李慧敏, 林建偉

(1- 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，莆田 351100;2- 莆田學(xué)院金融數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，莆田 351100)

1 引言

股權(quán)和債券定價(jià)的合理性會(huì)直接影響公司的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)及其經(jīng)營(yíng)效率，1974 年Merton[1]第一次利用Black 和Scholes[2]提出的期權(quán)定價(jià)思想來解決公司債券定價(jià)的問題，但他提出的建立結(jié)構(gòu)化方法對(duì)公司債券定價(jià)模型中存在信用利差估計(jì)偏低問題.之后Black 和Cox[3]對(duì)Merton 模型中公司只有在到期日違約這一假設(shè)條件進(jìn)行放松，建立了首次通過時(shí)間模型的公司債券定價(jià)方法；Jones 等[4]基于Merton 模型研究了付息票公司債券的定價(jià)問題；Zhou[5]考慮了合約到期之前資不抵債時(shí)發(fā)生違約的情況，在跳擴(kuò)散模型下利用結(jié)構(gòu)化方法來研究有限到期日公司債券的定價(jià)問題；Chen 和Kou[6]則是利用隨機(jī)分析的方法，考慮雙指數(shù)跳情況下對(duì)永久公司債券進(jìn)行定價(jià)；林建偉[7]利用了最優(yōu)停時(shí)方法對(duì)具有一般跳幅度的永久公司債券進(jìn)行定價(jià).他們的研究工作推廣和改進(jìn)了Merton 模型，具有重要的意義.然而，他們都是考慮違約等于清算而沒有考慮資產(chǎn)重組的可能，即一旦公司宣布違約，該公司馬上停止運(yùn)行，公司的股票將一文不值，而債券的價(jià)值等于公司在違約時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)值減去一部份清算費(fèi)用.顯然這些學(xué)者所考慮的這些模型不適用于一些不想直接被清算的實(shí)際市場(chǎng)，即公司債權(quán)人和股東一般不會(huì)直接選擇清算，而會(huì)想讓公司繼續(xù)運(yùn)營(yíng)，希望通過重組使得公司解決暫時(shí)面臨的困難及規(guī)避由直接清算而產(chǎn)生的一定比例的清算費(fèi)用.認(rèn)識(shí)到這一情況，一些學(xué)者通過構(gòu)建違約后進(jìn)行資產(chǎn)重組的數(shù)學(xué)模型，即在宣布違約后，將在債權(quán)人和股東之間重新分配公司所獲得的總價(jià)值，在此基礎(chǔ)上對(duì)公司相關(guān)債券進(jìn)行定價(jià)，如Anderson 和Sundaresan[8]提出了利用策略債務(wù)支付進(jìn)行重組的策略，并對(duì)具有有限到期日的公司債券的相關(guān)定價(jià)采用了展開型博弈規(guī)則和二叉樹方法進(jìn)行研究和定價(jià)，但文章對(duì)違約后進(jìn)行資產(chǎn)重組過程不是用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來描述.隨后，F(xiàn)an 和Sundaresan[9]首次通過給出最佳違約邊界選取的標(biāo)準(zhǔn)，限定觀察期門檻，選定談判的策略和明確違約的價(jià)值等四個(gè)方面對(duì)違約后資產(chǎn)重組的過程用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來描述，并在不考慮談判的時(shí)間期限和談判的費(fèi)用的情況下，討論了永久公司的債券定價(jià)模式；Francois 和Morellec[10]在文獻(xiàn)[9]所提出模型的基礎(chǔ)上，對(duì)給定談判時(shí)間期限條件下的永久公司債券定價(jià)問題采用隨機(jī)分析及概率論的方法進(jìn)行定價(jià)；林建偉[11]在含有違約觀察期過程的公司債券定價(jià)模型中利用納什均衡原理和巴黎型期權(quán)定價(jià)思想進(jìn)行定價(jià).