甘肅 張金龍 薛 興

彈簧類問題是高中物理中非常典型的變力作用模型，因這類問題過程復(fù)雜，涉及的力學(xué)規(guī)律多，綜合性強，能全面考查學(xué)生的科學(xué)思維、實驗探究等物理核心素養(yǎng)，是歷年高考命題的熱點，但大部分學(xué)生解決彈簧類問題感覺比較困難，思路不清，甚至無從下手。本文通過典型實例分析牛頓運動定律中的彈簧類問題、功能關(guān)系中的彈簧類問題、動量守恒定律中的彈簧類問題和實驗中的彈簧問題，旨在幫助學(xué)生深刻剖析力學(xué)中彈簧類問題，抓住解題要點，提高備考效率。

一、彈簧類問題命題突破要點

1.彈簧的彈力是一種由彈性形變決定大小和方向的力，在彈性限度內(nèi)，根據(jù)胡克定律可知F彈=kx，當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時，要注意彈力的大小和方向時刻要與當(dāng)時的形變相對應(yīng)。一般從分析彈簧的形變?nèi)胧郑却_定彈簧原長位置、形變后位置、形變量x與物體空間位置變化的關(guān)系后，分析形變所對應(yīng)的彈力大小和方向，進而分析物體運動狀態(tài)及變化情況。

2.彈簧的形變發(fā)生改變需要時間，瞬間可認(rèn)為無形變量，彈力不變，彈性勢能不變。F彈=kx中x表示形變量，彈力和彈性勢能為某特定值時，可能對應(yīng)兩種狀態(tài)(即彈簧伸長或壓縮)，高考經(jīng)常在此設(shè)置題目。

4.彈簧連接物體組成的系統(tǒng)，因彈力為系統(tǒng)的內(nèi)力，當(dāng)系統(tǒng)外力合力為零時，系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律可快速求解物體的速度，此類問題涉及物體多，過程復(fù)雜，常以選擇題或計算題的形式出現(xiàn)，注意抓住臨界狀態(tài)及條件，結(jié)合能量守恒定律便可求解。

二、四種彈簧類問題

題型一 牛頓運動定律中的彈簧類問題

1.彈簧彈力的特點：(1)瞬時性。彈力隨形變的變化而變化，彈簧可伸長可壓縮，兩端同時受力，大小相等方向相反；(2)連續(xù)性。彈簧形變量不能突變，約束彈簧的彈力不能突變；(3)對稱性。彈力以原長為對稱，大小相等的彈力對應(yīng)壓縮和伸長兩種狀態(tài)。

2.此類問題經(jīng)常伴隨臨界問題。當(dāng)題目中出現(xiàn)“剛好”“恰好”“正好”，表明過程中存在臨界點；若出現(xiàn)取值范圍、多大距離等詞時表示過程存在“起止點”，這往往對應(yīng)臨界狀態(tài)；若題目要求“最終加速度”“穩(wěn)定速度”，即求收尾加速度和收尾速度。

【例1】如圖1所示，光滑水平地面上，可視為質(zhì)點的兩滑塊A、B在水平外力的作用下緊靠在一起壓縮彈簧，彈簧左端固定在墻壁上，此時彈簧的壓縮量為x0，以兩滑塊此時的位置為坐標(biāo)原點建立如圖1所示的一維坐標(biāo)系，現(xiàn)將外力突然反向并使B向右做勻加速運動，下列關(guān)于外力F、兩滑塊間彈力FN與滑塊B的位移x變化的關(guān)系圖像可能正確的是

( )

圖1

A

B

C

D

( )

圖2

B.彈簧恢復(fù)原長時物塊a、b恰好分離

【小結(jié)】準(zhǔn)確理解胡克定律F=kx中各物理量的含義，注意x為形變量(伸長量或縮短量)，分析彈力一般從形變量入手，抓住彈力與物體位置或位置變化的對應(yīng)關(guān)系，對物體進行受力分析，結(jié)合牛頓運動定律確定物體的運動狀態(tài)或各物理量隨位置坐標(biāo)的變化情況。

