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        基于主從博弈的面向報(bào)童決策者的信息設(shè)計(jì)

        2021-04-01 03:04:40沈琦琦王長(zhǎng)軍
        關(guān)鍵詞:成本策略信息

        沈琦琦, 王長(zhǎng)軍

        (東華大學(xué) 旭日工商管理學(xué)院, 上海 200051)

        經(jīng)典報(bào)童模型具有普遍適用性,被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)[1]、供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)[2]、拍賣競(jìng)價(jià)[3]和金融管理[4]等領(lǐng)域。Qin等[5]對(duì)報(bào)童模型的各種擴(kuò)展和應(yīng)用進(jìn)行了詳盡的綜述?,F(xiàn)有的報(bào)童相關(guān)研究均只考慮決策者面臨不確定需求,而需求分布卻是外生給定的,在現(xiàn)實(shí)情況中,諸如決策者面臨的不確定需求等信息是可以被改變的。比如:Simchi-levi等[6]指出零售商可以通過(guò)釋放需求信號(hào),改變制造商對(duì)市場(chǎng)的信念,從而促使其多備貨;Kamenica等[7]構(gòu)造了廣告設(shè)計(jì)的示例,由此影響消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的判斷,促使其購(gòu)買。此外,政府也可以通過(guò)各種宣傳,影響企業(yè)對(duì)投資前景的信念,吸引其入駐投資。有相當(dāng)?shù)难芯恐塾诋a(chǎn)品質(zhì)量[8],銷售商促銷的努力程度[9]以及市場(chǎng)需求[10-12]的認(rèn)知表明,決策者對(duì)于未知市場(chǎng)信息的信念都是可以被改變的。在這一過(guò)程中,信息設(shè)計(jì)者可以通過(guò)改變市場(chǎng)中決策者的信念,繼而影響其決策,使其做出有利于自己的行為。以改變需求認(rèn)知為例,Wang等[10]研究了一個(gè)包含零售商和供應(yīng)商的兩級(jí)供應(yīng)鏈,其中市場(chǎng)未來(lái)需求的狀態(tài)有正常和中斷兩種,所有成員都共享需求狀態(tài)的先驗(yàn)。但是,更靠近終端市場(chǎng)的零售商可通過(guò)需求信息共享,來(lái)影響供應(yīng)商對(duì)市場(chǎng)需求的信念,繼而影響其批發(fā)價(jià)決策。Jiang等[11]研究了制造商比下游零售商具有更好的需求信息時(shí)的共享問(wèn)題,其中,市場(chǎng)需求狀態(tài)分為高、低兩種,雙方共享需求先驗(yàn),制造商可以事先預(yù)測(cè)需求信號(hào),并根據(jù)博弈前選擇的共享模式與零售商共享,以引導(dǎo)有利于自己的零售商價(jià)格決策。夏海洋[12]考慮供應(yīng)商與現(xiàn)有零售商、新進(jìn)入零售商締結(jié)不同類型合約時(shí)泄露信息的問(wèn)題,研究假定現(xiàn)有零售商可以觀察到市場(chǎng)需求的真實(shí)值且據(jù)此向供應(yīng)商下訂單,而供應(yīng)商可決定是否將現(xiàn)有零售商的訂貨量泄露給新進(jìn)入零售商來(lái)改變后者的需求認(rèn)知以獲得更多收益。

        以上研究關(guān)注了信息設(shè)計(jì)者通過(guò)改變另一方對(duì)需求的信念而獲利,但在分析不確定市場(chǎng)需求時(shí),如僅考慮極為有限的高、低需求狀態(tài),將難以充分描述現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜需求場(chǎng)景。此外,現(xiàn)有信息設(shè)計(jì)研究并未針對(duì)報(bào)童決策者展開(kāi)[13-14],這也限制了報(bào)童模型進(jìn)一步在復(fù)雜信息環(huán)境下的應(yīng)用。

