蘇 敬, 何華鋒, 何耀民, 王依繁, 韓曉斐

(火箭軍工程大學導彈工程學院, 陜西 西安 710025)

0 引 言

捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system,SINS)能夠不依賴外部信息自主導航,但其導航誤差會隨時間而積累[1]。合成孔徑雷達(synthetic aperture radar,SAR)是一種全天時的主動觀測系統(tǒng),廣泛應用于軍事領域[2]。復合末制導過程中彈載SAR能夠提供彈體精確的位置和航向信息,實現(xiàn)對SINS導航誤差的修正,提高導航精度。

組合導航系統(tǒng)的濾波方法多為常規(guī)卡爾曼濾波(Kalman filter,KF)或其改進方法[3-6],通常僅對線性系統(tǒng)具有較好的適應性,而真實條件下跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)模型和量測模型必然是非線性的。因此,有學者提出利用無跡KF[7](unscented KF, UKF)作為慣導/天文組合導航系統(tǒng)的濾波方法,仿真結果證明在相同觀測方案下,非線性濾波方法定位性能更高。SINS/SAR組合導航系統(tǒng)在導航定位時,SINS的輸出周期通常為10～50 ms,SAR成像與基準圖匹配運算通常有1～5 s的隨機延時,產生系統(tǒng)量測非等間隔輸出和量測信息滯后兩個問題,導致無法及時修正慣性導航誤差,影響濾波精度。

針對非等間隔量測的問題,文獻[8]在慣性導航系統(tǒng)(inertial navigation system, INS)/SAR組合導航系統(tǒng)中利用INS的信息增量修正SAR非等間隔量測造成的誤差,但實際上SAR量測輸出的時間間隔是隨機的,且與INS采樣率相差較大,因此該方法可行性不高。文獻[9]在KF算法基礎上,根據有無量測信息輸出,分別采取多模型方法或插值方法獲得量測預測,進而修正系統(tǒng)狀態(tài)。文獻[10]提出采用多尺度分塊融合算法,分別將狀態(tài)信息和觀測信息在不同尺度上進行KF,進而解決不同傳感器非等間隔量測的問題。但是文獻[9-10]均是實現(xiàn)于KF算法基礎之上,不適用于非線性系統(tǒng)。針對量測滯后問題,文獻[11]結合SINS/SAR組合導航系統(tǒng)特點,利用SAR等效量測量和追溯狀態(tài)向量來估計當前狀態(tài),進而修正INS誤差,但由于簡化了量測矩陣為單位陣,其追溯狀態(tài)向量有一定誤差,因此對導航精度的提升有限。文獻[12]在解決INS/SAR非等間隔量測問題基礎上,提出利用INS信息增量遞推當前時刻SAR量測,實現(xiàn)組合濾波,雖然INS短期精度較高,但是彈載SAR的圖像匹配和定位時間間隔較長,將會影響INS量測精度,降低算法的穩(wěn)定性。另外，量測滯后問題本質是無序測量[13-14]問題,常用的濾波方法包括重新濾波法[15]、數據緩存法[16]、曲線擬合法[17]等,前兩種方法濾波精度最高,但是計算量較大,曲線擬合法可根據導彈飛行動態(tài)和精度要求,選取不同的曲線擬合導航系統(tǒng)量測值,方法靈活且濾波精度較高。

本文采用非等間隔UKF算法和拋物線擬合補償法得到了一種適用于彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)的濾波算法。根據SAR有無量測輸出選擇是否進行量測更新,進而解決了量測不同步的問題。然后，利用拋物線擬合補償法擬合SAR輸出信息,獲得SAR量測信息滯后的補償算法。仿真結果證明本文提出的算法能夠有效提升組合導航系統(tǒng)濾波精度。

1 彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)數學模型

由于SAR只能提供導彈水平的位置信息和航向信息,不能提供導彈的高度信息,因此需加入氣壓高度計的輸出作為系統(tǒng)觀測量,以抑制組合系統(tǒng)高度通道的發(fā)散。

1.1 組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程

將東北天地理坐標系選為導航坐標系,結合SINS誤差源分析[18],建立SINS/SAR組合導航系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(1)

式中,系統(tǒng)狀態(tài)變量為

X=[δθ，δV，δP，ε，Δ]T

(2)

