江西 許冬保 肖 凱

在靜電場中，雙點電荷電場問題，屬于非常典型的一類問題，是高考命題的高頻考點。這類試題側重考查考生科學思維中模型建構、科學推理以及物理觀念中運動觀念、能量觀念。試題涉及多個知識點的綜合應用，如電場強度、電勢、電勢能、電場力做功、動能等物理量的分析。試題一般以選擇題呈現(xiàn)，且多以定性分析為主，旨在考查考生的理解能力、模型建構能力以及推理論證能力等。本文試對雙點電荷電場問題進行分類分析，以尋求相應的求解方略。

1.等量異種雙點電荷電場

如圖1所示，為等量異種雙點電荷電場線與等勢面分布圖。雙點電荷連線自左至右，場強先減小后增大，中點最?。浑妱葜饾u降低。在雙點電荷連線中垂線上，沿中垂線自上而下，場強先增大后減小，中點最大；中垂線(面)為等勢線(面)，且與無窮遠處電勢相同，若選定無窮遠處電勢為零，則中垂線上各點的電勢均為零。

圖1 等量異種雙點電荷電場線與等勢面

【例1】空間P、Q兩點處固定電荷量絕對值相等的點電荷，其中Q點處為正電荷，P、Q兩點附近電場的等勢線分布如圖2所示，a、b、c、d、e為電場中的5個點，設無窮遠處電勢為零，則

( )

A.e點的電勢大于零

B.a點和b點的電場強度相同

C.b點的電勢低于d點的電勢

D.負電荷從a點移動到c點時電勢能增加

【解析】根據(jù)電場線與等勢面之間的關系，參考圖1，可判斷出P點處為負電荷，試題所描述的是兩個等量異種電荷電場的情形。已知無窮遠處電勢為零，且e點在PQ連線的中垂線上，則φe=0；參考圖1，a、b兩點電場強度方向不同；從Q到P電勢逐漸降低，則φb>φd；由φa>φc，可知負電荷從a點到c點電場力做負功，電勢能增加。故D選項正確。

圖2

【例2】(2020年全國卷Ⅱ第20題)如圖3所示，豎直面內(nèi)一絕緣細圓環(huán)的上、下半圓分別均勻分布著等量異種電荷。a、b為圓環(huán)水平直徑上的兩個點，c、d為豎直直徑上的兩個點，它們與圓心的距離均相等。則

( )

圖3

A.a、b兩點的場強相等 B.a、b兩點的電勢相等

C.c、d兩點的場強相等 D.c、d兩點的電勢相等

【解析】若以a、b點所在直線連線為分界線，該題所述的帶電圓環(huán)，可等效為無數(shù)對上下對稱分布的等量異種點電荷電場的疊加。將圖1沿順時針方向旋轉90o，由場強左右及上下空間分布的對稱性，不難得到，AC選項正確。又由于a、b兩點處在等勢面上，因此，a、b兩點電勢相等。而c、d兩點處在同一電場線上，自c至d電勢一直在降低，即φc>φd。故ABC選項正確。

【點評】等量異種雙點電荷電場是最基本、最典型的電場。例1切入點為從等勢線找電場線分布；例2考查點為等量異種雙點電荷電場的集合。掌握圖1所示的電場線與電勢分布圖，掌握電場線與等勢線沿空間分布的對稱性特點，是求解這類問題的關鍵所在。

2.等量同種雙點電荷電場

如圖4所示，為等量同種雙點電荷(正電荷)電場線與等勢面分布圖。雙點電荷連線自左至右，場強先減小后增大，中點場強為零；電勢先減小后增大，中點電勢最低。

圖4 等量雙點電荷(正電荷)電場線與等勢面

在雙點電荷連線中垂線上，自連線中點沿中垂線至無窮遠處，場強先增大后減??；電勢逐漸降低，中點電勢最高。

【例3】靜電場在x軸上的場強E隨x的變化關系如圖5所示，x軸正向為場強正方向，帶正電的點電荷沿x軸運動，則點電荷

( )

圖5

A.在x2和x4處電勢能相等

B.由x1運動到x3的過程中電勢能增加

C.由x1運動到x4的過程中電場力先增大后減小

D.由x1運動到x4的過程中電場力先減小后增大

【解析】由圖5可知，帶正電的點電荷在x>x1的條件下，所受電場力方向沿x軸負方向，從x2移動到x4的過程電場力做負功，電勢能增加，A選項錯誤；同理，帶正電的點電荷從x1移動到x3的過程中，電場力做負功，電勢能增加，B選項正確；從x1到x4的過程場強先增大后減小，所以電場力先增大后減小，C選項正確，D選項錯誤。

【例4】空間某一靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖6所示，x軸上兩點B、C的場強在x方向上的分量分別是EBx、ECx，下列說法中正確的有

( )

A.EBx的大小大于ECx的大小

B.EBx的方向沿x軸正方向

C.電荷在O點受到的電場力在x軸方向上的分量最大

D.負電荷沿x軸從B點移到C點的過程中，電場力先做正功，后做負功

圖6

圖7 雙等量正點電荷電場線分布圖

注意圖7中增加了中間兩條特殊的電場線(大學電磁學教材上畫出，而中學教材未畫出)，有利于問題的分析。

3.不等量異種雙點電荷電場

如圖8所示，為不等量異種雙點電荷(圖8中左側為正電荷，右側為負電荷，且右側電荷量較大)電場線與等勢面分布圖。雙點電荷連線自左至右，場強先減小后增大；電勢逐漸降低。沿雙點電荷連線靠近電荷量小的外側(圖中正的點電荷的左側)某點場強為零。