        本文考慮了一個(gè)具有信息優(yōu)勢(shì)的信息設(shè)計(jì)者,通過(guò)改變報(bào)童決策者對(duì)需求的認(rèn)知,從而改變報(bào)童決策者的決策來(lái)實(shí)現(xiàn)自身的收益,其中,不確定的需求用一組離散場(chǎng)景來(lái)描述。本研究將該問(wèn)題描述成一個(gè)包含信息設(shè)計(jì)者和報(bào)童決策者的Stackelberg主從博弈模型。處于模型上層的信息設(shè)計(jì)者決定其信息策略組合,在貝葉斯更新機(jī)制下,以此策略組合改變報(bào)童決策者的需求信念;而下層的報(bào)童決策者則根據(jù)更新后的需求后驗(yàn)分布制訂訂貨量決策,該決策反過(guò)來(lái)會(huì)影響信息設(shè)計(jì)者的效益??紤]到構(gòu)建的主從博弈模型在數(shù)學(xué)上是一個(gè)難以直接求解的雙層規(guī)劃問(wèn)題,本文利用KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件將其轉(zhuǎn)化為易求解的單層線性混合整數(shù)規(guī)劃模型。本文不僅放寬了傳統(tǒng)報(bào)童模型需求分布給定的要求,還考慮了面向一組需求離散場(chǎng)景的信息設(shè)計(jì)。此外,本文研究了信息設(shè)計(jì)者通過(guò)組合策略的方式影響報(bào)童決策者,并考慮了不同策略可能具有的成本。

        1 模型建立

        1.1 問(wèn)題描述

        本文研究由一個(gè)信息設(shè)計(jì)者L和一個(gè)報(bào)童決策者F組成的Stackelberg主從博弈問(wèn)題。雙方共享關(guān)于市場(chǎng)需求分布的先驗(yàn)。但是,處于信息優(yōu)勢(shì)的L可以在決策確定前,選擇發(fā)送某種信息組合來(lái)影響F的信念,得到對(duì)于需求分布的后驗(yàn),并由此影響F的報(bào)童決策結(jié)果。L要為發(fā)送信息組合付出相應(yīng)的成本,而F的報(bào)童決策結(jié)果反過(guò)來(lái)會(huì)影響L的效用。模型假設(shè)包括:(1) 雙方均為理性經(jīng)濟(jì)人;(2) 信念的更新遵循貝葉斯法則;(3) 不同信息對(duì)于F的信念的影響相互獨(dú)立;(4) F按照后驗(yàn)分布做報(bào)童決策,而L收益由雙方的策略選擇共同決定。

        L有n條可供選擇的信息,且允許任意信息單獨(dú)發(fā)送或組合發(fā)送。設(shè)每條信息發(fā)送與否的狀態(tài)變量為a,當(dāng)a=1表示該條信息被發(fā)送,否則,a=0。設(shè)標(biāo)記n條信息全部發(fā)送狀態(tài)的集合空間為Z,Z={a1,a2, …,an},zj為其中第j組發(fā)送狀態(tài)集合,即第j種策略組合,zj={aj1,aj2, …,ajn},zj∈Z,j為信息狀態(tài)集合編號(hào),j={1, …, 2n}。ct表示第t條信息的發(fā)送成本,t={1, …,n}。L的決策是選擇一個(gè)能使自己利益最大化的信息發(fā)送集合,因此,引入0或1變量xj,xj=1表示設(shè)計(jì)者選擇發(fā)送zj策略組合,xj=0表示不發(fā)送該策略組合。發(fā)送信息的成本約束記為W。

        具體博弈次序如下:首先,L和F共享市場(chǎng)隨機(jī)需求θi的先驗(yàn)概率P(θi);其次,L根據(jù)真實(shí)狀態(tài),選擇發(fā)送給F的信息組合zj,并為此支付一定成本;最后,F(xiàn)依照貝葉斯法則更新對(duì)需求的后驗(yàn),并做出訂貨量決策y,雙方實(shí)現(xiàn)收益。