這些學(xué)者的研究具有重要的意義，但他們依舊沒有考慮具有有限到期日這個(gè)限制條件下公司債券的定價(jià)問題，均只考慮穩(wěn)態(tài)情形，而沒有考慮存在本質(zhì)困難的限定到期日的公司債券相關(guān)定價(jià)問題.Broadie 和Kaya[12]在文獻(xiàn)[10]的框架上給出了利用參數(shù)函數(shù)來描述最佳違約邊界的假定，給出了公司債券相關(guān)的二叉樹定價(jià)格式，從而得到了離散形式的既考慮違約觀察期又考慮截止時(shí)間有限的公司債券相關(guān)的定價(jià)形式，但其沒有對(duì)最佳違約邊界進(jìn)行討論；接著，Dai 等[13]將Broadie 和Kaya 提出的模型推廣到連續(xù)的模型上，并利用離散懲罰函數(shù)求得了公司債券相關(guān)定價(jià)的數(shù)值解，但他們沒有從數(shù)學(xué)理論去驗(yàn)證最佳違約邊界是否存在、是否是唯一的和相關(guān)公司價(jià)值是否具有單調(diào)性，也沒有討論公司在破產(chǎn)保護(hù)期內(nèi)的策略債務(wù)支付息票數(shù)額大小，只是利用數(shù)值計(jì)算來研究最佳違約邊界曲線的一些性質(zhì).以上所述的這些文獻(xiàn)均沒有考慮公司的資產(chǎn)價(jià)值會(huì)因?yàn)橥蝗话l(fā)生的不好事件而引發(fā)的急劇縮減情況.在實(shí)際市場(chǎng)中，投資人會(huì)關(guān)注公司的資產(chǎn)價(jià)值可能由于公司突然暴露出的負(fù)面消息導(dǎo)致劇烈“向下跳空”的現(xiàn)象，向下跳空有一個(gè)重要特殊情形-假定跳躍幅度為常數(shù)-1，即一旦公司資產(chǎn)發(fā)生跳躍資產(chǎn)價(jià)值瞬間下降為0，公司面臨著瞬間破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn).從數(shù)學(xué)上看，在跳幅度為-1 的假定條件下公司債券定價(jià)的相關(guān)問題是一種壓力測(cè)試下對(duì)公司債券和股價(jià)的估值，并考慮違約強(qiáng)度對(duì)定價(jià)的影響.林建偉和李慧敏[14]采用微分方程方法對(duì)公司的資產(chǎn)價(jià)值變化是依據(jù)跳擴(kuò)散(跳幅度為-1)模型下永久公司債券的相關(guān)定價(jià)問題和資產(chǎn)的最好結(jié)構(gòu)配置問題進(jìn)行了研究，給出了顯式化的公司資產(chǎn)相關(guān)價(jià)值(包括股票、債券及總價(jià)值)定價(jià)、最佳的杠桿比率及違約邊界的具體表達(dá)式，并通過數(shù)值分析，解釋跳躍強(qiáng)度變化導(dǎo)致的金融變化現(xiàn)象，但該文章考慮的是穩(wěn)態(tài)情形，而限定到期日的公司債券的相關(guān)定價(jià)問題顯得更為困難.另一方面，在實(shí)際金融市場(chǎng)上，一旦公司發(fā)生突發(fā)事件，對(duì)公司造成的影響往往是致命的.因此，本文在具有本質(zhì)困難的限定到期日的公司債券相關(guān)定價(jià)問題上綜合考慮兩種關(guān)鍵的實(shí)際市場(chǎng)情況(即公司在違約之后會(huì)首先考慮進(jìn)行資產(chǎn)重組使得公司可以繼續(xù)經(jīng)營(yíng)下去以及如果公司發(fā)生突發(fā)事件就會(huì)導(dǎo)致公司的資產(chǎn)價(jià)值急劇縮減這兩種情況)，使得定價(jià)模型更符合實(shí)際市場(chǎng)，即本文所要探討的是在公司資產(chǎn)的相關(guān)價(jià)值變化過程依據(jù)跳擴(kuò)散(跳幅度為-1)的模式下，采用Fan 和Sundaresan 提出違約后將債券轉(zhuǎn)化為股票的資產(chǎn)重組模式，對(duì)違約后進(jìn)行資產(chǎn)重組及限定到期日的公司債券的相關(guān)定價(jià)問題采用結(jié)構(gòu)化的方法和最優(yōu)停時(shí)的策略進(jìn)行研究，并對(duì)最佳違約邊界存在且唯一這一重要性質(zhì)給出了理論上的證明，最后通過數(shù)值分析研究跳強(qiáng)度對(duì)公司債券價(jià)值的影響.

