郭佳暉, 蔣濱安, 田宗浩

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院高過(guò)載彈藥制導(dǎo)控制與信息感知實(shí)驗(yàn)室, 安徽 合肥 230031)

0 引 言

為了提高彈藥的毀傷效能,往往要求精確制導(dǎo)炮彈以特定的攻擊角度命中目標(biāo)。對(duì)此,前人在比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上相繼提出了多種帶有攻擊角約束的導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[1]基于彈道落角約束,提出了偏置比例導(dǎo)引法。文獻(xiàn)[2]在偏置比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上研究了落角約束對(duì)法向過(guò)載的影響,并通過(guò)盲區(qū)控制減小導(dǎo)彈在命中點(diǎn)處的法向過(guò)載。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了基于碰撞點(diǎn)預(yù)測(cè)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法,并在偏置項(xiàng)中加入了彈目的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)特定角度的攻擊。

滑?？刂朴捎诰哂兴惴ê?jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn),近些年被廣泛應(yīng)用于導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)之中。文獻(xiàn)[4-6]通過(guò)構(gòu)造非線性終端滑模面,使得制導(dǎo)系統(tǒng)能在有限時(shí)間收斂,提高了命中精度。文獻(xiàn)[7-9]針對(duì)終端滑模的奇異現(xiàn)象,設(shè)計(jì)了帶攻擊角度約束的非奇異終端滑模導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[10]對(duì)非奇異終端滑面進(jìn)行了改進(jìn),結(jié)合自適應(yīng)指數(shù)趨近律,提出了自適應(yīng)非奇異終端滑模導(dǎo)引律,并且引入飽和函數(shù)以削弱抖振。文獻(xiàn)[11-14]利用積分滑模面解決了有限時(shí)間導(dǎo)引律存在的奇異和非光滑問(wèn)題。文獻(xiàn)[15-16]將反演控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合,提出了自適應(yīng)反演滑模導(dǎo)引律。

然而,在解決攻擊角約束的過(guò)程中,由于彈道彎曲,可能會(huì)使目標(biāo)超出導(dǎo)引頭的視場(chǎng)范圍,進(jìn)而導(dǎo)致導(dǎo)引律失效,因此還應(yīng)研究視場(chǎng)角的影響。文獻(xiàn)[17]通過(guò)選擇合適的初始視線角或放寬攻擊角度約束,來(lái)保證視場(chǎng)角約束不被違背,由于初始條件受限以及約束條件降低,因此其在實(shí)際應(yīng)用中受到了較多限制。文獻(xiàn)[18]提出了范圍多項(xiàng)式制導(dǎo)律,并利用邊界條件確定制導(dǎo)參數(shù),可在視場(chǎng)角受限的情況下命中目標(biāo)。文獻(xiàn)[19-21]采用了切換邏輯的控制方法,在落角約束導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上增加了偏置開(kāi)關(guān)項(xiàng),并在視場(chǎng)角達(dá)到閾值時(shí)開(kāi)始介入,以保證目標(biāo)始終處于導(dǎo)引頭視場(chǎng)范圍之內(nèi),但是該方法存在導(dǎo)引指令跳變的問(wèn)題。文獻(xiàn)[22]為了避免偏置項(xiàng)的突然介入而產(chǎn)生指令跳變,在偏置項(xiàng)上乘以一個(gè)時(shí)變的約束系數(shù),以合理調(diào)節(jié)偏置項(xiàng)所占比重。

