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        中立型隨機(jī)泛函微分方程截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的均方指數(shù)穩(wěn)定分析

        2021-04-01 03:04:48王子豐尤蘇蓉
        關(guān)鍵詞:定義

        王子豐, 尤蘇蓉

        (東華大學(xué) 理學(xué)院, 上海 201620)

        隨機(jī)泛函微分方程應(yīng)用于金融、醫(yī)療、自動(dòng)化、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等眾多領(lǐng)域[1-2],其特征是系統(tǒng)的狀態(tài)變化依賴于該方程過(guò)去一段時(shí)間的表現(xiàn)及其導(dǎo)數(shù),在方程系數(shù)滿足局部Lipschitz條件、線性增長(zhǎng)條件以及中立項(xiàng)的壓縮映射條件下,中立型隨機(jī)泛函方程存在唯一解[1]。Khasminskii條件是對(duì)經(jīng)典線性增長(zhǎng)條件的補(bǔ)充,可以包含更多的非線性系數(shù)。

        Khasminskii條件下隨機(jī)泛函微分方程解的存在唯一性、穩(wěn)定性得到了較為廣泛的研究[3-4],這也大大擴(kuò)展了隨機(jī)泛函微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域。

        在方程滿足線性增長(zhǎng)條件下,一些經(jīng)典算法如Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、Milstein法、Theta法等被廣泛應(yīng)用于泛函方程,這些形式的數(shù)值解的收斂性、穩(wěn)定性等性質(zhì)往往較好[5-11]。但是當(dāng)系數(shù)具有非線性特征時(shí),這些性質(zhì)將會(huì)被削弱,甚至數(shù)值解的收斂性也得不到保證,而截?cái)嗨枷雱t可以用于構(gòu)建具有非線性特征的方程數(shù)值解。文獻(xiàn)[12-14]首次引入截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值方法用以研究隨機(jī)微分方程。文獻(xiàn)[15-16]分別將截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值方法進(jìn)一步引入時(shí)滯方程和泛函方程,使得此數(shù)值方法在Khasminskii條件下不僅能夠保證解的存在唯一,還能保證其數(shù)值解收斂于精確解,但是沒(méi)有數(shù)值解穩(wěn)定性分析的相關(guān)結(jié)論。本文針對(duì)此問(wèn)題展開研究,在使用與解析解相同假設(shè)的情況下,證明數(shù)值解具有均方指數(shù)穩(wěn)定的特征。

        1 問(wèn)題背景

        考慮以下非線性中立型隨機(jī)泛函微分方程

        d[x(t)-D(xt)]=f(xt,t)dt+g(xt,t)dB(t),

        t>0

        (1)

        初值為

        x0={ξ(θ)∶-τ≤θ≤0}∈C([-τ, 0];Rd)

        其中f∶C([-τ, 0];Rd)×[0,T]→Rd,g∶C([-τ, 0];Rd)×[0,T]→Rd×m為其系數(shù),D∶C([-τ, 0];Rd)→Rd為中立項(xiàng),且滿足E‖ξ‖2<∞。

        若方程(1)的系數(shù)f和g滿足以下3個(gè)條件:

        假設(shè)1對(duì)任意實(shí)數(shù)T≥0以及n≥0存在一個(gè)正常數(shù)KT, n,使得對(duì)任意t∈[0,T]以及所有滿足‖φ‖,‖φ‖

        |f(φ,t)-f(φ,t)|∨|g(φ,t)-g(φ,t)|≤
        KT, n‖φ-φ‖

        (2)

        假設(shè)2存在一個(gè)常數(shù)α∈(0, 1),使得對(duì)于任意φ,φ∈C([-τ, 0];Rd),式(3)成立。

        |D(φ)-D(φ)|≤α‖φ-φ‖且D(0)=0

        (3)

        關(guān)于方程式(1)解的存在唯一性以及漸進(jìn)性質(zhì),有定理1所示結(jié)論。

        定理1[10, 17]若假設(shè)1~3成立,方程(1)存在唯一解且解具有均方指數(shù)穩(wěn)定性質(zhì),即存在γ>0使得對(duì)于t>0,有

        E|x(t)|2

        (4)

        由于在假設(shè)1~3的條件下方程(1)具有高度的非線性,而文獻(xiàn)[11]提出的截?cái)嗨枷雽?duì)于構(gòu)造非線性方程的數(shù)值解有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),故本文將對(duì)方程(1)的截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的漸進(jìn)性質(zhì)進(jìn)行研究。

        2 截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解及其均方指數(shù)穩(wěn)定

        (5)

        令μ-1表示μ的反函數(shù),顯然μ-1是一個(gè)從(μ(1),∞)到R+的嚴(yán)格增函數(shù)。存在一個(gè)常數(shù)Δ*∈(0, 1]以及一個(gè)嚴(yán)格減函數(shù)h∶(0,Δ*]→(0, ∞)使得

        (6)

        且對(duì)任意Δ∈(0,Δ*],Δ1/4h(Δ)≤1。

        fΔ(φ,t)=f(πΔ(φ),t)
        gΔ(φ,t)=g(πΔ(φ),t)

