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        玩中學(xué)演中悟 從三個(gè)水平層次管窺直觀想象素養(yǎng)
        ——以2020年浙江高考立體幾何解答題為例

        2021-04-08 03:02:04王崢嶸王奇佳
        數(shù)理化解題研究 2021年7期
        關(guān)鍵詞:想象素養(yǎng)教學(xué)

        王崢嶸 王奇佳 沈 恒

        (浙江省湖州市第二中學(xué) 313000)

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》指出:數(shù)學(xué)學(xué)科直觀想象素養(yǎng)主要表現(xiàn)在建立形與數(shù)的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物.可以說,直觀想象素養(yǎng)是數(shù)形結(jié)合思想的一種具體落實(shí),在學(xué)生頭腦中建立起從一維數(shù)軸——二維平面——三維空間的逐步學(xué)習(xí)過程,形成一種具備直觀感受下的空間思考能力.

        直觀想象素養(yǎng)分為三個(gè)水平層次,其一是直面感官想象的能力;其二是形成數(shù)形結(jié)合的思想;其三是構(gòu)建直觀模型的體系.課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出,我們教學(xué)需要適配的三個(gè)方向,即認(rèn)識、形成、構(gòu)建!本文結(jié)合2020年浙江省高考立體幾何解答題,從直觀想象三個(gè)水平層次的角度,談一談如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

        題目(2020年浙江卷第19題)如圖1,三棱臺DEF-ABC中,面ADFC⊥面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.

        (1)證明:EF⊥DB;

        (2)求DF與面DBC所成角的正弦值.

        層次一:興于形——直面感官想象的能力

        立體幾何解答題往往已經(jīng)給出圖形,這就在水平層次一上.讀懂幾何試題的一般圖形,是最直接的感官想象能力.具體分析一下,第(1)問考查的是異面直線垂直問題,是一個(gè)常規(guī)問題,這類問題的基本策略就是借助線面垂直證明線線垂直.此處可直接利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理(如圖2):兩個(gè)平面(α和β)垂直,則一個(gè)平面垂直于交線(l)的直線(b?α,b⊥l)與另一個(gè)平面垂直(b⊥β).

        層次二:立于思——形成數(shù)形結(jié)合的思想

        空間幾何本身就是以圖形為載體,通過傳統(tǒng)歐式幾何定理,利用“形”的視角解決問題,也可以從“數(shù)”的視角,利用向量運(yùn)算解決問題.縱觀近年來浙江高考立體幾何解答題,我們不難發(fā)現(xiàn),命題組一直努力在尋求兩種方式的平衡,即不能讓“代數(shù)運(yùn)算”的向量方式占據(jù)絕對優(yōu)勢,因此命題組在傳統(tǒng)歐式幾何方式和建系向量方式上努力尋求平衡點(diǎn).這一命題思路,正是暗示了我們的一線教學(xué),需要從兩個(gè)方面指導(dǎo)學(xué)生立體幾何的學(xué)習(xí),“形解”和“數(shù)解”都要掌握,因此筆者提出,立體幾何教學(xué)要兩法并舉、齊頭并進(jìn),切勿“單腿走路”.現(xiàn)在一線教學(xué)對于傳統(tǒng)歐式定理的教學(xué)往往有所放松,而中學(xué)數(shù)學(xué)更注重“形”的培養(yǎng),以形輔數(shù)在數(shù)形結(jié)合思想中占據(jù)著更為重要的地位,來看“形”解:

        解析(1)如圖3,過點(diǎn)D作DO⊥AC于點(diǎn)O,連接OB.

        所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB.

        由三棱臺ABC-DEF得BC∥EF,所以EF⊥DB.

        (2)過點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H,連接CH.

        由三棱臺ABC-DEF得DF∥CO,所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角.

        由BC⊥平面BDO,得OH⊥BC,故OH⊥平面BCD.

        所以∠OCH為直線CO與平面DBC所成角.

        層次三:成于新——構(gòu)建直觀模型的體系

        隨著學(xué)生掌握知識的進(jìn)步,我們發(fā)現(xiàn)愈來愈多的學(xué)生會利用空間向量的方式解決立體幾何問題,這也是方法的進(jìn)步.記得浙江大學(xué)金蒙偉教授說過:我們一直想努力命一道傳統(tǒng)歐式幾何法不吃虧、空間向量不占便宜的立體幾何試題,但是真的很難,就好比是有了計(jì)算器之后,無論如何使用算盤都占不到便宜!在教學(xué)中,如何快速引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)直觀模型,是空間幾何學(xué)習(xí)的必備方向.

        解析由三棱臺ABC-DEF得DF∥CO,所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角,記為θ,如圖4,以O(shè)為原點(diǎn),分別以射線OC,OD為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

        設(shè)平面BCD的法向量n=(x,y,z).

        “數(shù)”解方式——空間向量法在計(jì)算中設(shè)而不求的思想在解析幾何中常見,在立體幾何中不常見,對學(xué)生是否敢于嘗試帶參數(shù)求解是一個(gè)考驗(yàn).筆者嘗試將這個(gè)題目給高二學(xué)生去做,竟然有了一個(gè)“驚人”的發(fā)現(xiàn),出現(xiàn)了兩種不按常理出牌的思路,通過對這兩位學(xué)生的了解發(fā)現(xiàn),他們能準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)此題的結(jié)果和點(diǎn)E,F(xiàn)的位置無關(guān),僅和兩個(gè)45°有關(guān).

        第一種思想是將這個(gè)臺體圖形內(nèi)置到一個(gè)正方體內(nèi),問題就變成了正方體的棱AC和面CMN所成角的問題(如圖5所示),這也是此題可以設(shè)而不求的幾何背景.

        拋開這兩種解題過程,筆者發(fā)現(xiàn),提供這兩種解法的學(xué)生都是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)社團(tuán)成員,并且都是參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動積極性很高的學(xué)員.在解題過程中聯(lián)系平時(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn),提出“猜想”,筆者認(rèn)為這就是“直觀想象”的一種體現(xiàn).

        因此,于教師而言:作為數(shù)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)直觀想象而言,筆者從課程標(biāo)準(zhǔn)的三個(gè)水平層次進(jìn)行了與一線教學(xué)落地的對比解讀.而將核心素養(yǎng)進(jìn)行落地,是需要一線教師在認(rèn)真研學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上,融入自身教學(xué)的思考.

        于教學(xué)而言:

        興于形——初等數(shù)學(xué)要注重幾何圖形的掌握;

        立于思——問題解決要關(guān)注數(shù)形結(jié)合的魅力;

        成于新——類比學(xué)習(xí)要尋求思維創(chuàng)新的突破.

        因此直觀想象素養(yǎng)恰恰是要求我們將這種啟發(fā)、引導(dǎo)、創(chuàng)新帶給學(xué)生,從而提高學(xué)生直觀想象能力和思維的含量,獲得更好的學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)體驗(yàn),是為直觀想象素養(yǎng)三個(gè)水平層次.

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