2 相關(guān)知識(shí)

2.1 基本參數(shù)和條件的設(shè)定

1) 用常數(shù)r 表示市場(chǎng)存在套利的機(jī)會(huì)為零及無風(fēng)險(xiǎn)的利率；

2) 一個(gè)公司同時(shí)發(fā)行了股票E 和具有有限到期日T 且到期本金為P 的公司債券D，約定沒有違約的情況下債權(quán)人在每單位時(shí)間內(nèi)除了可以得到的息票收益為CP 元外，還可以從公司發(fā)行的債券中得到γCP 的稅盾收益；股東通過紅利取得收益，其中γ(0 ＜γ ＜1)表示企業(yè)的稅率；

3) 在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)空間下，公司的資產(chǎn)價(jià)值Vt的變化規(guī)律遵循跳擴(kuò)散的模式

其中μ 表示期望的收益率，σ 表示波動(dòng)率，δ 表示公司總現(xiàn)金支付率，{qt}t≥0表示泊松跳過程(其強(qiáng)度為λ)，{Wt}t≥0表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且假設(shè)泊松過程{qt}t≥0與標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng){Wt}t≥0之間是相互獨(dú)立的；

4) 令公司股票的價(jià)值取得最大值作為確定最佳違約邊界的標(biāo)準(zhǔn)；

5) α(0 ＜α ＜1)表示清算的損失率；

6) 違約后資產(chǎn)的重組方式采用的是債券轉(zhuǎn)換為股票的模式[9]：在任一違約時(shí)刻τ 時(shí)，令Vτ表示此刻公司的資產(chǎn)價(jià)值.當(dāng)公司宣布違約后，公司不進(jìn)行清算，而是運(yùn)用將債券轉(zhuǎn)換為股票的方法來重組公司的資產(chǎn)，公司在違約時(shí)刻是將公司債券轉(zhuǎn)化為股票從而使公司成為一個(gè)全股票的公司并向投資者出售股票的方式來獲得資金，通過這種方式將不會(huì)因?yàn)橹苯忧逅愣斐晒举Y產(chǎn)的損失；接著，債權(quán)人和股東會(huì)采用納什均衡的原理重新配置違約后公司的資產(chǎn)價(jià)值Vτ，從而得到債權(quán)人和股東最終各自擁有的最合適比例.

2.2 納什均衡原理

假設(shè)在[t,T]上均有可能宣布違約，令T[t,T]表示發(fā)生違約的時(shí)刻(即停時(shí))；如果公司在[t,T]上沒有宣告違約，則規(guī)定τ = ∞.設(shè)Vτ表示公司在違約時(shí)刻τ ∈T[t,T]∪{∞}的資產(chǎn)價(jià)值，則當(dāng)V ≤Vτ時(shí)，如果公司沒有考慮進(jìn)行資產(chǎn)重組，則直接被清算.此時(shí)股票將沒有任何價(jià)值，而債券價(jià)值將只有(1-α)Vτ；如果公司決定資產(chǎn)重組，那么由上述的假定條件6)，違約后公司所獲得的總價(jià)值Vτ將在債權(quán)人與股東之間依據(jù)納什均衡原理重新確定各自所擁有的價(jià)值，即債權(quán)人和股東在公司宣布違約后將得到的價(jià)值分別確定為

E(Vτ)=θVτ, D(Vτ)=(1-θ)Vτ,

其中θ 表示分配給股東比例.利用納什均衡分配原理可得，最佳分配比例θ*可表示為

θ*=arg max{[θVτ]η[(1-θ)Vτ-(1-α)Vτ]1-η},

即θ*=αη，其中η(0 ≤η ≤1)表示股東談判的能力.