題型二 功能關(guān)系中的彈簧類問題

1.題型特點：由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般有重力和彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化機械能守恒，注意應(yīng)用功能關(guān)系或機械能守恒定律進行求解。

2.注意三點：(1)對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，與彈簧伸長或壓縮無關(guān)；(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)；(3)如果系統(tǒng)中兩個物體除彈簧彈力外所受合外力為零，則彈簧形變量最大時兩物體速度相同。

【例2】如圖3所示，B、C兩小球由繞過光滑定滑輪的細(xì)線相連，C球放在固定的光滑斜面上，A、B兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A球放在水平地面上?，F(xiàn)用手控制住C球，并使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知C球的質(zhì)量為4m，A、B兩小球的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計。開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放C球后，B球的速度最大時，A球恰好離開地面，求：

(1)斜面的傾角α；

(2)球C球獲得的最大速度vm。

【解析】(1)B球速度達到最大時，B球、C球加速度為零，A恰好離開地面，設(shè)彈簧伸長量為xA，對A球，kxA=mg，對B球，F(xiàn)線-mg-kxA=0，對C球，4mgsinα-F線=0，聯(lián)立解得α=30°。

題型三 動量守恒定律中的彈簧類問題

1.題型特點：兩個(或兩個以上)物體與彈簧組成的系統(tǒng)在相互作用過程中，若系統(tǒng)不受外力或所受合外力為零，則系統(tǒng)的動量守恒；同時，除彈簧彈力以外的力不做功，則系統(tǒng)的機械能守恒。

2.注意三點：(1)此類問題一般涉及多個過程，注意把相互作用過程劃分為多個依次進行的子過程，分析確定哪些子過程動量或機械能守恒，哪些子過程動量或機械能不守恒；(2)對某個子過程列動量守恒和能量守恒方程時，初末狀態(tài)的動量和能量表達式要對應(yīng)；(3)一個常見的臨界狀態(tài)，即當(dāng)彈簧最長或最短時，彈性勢能最大，彈簧兩端物體速度相等。

【例3】如圖4甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質(zhì)量為m1和m2的兩物塊相連，靜止在光滑水平地面上，某瞬間物塊m1獲得水平向右的速度v0，從此時刻開始計時，兩物塊的速度隨時間變化的規(guī)律如圖4乙所示，則下列判斷正確的是

( )

甲

A.t1時刻彈簧長度最短

B.在t1～t3時間內(nèi)，彈簧處于壓縮狀態(tài)

C.在0～t2時間內(nèi)，彈簧對物塊m1沖量的大小為m1(v0-v3)

D.物塊m1、物塊m2的動量滿足m1v0=(m1+m2)v2=m2v1-m1v3

【解析】物塊m1獲得速度v0，開始壓縮彈簧，物塊m1減速，物塊m2加速，t1時刻二者速度相等，系統(tǒng)動能最小，彈性勢能最大，彈簧被壓縮至最短，然后物塊m2加速，物塊m1先減速為零然后反向加速，t2時刻，彈簧恢復(fù)原長狀態(tài)，此時兩物塊速度方向相反，因此彈簧的長度將逐漸增大，兩物塊均減速運動，t3時刻，兩物塊速度相等，系統(tǒng)動能最小，彈性勢能最大，彈簧伸長量最大，因此從t2到t3過程中彈簧處于伸長狀態(tài)，故A選項正確，B選項錯誤；在0～t2時間內(nèi)，根據(jù)動量定理得彈簧對物塊m1的沖量為I=Δp=m1(-v3)-m1v0=-m1(v3+v0)，故C選項錯誤；在0～t1和0～t2時間內(nèi)，將彈簧和兩物塊看為整體，合外力為零，動量守恒，有m1v0=(m1+m2)v2=m2v1-m1v3，故D選項正確。