上述導(dǎo)引律的研究對(duì)象大多為有動(dòng)力的導(dǎo)彈,并假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度恒定,但是制導(dǎo)炮彈全程均為無(wú)動(dòng)力飛行,機(jī)動(dòng)能力較弱,僅通過(guò)改變攻角難以維持速度恒定,而且目標(biāo)的速度可能會(huì)發(fā)生變化。本文基于制導(dǎo)炮彈作戰(zhàn)使用流程和彈道特點(diǎn),構(gòu)建了制導(dǎo)炮彈攻擊地面速度變化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型,并根據(jù)目標(biāo)視線角的實(shí)際取值范圍,設(shè)計(jì)了帶有視場(chǎng)角約束的終端滑模面,以保證狀態(tài)變量在受限的情況下沿滑模面有限時(shí)間收斂,并利用正切型障礙李雅普諾夫函數(shù)來(lái)解決滑模面到達(dá)段的視場(chǎng)角約束問(wèn)題,由于在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)之初就考慮了約束條件,因此有效解決了導(dǎo)引指令跳變等問(wèn)題。設(shè)計(jì)了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer, ESO)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償,以減小滑?？刂浦星袚Q項(xiàng)的增益,削弱了滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象。通過(guò)仿真驗(yàn)證了該導(dǎo)引律能在視場(chǎng)角受限的情況下以不同的攻擊角度命中目標(biāo),并與現(xiàn)有的導(dǎo)引算法進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果表明,該導(dǎo)引律的制導(dǎo)時(shí)間更短,彈丸落速更大,命中精度更高。

1 問(wèn)題描述及基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 問(wèn)題描述

考慮炮彈在縱向平面內(nèi)的導(dǎo)引問(wèn)題,彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

(1)

式中,g為重力加速度;VT0為末制導(dǎo)開(kāi)始時(shí)目標(biāo)的速度;t0為末制導(dǎo)開(kāi)始時(shí)刻。

(2)

1.2 基礎(chǔ)知識(shí)

性質(zhì) 1V(x)在開(kāi)區(qū)間D內(nèi)正定連續(xù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);

性質(zhì) 2當(dāng)x趨近開(kāi)區(qū)間D的邊界時(shí),V(x)趨近無(wú)窮大;

性質(zhì) 3對(duì)任意t≥0且x(0)∈D,都存在正常數(shù)b,使得V(x)≤b成立。

引理 1對(duì)于任意的x∈[0,π/2),若正實(shí)數(shù)λ滿足0<λ<1,則不等式-sec2x<-2λtanλx恒成立。

證明

由此可得-sec2x<-2λtanλx。

證畢

引理 2[26]假設(shè)存在一個(gè)定義在包含原點(diǎn)的區(qū)間U∈Rn上的C1光滑正定函數(shù)V(t),且V(t)滿足不等式

(3)

(4)

2 導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

2.1 選取狀態(tài)變量

(5)

(6)

式中,w(t)為目標(biāo)機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的不確定項(xiàng),可以表示為

(7)

不失一般性,可以對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)做出如下合理的假設(shè)。

假設(shè) 1目標(biāo)的速度遠(yuǎn)小于炮彈的速度,即

(8)

假設(shè) 2目標(biāo)的機(jī)動(dòng)能力有限,因此由機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的不確定項(xiàng)w(t)有界,且上界為Δ1,即

|w(t)|≤Δ1

(9)

假設(shè) 3末制導(dǎo)開(kāi)始時(shí),目標(biāo)處于導(dǎo)引頭的視場(chǎng)范圍內(nèi),即炮彈的初始前置角滿足不等式:

(10)

|x2|≤kc

(11)

(12)

由于炮彈的速度遠(yuǎn)大于目標(biāo)的速度,故可以認(rèn)為kc>0。

2.2 構(gòu)造ESO

ESO常被用于估計(jì)系統(tǒng)的擾動(dòng),其只需要系統(tǒng)的輸入以及輸出信息即可準(zhǔn)確估計(jì)出擾動(dòng),具有較高的實(shí)用價(jià)值,本文通過(guò)構(gòu)建ESO來(lái)估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)所導(dǎo)致的不確定項(xiàng)w(t)。

(13)

(14)

2.3 滑模導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

構(gòu)造終端滑模面

(15)

將滑模變量s對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得

(16)

式中,

(17)

為了使滑模變量收斂于零,且在收斂的過(guò)程中滿足狀態(tài)約束式(11),可以構(gòu)造如下正切型障礙李雅普諾夫函數(shù):

