王子豐， 尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

隨機(jī)泛函微分方程應(yīng)用于金融、醫(yī)療、自動(dòng)化、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等眾多領(lǐng)域[1-2]，其特征是系統(tǒng)的狀態(tài)變化依賴于該方程過(guò)去一段時(shí)間的表現(xiàn)及其導(dǎo)數(shù)，在方程系數(shù)滿足局部Lipschitz條件、線性增長(zhǎng)條件以及中立項(xiàng)的壓縮映射條件下，中立型隨機(jī)泛函方程存在唯一解[1]。Khasminskii條件是對(duì)經(jīng)典線性增長(zhǎng)條件的補(bǔ)充，可以包含更多的非線性系數(shù)。

Khasminskii條件下隨機(jī)泛函微分方程解的存在唯一性、穩(wěn)定性得到了較為廣泛的研究[3-4]，這也大大擴(kuò)展了隨機(jī)泛函微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域。

在方程滿足線性增長(zhǎng)條件下，一些經(jīng)典算法如Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、Milstein法、Theta法等被廣泛應(yīng)用于泛函方程，這些形式的數(shù)值解的收斂性、穩(wěn)定性等性質(zhì)往往較好[5-11]。但是當(dāng)系數(shù)具有非線性特征時(shí)，這些性質(zhì)將會(huì)被削弱，甚至數(shù)值解的收斂性也得不到保證，而截?cái)嗨枷雱t可以用于構(gòu)建具有非線性特征的方程數(shù)值解。文獻(xiàn)[12-14]首次引入截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值方法用以研究隨機(jī)微分方程。文獻(xiàn)[15-16]分別將截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值方法進(jìn)一步引入時(shí)滯方程和泛函方程，使得此數(shù)值方法在Khasminskii條件下不僅能夠保證解的存在唯一，還能保證其數(shù)值解收斂于精確解，但是沒(méi)有數(shù)值解穩(wěn)定性分析的相關(guān)結(jié)論。本文針對(duì)此問(wèn)題展開研究，在使用與解析解相同假設(shè)的情況下，證明數(shù)值解具有均方指數(shù)穩(wěn)定的特征。

1 問(wèn)題背景

考慮以下非線性中立型隨機(jī)泛函微分方程

d[x(t)-D(xt)]=f(xt，t)dt+g(xt，t)dB(t)，

t>0

(1)

初值為

x0={ξ(θ)∶-τ≤θ≤0}∈C([-τ， 0]；Rd)

其中f∶C([-τ， 0]；Rd)×[0，T]→Rd，g∶C([-τ， 0]；Rd)×[0，T]→Rd×m為其系數(shù)，D∶C([-τ， 0]；Rd)→Rd為中立項(xiàng)，且滿足E‖ξ‖2<∞。

若方程(1)的系數(shù)f和g滿足以下3個(gè)條件：

假設(shè)1對(duì)任意實(shí)數(shù)T≥0以及n≥0存在一個(gè)正常數(shù)KT， n，使得對(duì)任意t∈[0，T]以及所有滿足‖φ‖，‖φ‖

|f(φ，t)-f(φ，t)|∨|g(φ，t)-g(φ，t)|≤
KT， n‖φ-φ‖

(2)

假設(shè)2存在一個(gè)常數(shù)α∈(0， 1)，使得對(duì)于任意φ，φ∈C([-τ， 0]；Rd)，式(3)成立。

|D(φ)-D(φ)|≤α‖φ-φ‖且D(0)=0

(3)

關(guān)于方程式(1)解的存在唯一性以及漸進(jìn)性質(zhì)，有定理1所示結(jié)論。

定理1[10， 17]若假設(shè)1～3成立，方程(1)存在唯一解且解具有均方指數(shù)穩(wěn)定性質(zhì)，即存在γ>0使得對(duì)于t>0，有

E|x(t)|2

(4)

由于在假設(shè)1～3的條件下方程(1)具有高度的非線性，而文獻(xiàn)[11]提出的截?cái)嗨枷雽?duì)于構(gòu)造非線性方程的數(shù)值解有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，故本文將對(duì)方程(1)的截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的漸進(jìn)性質(zhì)進(jìn)行研究。

2 截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解及其均方指數(shù)穩(wěn)定

(5)

令μ-1表示μ的反函數(shù)，顯然μ-1是一個(gè)從(μ(1)，∞)到R+的嚴(yán)格增函數(shù)。存在一個(gè)常數(shù)Δ*∈(0， 1]以及一個(gè)嚴(yán)格減函數(shù)h∶(0，Δ*]→(0， ∞)使得

(6)

且對(duì)任意Δ∈(0，Δ*]，Δ1/4h(Δ)≤1。

fΔ(φ，t)=f(πΔ(φ)，t)
gΔ(φ，t)=g(πΔ(φ)，t)

顯然fΔ與gΔ滿足

|fΔ(φ，t)|∨|gΔ(φ，t)|≤
μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(7)