        1.2 模型建立

        根據(jù)上述變量,當(dāng)最終的市場(chǎng)需求為θ(θ∈Θ)時(shí),報(bào)童決策者F的利潤(rùn)函數(shù)為

        (1)

        考慮到市場(chǎng)需求θ不確定性,由上文對(duì)策略組合zj(zj∈Z)、策略發(fā)送狀態(tài)xj以及關(guān)于市場(chǎng)需求的后驗(yàn)概率h(θi|zj)的定義,則F的期望利潤(rùn)函數(shù)為

        UF=UF(x,y,θ)E(θ, x)[H(y)]=

        E(θ, x)[(q-d)y-(q-s)(y-θ)+]=

        (q-s)(y-θi)+]

        (2)

        L傳遞信息需要付出成本為

        (3)

        式中:cT={c1,c2, …,cn}T。因此,L的期望收益為

        (4)

        綜上,可得Stackelberg主從博弈模型:

        (5)

        (6)

        (7)

        xj∈{0, 1},j=1, 2, …, 2n

        (8)

        (9)

        (10)

        其中:式(5)代表L的效用最大化目標(biāo);式(6)代表信息發(fā)送預(yù)算約束;式(7)代表只能選擇一種策略方案;式(9)代表下層F的目標(biāo)是期望利潤(rùn)最大化;式(8)和(10)限定了決策變量選取范圍。

        由于這一模型為雙層規(guī)劃,其在數(shù)學(xué)上難以直接求解[15],因此,需對(duì)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

        2 模型等價(jià)轉(zhuǎn)化與求解

        為簡(jiǎn)化上文的Stackelberg主從博弈模型,引入輔助變量gi,其定義為gi=(y-θi)+。由式(2)可知,目標(biāo)函數(shù)式(9)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為

        (11)

        s.t.gi≥y-θi,gi≥0,i=1, 2, …,m

        (12)

        故雙層規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為

        (13)

        式(6)~(8), (10), (12)

        在雙層規(guī)劃中,上層決策決定下層的解函數(shù)。由于整數(shù)變量的存在,這個(gè)解函數(shù)既不是線性的也不是可微的,求解非凸且不可微的雙層規(guī)劃問(wèn)題是很難的,即便是最簡(jiǎn)單的雙層線性規(guī)劃問(wèn)題也是NP-hard(non-deterministic polynomial-hard)問(wèn)題[15]。注意到本模型中,下層的報(bào)童決策被描述為一個(gè)形如式(11)和(12)的線性規(guī)劃。因此,可考慮利用KKT條件等價(jià)代替下層優(yōu)化問(wèn)題,從而將雙層問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)易求解的單層問(wèn)題。為此,針對(duì)下層問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)式(12)構(gòu)造相應(yīng)的拉格朗日函數(shù),引入拉格朗日乘子u、v、λi、ηi,有

        (14)

        對(duì)y和gi求一階偏導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)為0,則有

        故原模型等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下形式的單層規(guī)劃模型:

        (15)

        (16)

        λi(y-θi-gi)=0,i=1, 2, …,m

        (17)

        ηigi=0,i=1, 2, …,m

        (18)

        (19)

        (20)

        y,λi,ηi,u,v≥0,i=1, 2, …,m

        (21)

        式(6)~(8), (10), (12)

        通過(guò)引入一個(gè)充分大的常數(shù)M,以及ri、ki、t1、t2等輔助參數(shù),將上式中非線性互補(bǔ)條件變?yōu)榫€性約束,從而得到如下形式的混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題:

        (22)

        y-θi-gi≤M(1-ri),i=1, 2, …,m

        (23)

        ηi≤Mki,i=1, 2, …,m

        (24)

        gi≤M(1-ki),i=1, 2, …,m

        (25)

        u≤Mt1

        (26)