(18)

式中,

(19)

(20)

式中,

(21)

(22)

式中,k1，k2>0。為了方便記敘,將本文設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律簡(jiǎn)記為FCIASMG。

3 導(dǎo)引律的穩(wěn)定性分析與證明

定理 1本文所構(gòu)造的滑模面式(15)將在導(dǎo)引指令式(22)的作用下有限時(shí)間收斂于零。

證明將導(dǎo)引律式(22)代入障礙李雅普諾夫函數(shù)式(18)中,并對(duì)其求導(dǎo)得

-sec2B(k1s2+k2|s|)≤-k1s2sec2B

(23)

根據(jù)引理1可知：

(24)

(25)

根據(jù)引理2可知,滑模面s將在有限時(shí)間收斂于零。

證畢

定理 2狀態(tài)變量x1和x2將在導(dǎo)引指令式(22)的作用下沿滑模面有限時(shí)間收斂于零。

證明考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

(26)

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后,

(27)

對(duì)式(26)求導(dǎo)，得

(28)

(29)

根據(jù)引理2可知,狀態(tài)變量x1和x2將在有限時(shí)間沿滑模面收斂于零。

證畢

證明為了保證視場(chǎng)角滿足約束條件,只需證明狀態(tài)約束式(11)在導(dǎo)引過(guò)程中不會(huì)被違背即可。

(1)狀態(tài)約束式(11)在滑模面到達(dá)階段不會(huì)被違背。

(2)狀態(tài)約束式(11)在滑模面上不會(huì)被違背。

對(duì)于制導(dǎo)炮彈來(lái)說(shuō),其機(jī)動(dòng)能力較弱,難以攻擊位于其上方和后方的目標(biāo),因此目標(biāo)視線角滿足q∈[-π/2,0],則x1滿足x1∈[-π/2,π/2]。

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后,s=0,此時(shí)

(30)

證畢

4 仿真分析

本節(jié)對(duì)設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律進(jìn)行仿真分析,假設(shè)末制導(dǎo)開(kāi)始時(shí),炮彈和目標(biāo)的初始坐標(biāo)分別為(0 m,2 500 m)和(2 500 m,0 m),炮彈和目標(biāo)的初速度分別為210 m/s和20 m/s,炮彈的初始彈道傾角為-30°,導(dǎo)引頭視場(chǎng)角約束為[-20°,20°],目標(biāo)按加速度AT=8 cos(0.8t)進(jìn)行機(jī)動(dòng),炮彈的攻角限制為[-6°,6°],導(dǎo)引律的參數(shù)設(shè)定為:k1=4,k2=0.2,p=5,m=3,a1=2,a2=1,仿真步長(zhǎng)10 ms,當(dāng)炮彈高度小于1 m時(shí),仿真結(jié)束。

炮彈的法向過(guò)載主要由其攻角產(chǎn)生,因此過(guò)載限制可以轉(zhuǎn)化為攻角限制。

4.1 以不同攻擊角打擊目標(biāo)

假設(shè)炮彈的期望攻擊角分別為-40°、-50°和-60°,針對(duì)本文設(shè)計(jì)的FCIASMG進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖2所示。

圖2 以不同攻擊角攻擊目標(biāo)的仿真結(jié)果

從圖2(a)可以看出,無(wú)論炮彈以何種期望攻擊角均可成功命中目標(biāo)。從圖2(b)可以看出,該導(dǎo)引律能夠在有限時(shí)間內(nèi)使炮彈的攻擊角收斂到期望值。從圖2(c)可以看出,在整個(gè)導(dǎo)引過(guò)程中,炮彈的視場(chǎng)角始終滿足約束條件。從圖2(d)可以看出,在末制導(dǎo)開(kāi)始時(shí),各個(gè)攻擊角度對(duì)應(yīng)的導(dǎo)引指令均出現(xiàn)了不同程度的飽和,隨后慢慢減小,在導(dǎo)引末端,導(dǎo)引指令均較小。

