周喜華, 賈洪信, 黃曉紅, 鄧勝岳, 謝 亮

(1- 廣東環(huán)境保護(hù)工程職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教育部，佛山 528216; 2- 湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，株洲 412007)

1 引言

Zadeh[1]在其發(fā)表的論文中首次運用模糊集合的概念，這標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生.康托羅維奇[2]于1939 年，首次提出了線性規(guī)劃模型及其理論.Zimmermann[3]最早提出模糊線性規(guī)劃，并通過模糊線性規(guī)劃對稱模型的解法解決了約束模糊型問題.模糊線性規(guī)劃包含約束模糊型規(guī)劃、系數(shù)模糊型規(guī)劃及決策變量模糊型規(guī)劃[4,5].Candler 和Norton[6]于1977 年首先提出“多層規(guī)劃”模型及其理論，而二層規(guī)劃是多層規(guī)劃的基本組成形式，大量應(yīng)用于兩層遞階特征的經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)(利用兩層多隨處規(guī)劃對上層為一個領(lǐng)導(dǎo)者、下層為多個隨從特征的遞階系統(tǒng)進(jìn)行建模與仿真).鄧勝岳等[7,8]先后研究了系數(shù)或決策變量為三角模糊數(shù)的二層多隨處線性規(guī)劃模型，給出了可行的算法，并通過算例驗證了該算法的可行性和有效性.然而，梯形模糊數(shù)是三角模糊數(shù)的一般形式，能更好的模擬實際模糊環(huán)境，具有更廣泛的應(yīng)用范圍.為了拓展模糊二層多隨處線性規(guī)劃模型的應(yīng)用范圍，本文系統(tǒng)研究了一類決策變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨處線性規(guī)劃模型.因此，本文研究的模型是文獻(xiàn)[7]中模型的更一般形式.

2 基礎(chǔ)知識

2.1 模糊結(jié)構(gòu)元理論

定義1[9,10]設(shè)E 為實數(shù)域R 上的模糊集合，而隸屬函數(shù)記為E(x), x ∈R.如果E(x)滿足下述性質(zhì)：

1) E(0)=1；

2) 在區(qū)間[-1,0)上，E(x)是單調(diào)遞增的函數(shù)且右連續(xù)，在區(qū)間[0,1)上，E(x)是單調(diào)遞減的函數(shù)且左連續(xù)；

3) 若x ＜-1 或x ＞1 時，E(x)=0，則E 是實數(shù)域上的模糊結(jié)構(gòu)元.

定義2[9,10]若模糊結(jié)構(gòu)元E(-x)=E(x)，則稱E 為對稱模糊結(jié)構(gòu)元.

定義3[9,10]若模糊結(jié)構(gòu)元E 滿足：

1) x ∈(-1,1), E(x)＞0；

2) E(x)連續(xù)，且在[-1,0)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在[0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞減，則稱E 為正則模糊結(jié)構(gòu)元.

則根據(jù)E 可得到

2.2 兩層多隨從線性規(guī)劃

兩層多隨從線性規(guī)劃模型(MFBLP)及引理

其中i=1,2,··· ,N.

3 一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃模型及算法

3.1 模型

一類變量為梯形模糊數(shù)的二層多隨從線性規(guī)劃模型，具體形式如下

步驟3 根據(jù)定理1，將模型(1)的最優(yōu)解轉(zhuǎn)化為模型(2)的最優(yōu)解；

步驟4 根據(jù)引理5，并利用Matlab 編程運行得到定理1 中模型的最優(yōu)解；

步驟5 將(2)的最優(yōu)解代入(1)得到最優(yōu)解.

4 算例

本節(jié)將提供兩個算例，其中算例1 為一個領(lǐng)導(dǎo)者一個隨從情形，算例2 為一個領(lǐng)導(dǎo)者兩個隨從情形，并且模型中的決策變量都用梯形模糊數(shù)表示.通過兩個算例的求解過程驗證了本文研究的模型及算法的可行性和有效性.當(dāng)文中的模型決策變量由梯形模糊數(shù)退化為三角模糊數(shù)時，算法仍然可行，可見本文的模型是文獻(xiàn)[7]中模型的更一般形式.

算例1 考慮上層一個領(lǐng)導(dǎo)者、下層一個隨從，且上下層均有約束條件的一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層線性規(guī)劃問題

步驟2 E(t)為三角模糊結(jié)構(gòu)元，則

所以可以將原問題(3)轉(zhuǎn)化為下式

步驟3 由引理5 可知，若存u1, u2, v1, v2, v3, v4, v5∈R，且u1, u2, v1, v2, v3, v4,v5≥0，則有

所以可以得到兩種情況：

步驟4 若情況1)成立時，可將問題(4)轉(zhuǎn)化為

若情況2)成立，則同理可得.

步驟5 情況1)與情況2)所得到的最優(yōu)值分別為-5.0000, 11.6000，所以情況1)的最優(yōu)解為問題(4)的最優(yōu)解，即為x1= 0.1687, x2= 0.2624, x3= 0.5996, x4= 4.1071,y1= 0.5407, y2= 0.9529, y3= 1.9843, y4= 5.5850.將上述結(jié)果代入原問題(3)得到：上層問題的最優(yōu)解為(-10.0187,-6.1384,-3.0244,-1.6567)，下層問題的最優(yōu)解為(0.7094,1.2153,2.5839,9.6921).

算例2 考慮上層一個領(lǐng)導(dǎo)者、下層二個隨從，且上下層均有約束條件的一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃問題

步驟2 E(t)為算法步驟一給出正則三角模糊結(jié)構(gòu)元，則

所以可以將原問題(5) 轉(zhuǎn)化為下

對第二個隨從有

步驟4 若情況一成立，可將問題(6)轉(zhuǎn)化為

若情況二、情況三、情況四成立，同理可得.

5 結(jié)論

針對一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃問題，利用模糊結(jié)構(gòu)元的性質(zhì)，將梯形模糊數(shù)進(jìn)行模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元加權(quán)序處理，到達(dá)了去模糊化的目的，從而使得一類變量為梯形模糊數(shù)的兩層多隨從線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為兩層多隨從線性規(guī)劃，提出了算法，并通過算例驗證了該算法的可行性.