        (27)

        υ≤Mt2

        (28)

        (29)

        ri,ki,t1,t2∈{0, 1},i=1, 2, …,m

        (30)

        式(6)~(8), (10), (12), (15), (16), (21)

        在模型計(jì)算方面,求解器CPLEX已經(jīng)在諸多領(lǐng)域的混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題求解中得到了廣泛應(yīng)用[16-17]。因此,本文采用CPLEX計(jì)算轉(zhuǎn)化后模型。

        3 算例分析

        圖1 3種需求先驗(yàn)Fig.1 Three kinds of prior information

        表1 給定貝葉斯條件概率

        基于以上數(shù)據(jù),通過(guò)CPLEX求解器計(jì)算可得3種先驗(yàn)情況下的均衡解,如圖2所示。其中,允許考慮兩種信息發(fā)送成本c1和c2在[0, 15]離散變化。

        (a) 需求預(yù)期較差

        (b) 需求預(yù)期一般

        (c) 需求預(yù)期較好

        由圖2(a)可知,F(xiàn)需求先驗(yàn)中對(duì)市場(chǎng)需求預(yù)期較差。當(dāng)信息發(fā)送成本c1和c2較大時(shí),L選擇z1={0, 0}。此時(shí),F(xiàn)的決策結(jié)果是基于需求先驗(yàn)的報(bào)童決策結(jié)果(y=50;UF=104)。隨著c1和c2的減小,L會(huì)根據(jù)兩個(gè)信息發(fā)布成本變化,選擇單信息發(fā)布方式。發(fā)布信息修改了F對(duì)需求信息的后驗(yàn),導(dǎo)致其改變報(bào)童決策結(jié)果,做出更大的訂貨量y決策。當(dāng)信息發(fā)布成本足夠小時(shí),L選擇組合策略z4={1, 1},此時(shí),F(xiàn)的報(bào)童決策得到最大程度的修正。

        圖2(b)顯示F需求先驗(yàn)對(duì)市場(chǎng)預(yù)期一般,此時(shí)L可通過(guò)信息設(shè)計(jì)將F的訂貨量y由60提升至80,但難有進(jìn)一步提升。圖2(c)顯示F需求先驗(yàn)對(duì)市場(chǎng)預(yù)期較好,這與L試圖通過(guò)信息設(shè)計(jì)引導(dǎo)的結(jié)果是一致的。因此,L的最優(yōu)選擇是不進(jìn)行信息設(shè)計(jì),除非信息設(shè)計(jì)的成本為0。

        觀察信息策略對(duì)報(bào)童決策者預(yù)期收益的影響,組合策略z4={1, 1}的優(yōu)化影響效果最佳,但成本也相對(duì)最高,只有在單位信息發(fā)送成本較低的情況下(圖2(a)、(c)),或者先驗(yàn)與L偏差過(guò)大時(shí)(圖2(b)),才會(huì)使用該策略。在對(duì)F的期望收益UF的影響方面,單策略{0, 1}明顯強(qiáng)于{1, 0},這是由于在增加F對(duì)于較大需求的信念時(shí),A2強(qiáng)于A1(見(jiàn)表1),因此在相同的成本下會(huì)優(yōu)先選擇發(fā)送A2。

        此外,進(jìn)一步觀察信息設(shè)計(jì)者L的收益UL隨信息發(fā)布成本的變化情況,如圖3所示。由圖3可知,UL隨信息發(fā)送成本c1、c2的增加呈現(xiàn)先減小后不變的狀態(tài)。這是因?yàn)樾畔l(fā)布的成本和F的報(bào)童決策共同支配著UL。具體來(lái)說(shuō):對(duì)于給定c1,隨著c2的增加,信息發(fā)布的成本增加,故UL隨之線性下降;當(dāng)c2增加至一定程度時(shí),均衡解中的L信息策略變?yōu)閦2={1, 0},故隨后UL保持不變。