不同期望攻擊角度的仿真結(jié)果如表1所示,可以看出,炮彈的落速和導(dǎo)引時(shí)間均隨攻擊角度的增加而增加,在該導(dǎo)引律作用下,炮彈的攻擊角誤差可以控制在0.3°以內(nèi),脫靶量可以控制在1.5 m以內(nèi)。

表1 不同攻擊角度導(dǎo)引結(jié)果

4.2 算法對(duì)比

為了進(jìn)一步分析本文算法的制導(dǎo)性能,將其與文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[15]的算法進(jìn)行對(duì)比分析。

文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一種基于切換邏輯的考慮攻擊角和視場(chǎng)角約束的導(dǎo)引律，簡(jiǎn)記為FSMCG,其具體形式如下:

k1s+k2|s|βsign(s)]

文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種非奇異快速終端滑模導(dǎo)引律，簡(jiǎn)記為ANFTSMG,其具體形式如下：

假設(shè)炮彈期望的攻擊角為-60°,分別對(duì)導(dǎo)引律FCIASMG，F(xiàn)SMCG，ANFTSMG的制導(dǎo)性能進(jìn)行仿真分析,結(jié)果如圖3所示。從圖3(a)和圖3(b)中可以看出,3種導(dǎo)引律均能以期望的攻擊角度命中目標(biāo)。從圖3(c)中可以看出,ANFTSMG由于沒(méi)有考慮視場(chǎng)角約束,因此在機(jī)動(dòng)的過(guò)程中違背了視場(chǎng)角約束,而FCIASMG和FSMCG均能滿足視場(chǎng)角約束。從圖3(d)中可以看出,3種導(dǎo)引律均出現(xiàn)了指令飽和的現(xiàn)象,但是FCIASMG的飽和時(shí)間最短,FSMCG次之,ANFTSMG飽和時(shí)間最長(zhǎng),FSMCG由于采用了切換邏輯,在A點(diǎn)處出現(xiàn)了明顯的指令跳變現(xiàn)象,且該方法在導(dǎo)引末端的攻角較大,不利于制導(dǎo)控制。3種導(dǎo)引律的仿真結(jié)果如表2所示,可以看出,3種導(dǎo)引律的脫靶量和攻擊角度誤差均令人滿意,但是本文所設(shè)計(jì)導(dǎo)引律的制導(dǎo)時(shí)間最短,彈丸落速最大,攻擊角誤差和脫靶量最小,相比其他兩種導(dǎo)引律具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

表2 不同導(dǎo)引律的導(dǎo)引結(jié)果

圖3 不同導(dǎo)引律仿真效果對(duì)比

5 結(jié) 論

本文以制導(dǎo)炮彈為平臺(tái),針對(duì)速度可變的地面目標(biāo)設(shè)計(jì)了一種帶有攻擊角和視場(chǎng)角約束的終端滑模導(dǎo)引律,并在導(dǎo)引律設(shè)計(jì)階段就考慮了約束條件,避免了指令切換,并通過(guò)仿真分析和對(duì)比,對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證,相關(guān)結(jié)論如下:

(1)通過(guò)構(gòu)造帶有約束條件的終端滑模面以及正切型障礙李雅普諾夫函數(shù),使得炮彈可以在視場(chǎng)角約束不被違背的情況下以特定的攻擊角度命中目標(biāo);

(2)采用了ESO來(lái)估計(jì)和補(bǔ)償目標(biāo)速度變化引起的擾動(dòng),減小了切換項(xiàng)的增益,有效削弱了滑模控制存在的抖振現(xiàn)象;

(3)通過(guò)算法對(duì)比與分析可以發(fā)現(xiàn),本文設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律具有制導(dǎo)時(shí)間短,導(dǎo)引指令飽和時(shí)間短,制導(dǎo)精度高,彈丸落速大,無(wú)指令跳變等優(yōu)點(diǎn)。