【變式訓(xùn)練2】如圖5所示，三個小木塊A、B、C靜止在足夠長的光滑水平軌道上，質(zhì)量分別為mA=0.1 kg，mB=0.1 kg，mC=0.3 kg，其中B與C用一個輕彈簧固定連接。開始時整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，A和B之間有少許塑膠炸藥(質(zhì)量不計)，現(xiàn)引爆塑膠炸藥，若炸藥爆炸產(chǎn)生的能量有E=0.4 J轉(zhuǎn)化為A和B沿軌道方向的動能。爆炸時間極短，求：

圖5

(1)爆炸后瞬間A、B的速度大?。?/p>

(2)彈簧彈性勢能的最大值；

(3)彈簧恢復(fù)到原長時B、C的速度大小。

【解析】(1)炸藥爆炸前后以A、B為系統(tǒng)分析，根據(jù)動量守恒定律可知mBvB-mAvA=0

代入數(shù)據(jù)解得vA=vB=2 m/s

【小結(jié)】彈簧與它兩端連接的物體彈力大小始終相等且方向相反，當(dāng)系統(tǒng)不受其他外力時，運用動量守恒定律不用考慮過程中彈力如何變化，解決此類問題體現(xiàn)出極強的優(yōu)越性，分析此類問題注意分解過程、抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合機械能守恒定律進行求解，因選修3-5已調(diào)整為必考內(nèi)容，所以，動量守恒定律中的彈簧類問題也應(yīng)引起足夠的重視。

題型四 實驗中的彈簧類問題

實驗中的彈簧類問題涉及的實驗是“探究彈簧彈力與彈簧伸長量的關(guān)系”，即胡克定律F=kx。力F的測量要注意彈簧豎直且處于平衡狀態(tài)，x的測量要注意不能超過彈性限度，用測量總長度減去彈簧原長，不能直接測量形變量，否則會增大誤差。胡克定律還可表述為ΔF=kΔx，根據(jù)此式即使不測量彈簧的原長也可求勁度系數(shù)，通常以彈力F為縱坐標(biāo)，彈簧長度或伸長量x為橫坐標(biāo)，通過圖像斜率求勁度系數(shù)。

【例4】某實驗小組探究彈簧的勁度系數(shù)k與其長度(圈數(shù))的關(guān)系。實驗裝置如圖6所示：一均勻長彈簧豎直懸掛，7個指針P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分別固定在彈簧上距懸點0、10、20、30、40、50、60圈處；通過旁邊豎直放置的刻度尺，可以讀出指針的位置，P0指向零刻線。設(shè)彈簧下端未掛重物時，各指針的位置記為x0；掛有質(zhì)量為0.100 kg的砝碼時，各指針的位置記為x。測量結(jié)果及部分計算結(jié)果如表所示(n為彈簧的圈數(shù)，取重力加速度為9.8 m/s2)。已知實驗所用彈簧總?cè)?shù)為60，整個彈簧的自由長度為11.88 cm。

圖6

P1P2P3P4P5P6x0(cm)2.044.066.068.0510.0312.01x(cm)2.645.267.8110.3012.9315.41n102030405060k(N/m)163①56.043.633.828.81/k(m/N)0.0 061②0.0 1790.0 2290.0 2960.0 347

(1)將表中數(shù)據(jù)補充完整：①________，②________。

圖7

(3)圖7中畫出的直線可近似認(rèn)為通過原點，若從實驗中所用的彈簧截取圈數(shù)為n的一段彈簧，該彈簧的勁度系數(shù)k與其圈數(shù)n的關(guān)系的表達式為k=________N/m；該彈簧的勁度系數(shù)k與其自由長度l0(單位為m)的關(guān)系的表達式為k=________N/m。

圖8

三、結(jié)語

彈簧因它的彈力、彈性勢能與形變量之間有獨特的關(guān)系，牛頓運動定律、機械能守恒定律及動量守恒定律等力學(xué)核心內(nèi)容均可以以彈簧為載體進行考查，試題綜合性強，難度大，能全面考查學(xué)生邏輯思維能力和運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力，備受命題專家的青睞，所以，備考當(dāng)中應(yīng)引起足夠的重視。