圖8 不等量異種雙點電荷電場線與電勢分布圖

【例5】兩異種點電荷電場中的部分等勢面如圖9所示，已知A點電勢高于B點電勢。若位于a、b處點電荷的電荷量大小分別為qa和qb，則

( )

圖9

A.a處為正電荷，qaqb

C.a處為負電荷，qaqb

【例6】兩電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點，空間靜電場的電勢在x軸的分布如圖10所示。其中A、N兩點處的電勢均為零，ND段中C點電勢最高，下列說法正確的是

( )

A.q1的電荷量小于q2的電荷量

B.A點的電場強度大小為零

C.將一帶負電的試探電荷從N移到D點，電場力先做正功后做負功

D.將一帶負電的試探電荷在NC間某點釋放，僅在電場力作用下一定能到達N點

圖10

【解析】由圖10可知，q1為正電荷，q2為負電荷，A點的電勢為零。因此，q1的電荷量大于q2的電荷量，且q1和q2為異種電荷，A點的場強最小，但不為零。AB選項錯誤。進一步分析圖10，在x軸的C點電勢最高，場強為零，其兩側電場線必反向，顯然，將一帶負電的試探電荷從N移到D點，電場力先做正功后做負功。若將一帶負電的試探電荷在NC間某點釋放，僅在電場力作用下一定能到達NC間某點，但不能到達N點。C選項正確。

【點評】不等量異種雙點電荷電場較等量異種雙點電荷電場要復雜一些，左右電場分布沒有對稱性。例5、例6所描述的電場是相同的，但情境不同，例5是已知等勢面的分布確定電場分布；例6是已知φ-x圖像，根據(jù)圖像信息確定電場分布。圖10中，在x軸的C點，對應電勢最高，因圖像斜率為零，則該點場強為零。

注意例5、例6情境與圖8所示的情境不完全相同，不同點在于例5、例6中左側電荷量大于右側電荷量。根據(jù)圖10信息，繪出與圖10相對應的電場線分布示意圖(圖11)，有利于深度分析電場中的有關問題。在圖11中右側的4個箭頭表明，該處電場線走向的多樣性，并且電場線的“拐點”處場強為零。

圖11 不等量異種雙點電荷電場線分布圖

4.不等量同種雙點電荷電場

如圖12所示，為不等量同種雙點電荷(正電荷)電場線與等勢面分布圖(圖中左側電荷量較大)。雙點電荷連線自左至右，場強先減小后增大，在雙點電荷連線之間，靠近電荷量小的一側(圖中兩點電荷之間連線右側)某點場強為零。

圖12 不等量雙點電荷(正電荷)電場線與等勢面

【例7】真空中有兩個固定的帶正電的點電荷，電荷量不相等。一個帶負電的試探電荷置于二者連線上的O點時，僅在電場力的作用下恰好保持靜止狀態(tài)。過O點作兩正電荷連線的垂線，以O點為圓心的圓與連線和垂線分別交于a、c和b、d，如圖13所示。以下說法正確的是

( )

圖13

A.a點電勢低于O點

B.b點電勢低于c點

C.該試探電荷在a點的電勢能大于在b點的電勢能

D.該試探電荷在c點的電勢能小于在d點的電勢能

【解析】已知負的試探電荷僅在電場力的作用下，在O點恰好保持靜止，則O點的合場強必為零。如圖14所示，根據(jù)兩個不等量正電荷間電場線的分布特點可知：aO之間電場線由a到O，則a點的電勢高于O點的電勢，因此，A選項錯誤；兩個不等量正電荷間電場線的分布可能是圖15所示的情形，圖中b點并不在所畫的電場線上，參考圖12可近似認為b點附近的小段圓弧為等勢線。因此，b點電勢低于c點；如圖14，負的試探電荷由a點移送到b點，電場力做負功，電勢能增加，C選項錯誤；同理，負的試探電荷由c點移送到d點電場力做負功，電勢能增加。BD選項正確。

圖14 電場線分布的一種可能情形

圖15 電場線分布的另一種可能情形

【例8】a、b是x軸上兩個點電荷，電荷量分別為q1和q2，沿x軸a、b之間各點對應的電勢高低如圖16所示，a、P間距離大于P、b間距離，由圖示可以判斷以下說法正確的是

( )

圖16

A.a和b均為負電荷，且q1一定大于q2

B.電勢最低的P點的場強為零

C.將一負的試探電荷從b處移到P處，電荷電勢能增加

D.a、b間的場強先減小后增大

【點評】例7、例8描述的是不等量雙點電荷(正電荷)電場的有關信息。例7要求根據(jù)已知條件畫出兩電荷之間的電場線，參考圖12，若電荷在電場中某點所受電場力為零，則場強為零，于是可以推理得到該處的電場線出現(xiàn)“拐點”；例8則要求根據(jù)φ-x圖像，畫出雙電荷之間的電場線。正確繪制出不等量雙點電荷(正電荷)電場線是分析問題的關鍵所在。