        (a) 需求預(yù)期較差

        (b)需求預(yù)期一般

        進(jìn)一步,觀察成本d的變化對(duì)結(jié)果的影響,如表2所示,其中售價(jià)q=10和殘值s=3不變。由表2可知,d的變化直接影響到邊際成本MC(MC=q-d)和邊際收益MP(MP=d-s)的大小。由報(bào)童模型基本原理可知,MP與MC比值變小會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)訂貨量y*的下降。因此,要在不同的信息設(shè)計(jì)方式和成本下,通過(guò)對(duì)d的靈敏度分析,觀察并分析所得結(jié)論。

        此處,信息發(fā)送成本{c1,c2}分別選取[{0, 0}, {2, 2}, {4, 4}, {6, 6}, {8, 8} {10, 10}],在圖1所示3種需求先驗(yàn)中選擇極端的2種,即需求預(yù)期較差和較好的先驗(yàn)下展開(kāi)仿真,計(jì)算所得的均衡結(jié)果如圖4所示。

        表2 隨d變化的邊際收益(MP)與邊際成本(MC)

        (a) 需求預(yù)期較差

        (b)需求預(yù)期較好

        圖4 不同需求預(yù)期下考慮不同d的最優(yōu)訂貨量Fig.4 Optimal order quantity under different d and different demand expectation

        由圖4可知,訂貨量y隨著定價(jià)d和{c1,c2}的增加而減少。比較d對(duì)y的影響,當(dāng)d≥7時(shí),L會(huì)更多選擇信息策略z4={1, 1}。這是由于MP小于MC時(shí),組合策略能夠帶來(lái)更好的優(yōu)化效果,特別是在發(fā)送成本也相對(duì)較低時(shí)。相反,當(dāng)MP/MC大于1時(shí),訂貨量y已然處在較高的水平,信息設(shè)計(jì)所能帶來(lái)的改善有限,因此,發(fā)送單一策略或不發(fā)送信息的情況出現(xiàn)更多。比較不同需求預(yù)期對(duì)信息策略的選擇可發(fā)現(xiàn):在相同的{c1,c2}水平下,需求預(yù)期較差時(shí)L采用策略{1, 1}的情況(圖4(a))多于需求預(yù)期較好時(shí)(圖4(b))。這是由于需求預(yù)期較差時(shí),y可優(yōu)化的空間更大,信息設(shè)計(jì)優(yōu)化效果更明顯。

        圖5給出了報(bào)童決策者的期望收益。由圖5可知,F(xiàn)的期望利潤(rùn)UF與定價(jià)d變化呈負(fù)相關(guān),這是由報(bào)童模型性質(zhì)決定的。在相同的需求預(yù)期和d的前提下,由于組合策略{1, 1}比單一策略{1, 0}或{0, 1}對(duì)于UF的優(yōu)化效果更好,故在較低成本時(shí),L優(yōu)先選擇{1, 1},隨著{c1,c2}的提高,L退而選擇單一策略以降低成本,UF隨之降低,直至L選擇策略{0, 0},UF下降到最低。

        (a) 需求預(yù)期較差

        (b)需求預(yù)期較好

        圖5 不同需求預(yù)期下考慮不同d的報(bào)童決策者期望收益Fig.5 Expected return of newsvendor decision maker under different d and different demand expectation

        信息設(shè)計(jì)收益UL與信息發(fā)送成本{c1,c2}、定價(jià)d和策略選擇zj之間的關(guān)系如圖6所示。由圖6可知,隨著d的遞增,UL遞減。d的遞增會(huì)導(dǎo)致邊際成本MP與邊際收益MC的比值逐漸變小,結(jié)合報(bào)童原理,形成y的減少,UL也會(huì)相應(yīng)減少。此外,隨著{c1,c2}的增加,成本過(guò)大將導(dǎo)致設(shè)計(jì)者不再發(fā)送信息,UL先遞減后不變。此時(shí),UL完全由y決定。未來(lái)需求預(yù)期較好時(shí)的UL普遍比預(yù)期較差時(shí)的UL高,這是由報(bào)童模型機(jī)理所造成的。

