（衡水學院 數(shù)學與計算機學院，河北 衡水 053010）

《高等數(shù)學》 是高等學校理工類專業(yè)的一門重要的基礎課，為學生提供系統(tǒng)的高等數(shù)學基礎知識，傳授必要的基礎理論和常用的思維方法。一般來說，《高等數(shù)學》主要包含函數(shù)、極限與連續(xù)、一元函數(shù)和多元函數(shù)的導數(shù)、微分、一重和多重不定積分、定積分、微分方程與差分方程、級數(shù)等內容以及它們在實際生產生活中的應用。通過課程的學習，學習者初步能夠運用數(shù)學方法解決實際問題，培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學運算能力、綜合應用能力、數(shù)學建模與實踐能力以及自學能力。

以其中“導數(shù)”的相關內容為例，先介紹導數(shù)、總成本、總收益、總利潤等經濟學中常用的基本概念，然后給出邊際成本、邊際收益、邊際利潤的定義及經濟意義，并結合實際例子來說明這些理論在輕紡領域中的重要應用。

1 首先給出幾個基本概念

企業(yè)在從事生產、銷售等經營活動時，總是希望盡可能地降低單位產品的生產成本，增加總收益和總利潤。下面先來介紹幾個經濟學中常用的基本概念。

總成本是生產和經營一定數(shù)量的產品所需要的總投入，包含廠房、設備折舊、管理費、工人基本工資等固定成本以及生產所需的原材料、燃料、電力等可變成本；總收益是指出售一定數(shù)量的產品所得到的全部收入，跟價格和銷量等因素密切相關；總利潤是指總收益減去總成本和上繳稅金后的余額 （為簡單起見，后面計算總利潤時暫不考慮稅金）?？偝杀尽⒖偸找?、總利潤都可以簡單地看成是產量（或銷量）Q 的函數(shù)，分別稱為總成本函數(shù)、總收益函數(shù)、總利潤函數(shù)，分別記作C（Q）、R（Q）、L（Q）?？偝杀荆ɑ蚩偸找?、總利潤）除以產量（或銷量）Q，就得到單位產品的平均成本（或平均收益、平均利潤）。

導數(shù)的定義：設函數(shù)y=f (x)在點x 的某一鄰域內有定義，若極限

存在，則稱函數(shù)f (x)在點x 可導，并稱該極限值為函數(shù)f (x)在點x 處的導數(shù)，記作y' 或f' (x)。設經濟函數(shù)y=f (x)在點x 處可導，則稱導數(shù)f' (x)為f (x)的邊際函數(shù)，f'(x)在點x0處的函數(shù)值f'(x0)為邊際函數(shù)值。

下面分別介紹邊際成本、邊際收益、邊際利潤的概念、經濟意義以及它們在輕紡領域中的重要應用。

2 邊際成本及其應用

總成本函數(shù)C（Q）的導數(shù)C'（Q）稱為邊際成本，它（近似地） 表示已經生產了Q 個單位產品以后再多生產一個單位產品所增加的成本，即C'（Q）是第（Q+1）個單位產品的成本。實際生產中，我們可以把邊際成本與單位產品的平均成本相比較，若邊際成本小于平均成本，就可以增加產量來降低單位產品的成本；若邊際成本大于平均成本，則應該考慮減少產量以降低單位產品的成本，下面我們來看它的具體應用。

例：某紡織廠生產毛巾的總成本函數(shù)為C （Q）=1000+Q2÷1600，計算：生產1000 個毛巾的總成本和平均成本（元）；生產第1001 條毛巾需要的成本及其經濟意義。

解：生產1000 個毛巾的總成本

C（1000）=1000+1000×1000÷1600=1625（元）

每個毛巾的平均成本為1625÷1000=1.625（元）

利用導數(shù)的定義計算可得邊際成本為

C'（Q）=2Q÷1600=Q÷800

于是有

C'（1000）=1000÷800=1.25（元）

經濟意義：第1001 個毛巾的成本是1.25 元，低于前1000 個產品的平均成本是1.625 元，所以可以通過增加產量來降低每個產品的成本。

3 邊際收益及其應用

總收益函數(shù)R（Q）的導數(shù)R'（Q）稱為邊際收益，它（近似地）表示已經銷售了Q 個單位產品以后，再多銷售一個單位產品所增加的總收益，即R'（Q）是賣出第（Q+1）個單位產品帶來的收益，下面來看它的應用。