所以，公司在任意時(shí)刻τ 選擇了違約之后，公司股票和債券的價(jià)值可分別表示成如下式子

3 公司債券的定價(jià)

3.1 股票價(jià)值定價(jià)模型

根據(jù)上述的基本假設(shè)及風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q，在公司宣布違約的任一時(shí)刻(即停時(shí))τ，股票的價(jià)值E 的可以用下列模型來描述

其中，等式(2)右邊第一個(gè)積分項(xiàng)代表了股東通過紅利取得收益的貼現(xiàn)值；如果公司在[t,T]這范圍內(nèi)選擇違約，則利用第二個(gè)式子表示股東在違約后利用重組資產(chǎn)而取得收益的貼現(xiàn)值；如果公司在[t,T]這個(gè)范圍內(nèi)不宣布違約，利用第三項(xiàng)表示這種情況下股東獲得的貼現(xiàn)值為V -P.

終值條件

邊界漸近條件

3.2 最佳違約邊界的存在及相關(guān)性質(zhì)分析

通過采用偏微分方程中的懲罰函數(shù)方法，對(duì)于上述股票所滿足的變分不等式問題P1，可以證明得出下列結(jié)論.

引理1 任意給定時(shí)間t，公司的股票價(jià)值與股東在違約時(shí)刻能夠得到的價(jià)值之差E(V,t)-αηV，在區(qū)域Ω={(V,t)|0 ＜V ＜∞,0 ≤t ＜T}具有單調(diào)性，且會(huì)隨著公司資產(chǎn)價(jià)值V 的遞增而遞增.

進(jìn)一步構(gòu)造滿足如下性質(zhì)的光滑化函數(shù)Πε(t), t ∈R,

非洛地平緩釋片（Ⅱ）對(duì)比硝苯地平緩釋片控制圍絕經(jīng)期高血壓患者血壓晨峰現(xiàn)象的臨床觀察 ………… 劉東升等（21）：2976

作變量代換

股票E(V,t)所符合的變分不等式方程問題(3),(4)轉(zhuǎn)化為

其中

基于上面構(gòu)造出來的懲罰函數(shù)βε(t)和光滑化函數(shù)Πε(t)的特點(diǎn)，定義定解問題(8)的相應(yīng)懲罰問題，表示如下

引理2 當(dāng)(r+λ)≥(1-γ)C 時(shí)(該參數(shù)條件說明了在任一給定的無風(fēng)險(xiǎn)利率r 條件下，公司從發(fā)行公司的債券中獲得的稅盾收益率γ 越高，則公司能夠選擇用于付給公司債權(quán)人的最大息票率也會(huì)越大)，股票價(jià)值E(V,t)為區(qū)域Ω 上時(shí)間變量t 的單調(diào)遞減函數(shù).

其中

定理得證.

對(duì)于股票價(jià)值E(V,t)與一些相關(guān)參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步簡(jiǎn)要分析如下.

定理3 由(2)所確定的股票價(jià)值E(V,t)是關(guān)于股東談判因子η 和清算比例因子α 的單調(diào)遞增的函數(shù).

證明 根據(jù)股票價(jià)值E(V,t)滿足的最優(yōu)停時(shí)問題(2)可以看出，對(duì)于公司任一給定的違約時(shí)刻(停時(shí))τ ∈T[t,T]∪{∞}，η 越大, E(Vτ)=αηVτ越大，因此相應(yīng)的股票價(jià)值在給定τ 下也越大.由此可得，股票價(jià)值E(V,t)是關(guān)于股東談判因子η 的單調(diào)遞增的函數(shù).同理可證股票價(jià)值E(V,t)也是關(guān)于清算比例因子α 的單調(diào)遞增的函數(shù).