        (a) 需求預(yù)期較差

        (b)需求預(yù)期較好

        圖6 不同需求預(yù)期下考慮不同d的信息設(shè)計(jì)者收益Fig.6 Information designer profit under different d and different demand expectation

        以上結(jié)果表明:(1) 當(dāng)信息設(shè)計(jì)者與報(bào)童決策者對(duì)于需求的先驗(yàn)存在明顯偏差時(shí),利用信息設(shè)計(jì)的方式能夠有效引導(dǎo)報(bào)童決策者的決策,使之有利于信息設(shè)計(jì)者;(2) 報(bào)童決策者的邊際收益和邊際成本關(guān)系會(huì)影響信息設(shè)計(jì)的選擇,當(dāng)邊際收益小于邊際成本時(shí),信息設(shè)計(jì)可通過(guò)改變其需求信念而發(fā)揮作用;(3)信息發(fā)送成本的存在會(huì)弱化信息設(shè)計(jì)的效果,減弱信息設(shè)計(jì)的動(dòng)力。為杜絕擁有信息優(yōu)勢(shì)的企業(yè)傳遞不實(shí)信息,市場(chǎng)監(jiān)管者可以通過(guò)影響成本,加大其信息設(shè)計(jì)代價(jià),以實(shí)現(xiàn)市場(chǎng)的健康發(fā)展。

        4 總結(jié)與展望

        本文放寬了傳統(tǒng)報(bào)童模型需求分布給定的假設(shè),研究了面向報(bào)童決策者的組合信息設(shè)計(jì)問(wèn)題,構(gòu)建了描述這一問(wèn)題的主從博弈模型:主問(wèn)題為信息設(shè)計(jì)者的策略選擇,從問(wèn)題為報(bào)童決策。將這一雙層規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單層的混合整數(shù)規(guī)劃。仿真表明:信息設(shè)計(jì)模型是否能有效改善報(bào)童決策解,取決于信息發(fā)送的成本和報(bào)童決策者自身先驗(yàn)的性質(zhì)。當(dāng)報(bào)童決策者先驗(yàn)具有較高期望時(shí),信息設(shè)計(jì)模型優(yōu)化效果不顯著;當(dāng)先驗(yàn)期望一般或較差時(shí),信息設(shè)計(jì)模型優(yōu)化效果取決于信息發(fā)送成本的多少,成本越低,優(yōu)化效果越高;當(dāng)信息發(fā)送成本過(guò)大時(shí),信息設(shè)計(jì)模型不發(fā)生作用。仿真結(jié)果揭示了如下啟示:具有信息優(yōu)勢(shì)的企業(yè)可以就市場(chǎng)預(yù)期情況決定是否發(fā)送信息以及發(fā)送何種信息,以給自己帶來(lái)更多收益;市場(chǎng)監(jiān)管者可以通過(guò)對(duì)信息發(fā)送成本的影響,限制虛假信息的傳播,穩(wěn)定市場(chǎng)預(yù)期,引導(dǎo)其健康發(fā)展。

        考慮到信息設(shè)計(jì)理論中的貝葉斯理性約束可以保證先驗(yàn)與后驗(yàn)均值的一致性,因此將其考慮在本文模型中是未來(lái)研究的方向之一。為求解的便利,本文考慮了離散的需求場(chǎng)景,將離散需求值連續(xù)化并展開(kāi)對(duì)解析模型和結(jié)果研究是未來(lái)另一個(gè)重要的研究方向,將研究結(jié)果應(yīng)用于具體場(chǎng)景也是未來(lái)需要關(guān)注的問(wèn)題。

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