例：某商場銷售某件服裝的收益函數(shù)為R （Q）=200Q-Q2,計算：（1）銷售25 件服裝的總收益和平均收益（元）；（2）賣出第26 件服裝的收益及其經濟意義。

解：銷售25 件服裝的收益為R（25）=200×25-252=4375（元）

每件服裝的平均收益為4375÷25=175（元）

利用導數(shù)的定義計算可得邊際收益為

R'（Q）=200-2Q

于是有

R'（25）=200-2×25=150（元）

經濟意義：賣出第26 件服裝的收益是150 元，低于前25 件服裝的平均收益，這就說明由于種種原因，后面銷量的收益比前面減少了，提醒商家需要考慮采取一定的方法和手段，比如可以搞一些促銷活動來提高價格和銷量，增加總收益。

4 邊際利潤及其應用

總利潤函數(shù)L（Q）的導數(shù)L'（Q）稱為邊際利潤，它（近似地）表示已經生產了Q 個單位產品以后，再多生產一個單位產品所增加的總利潤，即L'（Q）是生產第（Q+1）個單位產品所增加的利潤。

通常情況下，可以把邊際收益和邊際成本作比較，若R'（Q）＞C'（Q），說明產量達到Q 以后，再多生產一個單位產品所增加的收益大于所花費的成本，因而總利潤會有所增加。而當R'（Q）＜C'（Q）時，說明再增加產量的話，所增加的收益小于所花費的成本，從而總利潤會有所減少。

下面來看邊際利潤的具體應用。

例：某毛紡廠生產毛線的總利潤函數(shù)L（Q）（單位：元）與每月產量Q（單位：t）的關系是L（Q）=5000QQ2，計算每月產量為2000t、2500t、3000t 時的邊際利潤，并解釋其經濟意義。

解：利用導數(shù)的定義計算可得邊際利潤函數(shù)為L'（Q）=5000-2Q

于是有

L'(2000)=5000-2×2000=1000

L'(2500)=5000-2×2500=0

L'(3000)=5000-2×3000=-1000

經濟意義：當產量為每月2000t 時，再增加1t，利潤增加1000 元，所以可以繼續(xù)增加產量來增加總利潤；當產量為每月2500t 時，再增加1t，利潤增加0 元。說明考慮到生產成本、毛線價格等多種因素，再繼續(xù)多生產物資，利潤也不會增加了；當產量為每月3000t時，再增加1t，利潤會減少1000 元。考慮到市場需求量、價格等因素，生產得太多，超過市場的購買能力，產品賣不出去，而儲存還需要一定的空間和費用，從而導致成本升高。所以當產量高于某個數(shù)值以后，生產得過多，總利潤反而下降。由此可見，對于廠家來說，并不是生產的產品越多，利潤就會越高。

生產廠家和商家如果掌握了邊際成本、邊際收益以及邊際利潤的定義和經濟意義以及它們在實際生產中的具體應用這些知識，就可以把它們充分應用到實際生活中去，以便最大可能地實現(xiàn)產品的成本最低、收益和利潤最大。

5 結語

高等數(shù)學作為一門大學理工類專業(yè)的基礎學科，在生產、生活中的應用非常廣泛和重要，與我們的經濟利益息息相關。比如，由零點定理可以知道市場經濟中均衡價格的存在性；由彈性函數(shù)可以知道價格的改變對需求量影響的百分比；由函數(shù)的最大（?。┲祮栴}，可以計算怎樣施工和安排能使費用最省、利潤最大、成本最低等；應用微分方程的理論，可以分析商品的市場價格和需求量（供給量）之間的函數(shù)關系。本研究的舉例只是對邊際函數(shù)的應用作簡單說明，高等數(shù)學的重要應用從中可以略見一斑。隨著科技的高速發(fā)展和時代的進步，高等數(shù)學知識的應用必將更深入地滲透到我們生活和工作中的方方面面。