

1 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

定理1 考慮滿足假設(shè)1的同步誤差系統(tǒng)式(6)。若對(duì)于給定常量0 ＜μ，0 ＜? ＜1， N ×N 維矩陣 M和脈沖時(shí)刻序列ζ (ρ) ，存在一個(gè)矩陣 P ＞0 和常量α ＞0。有下列LMIs式(7)、式(8)成立，則同步誤差系統(tǒng)式(6)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

備注3 定理2給出了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)式(1)在受到外部干擾影響時(shí)實(shí)現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步性能由同步誤差系統(tǒng)式(5)的穩(wěn)定性和 L2－增 益來(lái)衡量，γ 值越小， L2－增益越小，網(wǎng)絡(luò)對(duì)干擾的抑制能力越強(qiáng)。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將對(duì)多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)式(1)進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證上述結(jié)論的有效性，給定如下參數(shù)。

n=3， N =5， g =3， f(t,xi(t))=arctan(t)xi(t)，C =[1,0,0]，Di=(0.2+(－1)i0.05i)[1,1,1]T。顯然，可取L=[2,2,2]使f (t, xi(t))函數(shù)滿足Lipschitz條件。時(shí)變時(shí)延 τ(t)，0 ≤τ(t)≤0.7, 可知τ ˉ=0.7。 節(jié)點(diǎn)間耦合強(qiáng)度a1=a2=a3=1。內(nèi) 部 耦 合 矩 陣 Γ1=diag{0.2,0.1,0.1} ，Γ2=diag{0.1,0.1,0.2} ， Γ3=diag{0.2,0.2,0.1}，耦合權(quán)重矩陣為

進(jìn)一步，驗(yàn)證定理2的有效性。取脈沖時(shí)刻序列{tk}∈ζ(0.03)，tk－tk－1≡0.03，k ∈N+。

給定 γ=1.8,?=μ=0.57,δ=1.2，誤差反饋增益矩陣 Z=diag{－0.4,－0.4,－0.4,－0.4,－0.4}。根據(jù)耦合權(quán)重矩陣，設(shè)計(jì)外部耦合矩陣數(shù)隨時(shí)間變化的曲線如圖2所示，可見(jiàn)各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)xi(t)漸 近趨向同步狀態(tài)s (t)，網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)同步。

圖1 脈沖控制下，網(wǎng)絡(luò)式(1)各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)曲線Fig.1 State curves of each node in the network formula (1) under impulsive control

圖2 脈沖控制下，同步誤差系統(tǒng)式(4)各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)范數(shù)曲線Fig.2 The state norm curve of each node in synchronization error system formula (4) under impulsive control

4 結(jié)論

本文基于脈沖控制方法，對(duì)一類多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問(wèn)題進(jìn)行了研究，給出了多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)魯棒H∞同步的充分條件，并用Matlab軟件實(shí)例仿真驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。研究結(jié)果表明，通過(guò)在分布式脈沖控制器中添加節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量與同步狀態(tài)間的誤差狀態(tài)反饋?lái)?xiàng)，可以保證同步誤差系統(tǒng)是內(nèi)部全局指數(shù)穩(wěn)定的且具有有限的 L2－增益，多權(quán)重復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)魯棒H∞同步。

圖3 脈沖控制下，同步誤差系統(tǒng)式(5)的受控輸出范數(shù)曲線Fig.3 The controlled output norm curve of synchronization error system formula (5) under impulsive control