        顯然fΔ與gΔ滿足

        |fΔ(φ,t)|∨|gΔ(φ,t)|≤
        μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

        (7)

        假設(shè)Δ=τ/N,其中N為自然數(shù),令tk=kΔ,k=-N, -(N-1), …, 0, 1, 2, …, 定義方程式(1)的截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解XΔ(t)如下:

        1) 當(dāng)k=-N,-(N-1), …, -1,0時(shí),定義XΔ(tk)=ξ(tk)。

        2) 當(dāng)k>0時(shí),定義

        XΔ(tk+1)=D(XΔ, tk)+XΔ(tk)-D(XΔ, tk-1)+
        fΔ(XΔ, tk,tk)Δ+gΔ(XΔ, tk,tk)ΔBk

        其中XΔ, tk(θ)是一個(gè)定義在(-τ, 0]上的函數(shù),當(dāng)iΔ<θ≤(i+1)Δ,i=-N,-(N-1), …, -1時(shí),

        (8)

        由文獻(xiàn)[11]可以得出,非線性隨機(jī)微分方程的截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解將收斂到解析解。接下來(lái)證明截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解可以保持中立型隨機(jī)泛函方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性。為了研究數(shù)值解的穩(wěn)定性,假設(shè)f(0,t)=g(0,t)=0。

        研究截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解是否仍然能保持均方指數(shù)穩(wěn)定的性質(zhì)。首先證明一個(gè)引理,它顯示截?cái)嘀蠓匠滔禂?shù)仍然滿足假設(shè)3中的條件。由于存在中立項(xiàng),需要對(duì)方程式(1)的系數(shù)增加一個(gè)比假設(shè)3更強(qiáng)的條件。

        (9)

        可以看出,當(dāng)β=1時(shí),假設(shè)4就是原假設(shè)3,因此在假設(shè)1、 2、 4的條件下,方程式(1)存在唯一解,并且該解也有定理1中的結(jié)論。

        引理1若假設(shè)4成立,則

        (10)

        證明:當(dāng)‖φ‖≤μ-1(h(Δ))時(shí),fΔ(φ,t)=f(φ,t),gΔ(φ,t)=g(φ,t),因此式(10)顯然成立。而當(dāng)‖φ‖>μ-1(h(Δ))時(shí)

        2(φ(0)-D(φ))TfΔ(φ,t)+|gΔ(φ,t)|2=

        即證得式(10)成立。

        (11)

        式中:C=C*∧α-2/τ>1。

        證明:由Ito公式可得

        |XΔ(tk)-D(XΔ, tk-1)|2+2(XΔ(tk)-
        D(XΔ, tk-1))TfΔ(XΔ, tk)Δ+

        |fΔ(XΔ, tk)|2Δ2+Mk

        其中

        E|YΔ(tk+1)|2≤

        E|YΔ(tk)|2+(-λ1E|XΔ(tk)|2+

        由C>1可得

        C(k+1)ΔE|YΔ(tk+1)|2-CkΔE|YΔ(tk)|2≤

        -C(k+1)Δ(λ1-ε)ΔE|XΔ(tk)|2+

        這表示

        CkΔE|YΔ(tk)|2≤

        由壓縮映射式(9)可知

        因此

        CkΔE|YΔ(tk)|2≤

        由截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的定義可得

        于是

        CkΔE|YΔ(tk)|2≤((λ2+ε)Δ+

        其中ρ(C)=(λ1-ε)Δ-(λ2+ε)Δ-(1-C-Δ)(1+α2)。

        CkΔE|YΔ(tk)|2≤(C*)kΔE|YΔ(tk)|2≤D,

        另一方面,對(duì)于任意δ>0,成立不等式

        CkΔE|XΔ(tk)|2≤CkΔ(1+δ)E|YΔ(tk)|2+

        E‖ξ‖2<∞。

        3 數(shù)值模擬

        考慮如下中立型隨機(jī)泛函微分方程

        其初值為x0=ξ={cosθ+25:-1≤θ≤0}。

        顯然方程的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和壓縮映射,Khasminskii條件則可以由下式導(dǎo)出

        圖1 中立型隨機(jī)泛函微分方程截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的圖像Fig.1 The path of numerical truncated Euler-Maruyama solution of neutral stochastic functional differential equations

        注:kΔ為t的離散化。圖2 中立型隨機(jī)泛函微分方程截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性Fig.2 The exponential stability of the numerical truncated Euler-Maruyama solution of neutral stochastic functional differential equations

        4 結(jié) 語(yǔ)

        本文主要研究了中立型隨機(jī)泛函微分方程的數(shù)值解。分析說(shuō)明了解析解的均方指數(shù)穩(wěn)定條件,利用線性插值等技巧建立了連續(xù)時(shí)間的Euler-Maruyama數(shù)值解,并引入截?cái)嗨枷氲玫搅私財(cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解。通過(guò)對(duì)中立項(xiàng)和泛函項(xiàng)添加較強(qiáng)的凸性條件,進(jìn)而在數(shù)值解的構(gòu)造中對(duì)中立項(xiàng)連續(xù)化,最終得出截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解仍將保持均方指數(shù)穩(wěn)定的結(jié)論。

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