式中,δ為各變量誤差；δθ=[θx，θy，θz]T為姿態(tài)角誤差;δV=[δvx，δvy，δvz]T為速度誤差;δP=[δL，δλ，δh]T為位置誤差;ε=[εx，εy，εz]T為陀螺常值漂移誤差;Δ=[Δx，Δy，Δz]T為加速度計零偏；F(t)，G(t)和W(t)分別為狀態(tài)轉移矩陣、噪聲系數矩陣和系統(tǒng)噪聲[8]。

1.2 組合系統(tǒng)的量測方程

在組合系統(tǒng)中,水平方向量測由SINS和SAR輸出的航向角度之差、經度之差和緯度之差構成;高度方向量測由SINS和氣壓高度計輸出的高度之差構成。量測方程為

Z(t)=H(t)X(t)+V

(3)

式中,H(t)和V分別是量測矩陣和量測噪聲。Z(t)具體形式為

(4)

式中，θI，LI，λI，hI分別為SINS測得的航向角和位置誤差信息；θS，LS，λS為SAR測得的航向角和水平位置信息；he為氣壓高度計的輸出值；δθu，δL，δλ為SINS與SAR的量測差值；δh為SINS與高度計的量測差值；v1，v2，v3分別為SAR圖像匹配輸出時的航向角誤差、東向位置誤差以及北向位置誤差；v4為氣壓高度計輸出時的高度誤差；RM和RN為參考橢球子午圈和卯酉圈上各點的曲率半徑[8]。綜合式(3)和式(4)，量測矩陣可表示為

H(t)=

(5)

2 考慮非等間隔量測的非線性濾波算法

2.1 UKF算法原理

UKF核心思想是利用若干近似高斯分布的樣本點[19],通過無損變換(unscented transformation,UT)獲得測量條件下誤差和協(xié)方差的遞推及更新,實現(xiàn)對目標的跟蹤。

2.1.1 UT變換

(6)

(7)

2.1.2 UKF算法步驟

結合第1.1節(jié)和第1.2節(jié),將SINS/SAR狀態(tài)方程和量測方程離散化得

(8)

式中,k為離散化后的采樣時刻；uk為輸入向量;ωk和vk為高斯白噪聲;方差陣分別為Qk，Rk。設xk，ωk，vk維數分別為n，p，q,考慮噪聲項，對狀態(tài)進行擴維得xa=[xT，vT，ωT]T,狀態(tài)的初始條件即為

(9)

步驟 1Sigma點采樣

采用對稱采樣策略[22],得到采樣點公式如下:

(10)

式中,L=n+p+q。

步驟 2時間更新

(11)

步驟 3量測更新

(12)

由上述步驟可得到對稱采樣下的UKF算法。

2.2 非等間隔UKF設計

2.2.1 SAR非等間隔量測輸出特點

設SINS和SAR的導航周期分別為TSINS和TSARi(i=1,2,…),狀態(tài)方程離散化周期為T,令T=N×TSINS,TSARi=Mi×T,為方便計算,設Mi和N均為正整數?？傻肧INS導航周期、系統(tǒng)離散化周期與SAR量測輸出時間間隔關系如圖1所示。

圖1 非等間隔量測的時間關系

圖1中,tk,tk+1,tk+2為SAR輸出時刻,且各個時刻的輸出間隔不等。

2.2.2 基于SINS/SAR組合導航的非等間隔UKF算法

由第2.1.2節(jié)可知,常規(guī)UKF算法分為時間更新和量測更新,同時結合SAR量測非等間隔輸出特點,利用狀態(tài)轉移矩陣的特性設計非等間隔UKF算法。將SINS/SAR組合導航濾波分為兩步[23],即在SAR沒有量測輸出的時刻tk(j)(j=0,1,…,M-1)僅進行UKF時間更新;在SAR有量測輸出的時刻tk(M)同時進行UKF時間更新和量測更新。

在tk(j)(j=0,1,…,M-1)時刻的時間更新:

(13)

在tk(M)時刻時間更新和量測更新:

(14)

(15)

3 解決SAR量測滯后的曲線擬合補償法

由于SAR圖像匹配輸出具有滯后性。設在tk時刻提出匹配申請,無法獲得該時刻的實時量測,只能得到tk-1時刻的量測信息,如圖2所示。若用滯后的量測量修正SINS狀態(tài)量,必然會降低組合導航精度,因此需對滯后的量測量進行補償。