假設(shè)Δ=τ/N，其中N為自然數(shù)，令tk=kΔ，k=-N， -(N-1)， …， 0， 1， 2， …， 定義方程式(1)的截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解XΔ(t)如下：

1) 當(dāng)k=-N，-(N-1)， …， -1，0時(shí)，定義XΔ(tk)=ξ(tk)。

2) 當(dāng)k>0時(shí)，定義

XΔ(tk+1)=D(XΔ， tk)+XΔ(tk)-D(XΔ， tk-1)+
fΔ(XΔ， tk，tk)Δ+gΔ(XΔ， tk，tk)ΔBk

其中XΔ， tk(θ)是一個(gè)定義在(-τ， 0]上的函數(shù)，當(dāng)iΔ<θ≤(i+1)Δ，i=-N，-(N-1)， …， -1時(shí)，

(8)

由文獻(xiàn)[11]可以得出，非線性隨機(jī)微分方程的截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解將收斂到解析解。接下來(lái)證明截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解可以保持中立型隨機(jī)泛函方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性。為了研究數(shù)值解的穩(wěn)定性，假設(shè)f(0，t)=g(0，t)=0。

研究截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解是否仍然能保持均方指數(shù)穩(wěn)定的性質(zhì)。首先證明一個(gè)引理，它顯示截?cái)嘀蠓匠滔禂?shù)仍然滿足假設(shè)3中的條件。由于存在中立項(xiàng)，需要對(duì)方程式(1)的系數(shù)增加一個(gè)比假設(shè)3更強(qiáng)的條件。

(9)

可以看出，當(dāng)β=1時(shí)，假設(shè)4就是原假設(shè)3，因此在假設(shè)1、 2、 4的條件下，方程式(1)存在唯一解，并且該解也有定理1中的結(jié)論。

引理1若假設(shè)4成立，則

(10)

證明：當(dāng)‖φ‖≤μ-1(h(Δ))時(shí)，fΔ(φ，t)=f(φ，t)，gΔ(φ，t)=g(φ，t)，因此式(10)顯然成立。而當(dāng)‖φ‖>μ-1(h(Δ))時(shí)

2(φ(0)-D(φ))TfΔ(φ，t)+|gΔ(φ，t)|2=

即證得式(10)成立。

(11)

式中：C=C*∧α-2/τ>1。

證明：由Ito公式可得

|XΔ(tk)-D(XΔ， tk-1)|2+2(XΔ(tk)-
D(XΔ， tk-1))TfΔ(XΔ， tk)Δ+

|fΔ(XΔ， tk)|2Δ2+Mk

其中

E|YΔ(tk+1)|2≤

E|YΔ(tk)|2+(-λ1E|XΔ(tk)|2+

由C>1可得

C(k+1)ΔE|YΔ(tk+1)|2-CkΔE|YΔ(tk)|2≤

-C(k+1)Δ(λ1-ε)ΔE|XΔ(tk)|2+

這表示

CkΔE|YΔ(tk)|2≤

由壓縮映射式(9)可知

因此

CkΔE|YΔ(tk)|2≤

由截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的定義可得

于是

CkΔE|YΔ(tk)|2≤((λ2+ε)Δ+

其中ρ(C)=(λ1-ε)Δ-(λ2+ε)Δ-(1-C-Δ)(1+α2)。

CkΔE|YΔ(tk)|2≤(C*)kΔE|YΔ(tk)|2≤D，

另一方面，對(duì)于任意δ>0，成立不等式

CkΔE|XΔ(tk)|2≤CkΔ(1+δ)E|YΔ(tk)|2+

E‖ξ‖2<∞。

3 數(shù)值模擬

考慮如下中立型隨機(jī)泛函微分方程

其初值為x0=ξ={cosθ+25：-1≤θ≤0}。

顯然方程的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和壓縮映射，Khasminskii條件則可以由下式導(dǎo)出

圖1 中立型隨機(jī)泛函微分方程截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的圖像Fig.1 The path of numerical truncated Euler-Maruyama solution of neutral stochastic functional differential equations

注：kΔ為t的離散化。圖2 中立型隨機(jī)泛函微分方程截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性Fig.2 The exponential stability of the numerical truncated Euler-Maruyama solution of neutral stochastic functional differential equations

4 結(jié) 語(yǔ)

本文主要研究了中立型隨機(jī)泛函微分方程的數(shù)值解。分析說(shuō)明了解析解的均方指數(shù)穩(wěn)定條件，利用線性插值等技巧建立了連續(xù)時(shí)間的Euler-Maruyama數(shù)值解，并引入截?cái)嗨枷氲玫搅私財(cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解。通過(guò)對(duì)中立項(xiàng)和泛函項(xiàng)添加較強(qiáng)的凸性條件，進(jìn)而在數(shù)值解的構(gòu)造中對(duì)中立項(xiàng)連續(xù)化，最終得出截?cái)郋uler-Maruyama數(shù)值解仍將保持均方指數(shù)穩(wěn)定的結(jié)論。