3.3 基于最佳違約邊界的公司債券定價(jià)模型

其中，等式(10)左邊第一個(gè)式子代表了債權(quán)人所擁有息票的收益的貼現(xiàn)值，第二個(gè)式子代表公司違約后債權(quán)人通過資產(chǎn)的重組得到的收益的貼現(xiàn)值.

其中，(12)式為終值條件，邊界條件(13)式說明了債權(quán)人在公司宣布違約后能獲得(1-αη)V 的收益；而(14)式說明了當(dāng)公司資產(chǎn)價(jià)值趨向于正無窮大時(shí)，公司債券可看作和原來有著相同的本金和有限到期日但無風(fēng)險(xiǎn)的公司債券.

4 數(shù)值金融分析

圖2 和圖3 分別說明了公司的股票價(jià)值和債券價(jià)值隨著λ 的變化關(guān)系.圖2 的數(shù)值結(jié)果表明，股票的價(jià)值會(huì)隨著跳強(qiáng)度的增大而增大，這是由于在跳擴(kuò)散(跳幅度為-1)的模型下，公司采取的是讓股東能夠取得最大權(quán)益作為最優(yōu)的運(yùn)營(yíng)策略，而股東為了防止股票變得一文不值，則會(huì)通過降低違約風(fēng)險(xiǎn)來提高公司的信用等級(jí)，從而使自己所能獲得的利益最大化.然而，公司資產(chǎn)有可能瞬間下跌為零，公司債券對(duì)市場(chǎng)投資者的吸引度被降低.因此，從圖3 的的數(shù)值結(jié)果可以看出，公司相應(yīng)的債券價(jià)值也將被降低了.

圖1 最佳違約邊界曲線隨λ 的變化情況

圖2 股票價(jià)值E(V,0)隨λ 的變化情況

圖3 債券價(jià)值D(V,0)隨λ 的變化情況

5 結(jié)束語

根據(jù)實(shí)際市場(chǎng)中比較可能出現(xiàn)的情況，本文綜合考慮了公司的資產(chǎn)價(jià)值存在因突發(fā)事件瞬間下跌為0 的情況(采用跳擴(kuò)散(其跳幅度為-1)的模型來描述公司的資產(chǎn)價(jià)值變化過程)和采取股票和債券互換作為違約后資產(chǎn)重組的模式，對(duì)具有有限到期日公司股票和債券定價(jià)問題利用隨機(jī)分析理論、結(jié)構(gòu)化方法和最優(yōu)停時(shí)方法建立了連續(xù)的數(shù)學(xué)模型，利用偏微分方程中的懲罰函數(shù)對(duì)最佳違約邊界的存在性及唯一性、股票價(jià)值的單調(diào)性進(jìn)行了理論上的闡述與證明，同時(shí)也對(duì)公司股票價(jià)值和各參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了討論.最后，采用離散的懲罰函數(shù)得到最佳違約邊界以及對(duì)應(yīng)的股票價(jià)值的數(shù)值解，同時(shí)，債券價(jià)值的數(shù)值解也通過運(yùn)用隱式差分格式求得.數(shù)值結(jié)果表明：基于跳幅度為-1 的跳擴(kuò)散模型，且在違約后通過將債券換成股票的資產(chǎn)重組模式中，由于公司資產(chǎn)有可能瞬間下跌為零，市場(chǎng)投資者降低了對(duì)公司債券的興趣，因此公司的債券價(jià)值減??；而股東可以通過降低違約風(fēng)險(xiǎn)來提升公司信用等級(jí)，從而提升股票價(jià)格，這表明公司一般都是采用讓股東能夠取得最大權(quán)益作為最優(yōu)營(yíng)運(yùn)策略.