圖2 SAR圖像匹配量測滯后時序圖

本文采用拋物線曲線擬合法,在[tk-3,tk]時間內,對量測值Zk進行擬合:

Z(t)=a(t-tk-3)2+b(t-tk-3)+c

(16)

則有

Zk-3=c

(17)

Zk-2=a(tk-2-tk-3)2+b(tk-2-tk-3)+c

(18)

Zk-1=a(tk-1-tk-3)2+b(tk-1-tk-3)+c

(19)

聯(lián)立式(16)～式(18)求得

(20)

將式(20)代入式(16)即可得k時刻SAR量測輸出：

(21)

針對彈道導彈再入段工作特點還可選擇3次拋物線擬合[24],擬合精度會進一步提高,但同時也會增大計算量。

4 彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)仿真及分析

4.1 初始條件設置

導彈進入再入段后SAR導引頭開機,依次完成測高、成像、匹配、定位,實現(xiàn)SINS/SAR組合導航。設SINS輸出周期為0.01 s,狀態(tài)方程離散化周期為0.1 s,SAR圖像處理時間為1～5 s的隨機整數。

設平臺初始姿態(tài)角誤差分別為200 ″、200 ″和300″,東北天初始速度誤差均為1 m/s,東向和北向初始位置誤差為30 m,高度初始誤差為50 m。SAR水平位置、方位角定位精度誤差分別為30 m和0.5 °,高度表誤差為20 m。慣性器件誤差如表1所示。

表1 慣性器件誤差

4.2 仿真結果及分析

對彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)進行了70 s末制導仿真，分別采用常規(guī)UKF算法(算法1)、考慮SAR非等間隔量測的UKF算法(算法2)和考慮SAR非等間隔量測及量測滯后的UKF算法(算法3)予以仿真分析，并對比了東向位置誤差、航向角誤差和北向速度誤差，結果如圖3～圖5所示。

圖3 彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)東向位置誤差

圖4 彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)航向角誤差

圖5 彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)北向速度誤差

仿真結果表明,在彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)中,與傳統(tǒng)的濾波算法相比,考慮SAR非等間隔量測特性的濾波算法能夠提升其濾波精度。而在此基礎上采用曲線擬合法對SAR量測滯后進行補償的濾波算法則能夠將東向位置誤差絕對值由13.56 m降到5.12 m,將航向角誤差絕對值由38.56″降到6.63″,將北向速度誤差絕對值由0.59 m/s降到0.08 m/s,顯著地提升了組合導航系統(tǒng)的濾波精度。不同濾波算法得到的組合導航系統(tǒng)的濾波精度如表2所示。

表2 彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)濾波精度

為進一步驗證濾波算法的精度,重復10次SINS/SAR組合導航系統(tǒng)末制導仿真,以東向位置誤差仿真結果為例,對比分析3種方法的統(tǒng)計結果。根據統(tǒng)計方法得其估計值為

(22)

表3為采用算法①時,東向位置誤差仿真結果的絕對值。

表3 東向位置誤差仿真結果

當υ=0.1時,由式(22)計算得到估計值為μ=13.26±1.49。由此可以得出,采用算法1時SINS/SAR組合導航系統(tǒng)的東向位置誤差以90%的置信度位于區(qū)間[11.77,14.75]。同理,采用算法2及算法3時東向位置誤差以90%的置信度分別位于[7.36,10.22]及[4.37,5.89]。

由統(tǒng)計分析結果可看出,相同置信度下,本文提出的算法求解組合導航系統(tǒng)東向位置誤差的精度要明顯高于傳統(tǒng)濾波算法,進一步驗證了本文所提算法的有效性和可靠性。

5 結 論

為解決彈載SINS/SAR組合導航系統(tǒng)中非等間隔量測及SAR量測信息滯后的問題,本文在分析了常規(guī)UKF算法的基礎上,提出了一種利用曲線擬合補償法解決量測滯后的非等間隔UKF算法。仿真結果表明，本文提出的算法能夠解決SINS/SAR非等間隔量測的問題,并能夠有效補償量測滯后,驗證了該算法相比于常規(guī)UKF算法具有更高的濾波精度。同時，本文提出的算法也可用于其他組合導航系統(tǒng),因此該濾波算法具有一定的工程應用前景。