謝 超, 陳 夏, 閆 莉

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119)

1 引言

分位數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個基本概念，它可以用來表示隨機(jī)變量的某些性質(zhì)，并且沒有任何矩條件的要求.分位數(shù)也可以估計(jì)呈偏態(tài)分布的定量資料的正常值范圍，描述呈偏態(tài)分布定量數(shù)據(jù)的離散程度的大小.因此，分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)、金融投資、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-3].假定總體X 的分布函數(shù)為F(·)，則總體p 分位數(shù)定義為

當(dāng)總體分布未知時，通常用經(jīng)驗(yàn)分布代替總體分布.假設(shè){Xi,1 ≤i ≤n}為來自總體X 的一組樣本，則樣本p 分位數(shù)定義為

其中

在總體分位數(shù)未知時，通常用樣本分位數(shù)估計(jì)總體分位數(shù)，眾多研究者對樣本分位數(shù)估計(jì)的大樣本性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)討論.例如，Bahadur[4]在樣本獨(dú)立同分布的條件下，研究了樣本分位數(shù)的漸近正態(tài)性和重對數(shù)律.Wu[5]和Sun[6]分別在線性、非線性過程和強(qiáng)混合隨機(jī)序列下，得到了樣本分位數(shù)的Bahadur 表示.Xing 和Yang[7]、Ling[8]和Xu 等[9]基于NA 序列，研究了樣本分位數(shù)的Bahadur 表示.Xu 和Miao[10]在總體分布連續(xù)和樣本獨(dú)立同分布的情形下，研究了樣本分位數(shù)的大偏差和中偏差原理.

樣本分位數(shù)形式簡單、方便易求，但構(gòu)造樣本分位數(shù)所使用的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)沒有考慮總體分布的光滑性.因此，Nadaraya[11]提出了樣本分位數(shù)核估計(jì)方法，該方法利用核函數(shù)來構(gòu)造光滑分位數(shù)估計(jì).基于核函數(shù)K(·)，總體分布F 的光滑核估計(jì)定義為

其中{hn}為正數(shù)序列，且hn→0(n →∞).因此，ξp的光滑樣本分位數(shù)核估計(jì)定義為

近年來，眾多研究者討論了樣本分位數(shù)核估計(jì)及其漸近性質(zhì).例如，F(xiàn)alk[12]基于均方誤差，研究了樣本分位數(shù)核估計(jì)和樣本分位數(shù)估計(jì)的漸近相對效率問題.Yang[13]得到了樣本分位數(shù)核估計(jì)與樣本分位數(shù)估計(jì)具有相同的漸近分布，并且給出其均方收斂速度.Sun 和Zheng[14]在左截?cái)嗪陀覄h失數(shù)據(jù)下，研究了樣本分位數(shù)核估計(jì)的Bahadur 表示.Cai 和Roussas[15]在樣本正、負(fù)相協(xié)情形下，研究了樣本分位數(shù)核估計(jì)的逐點(diǎn)相合性、漸近正態(tài)性和弱收斂性.He 等[16]研究了獨(dú)立同分布情形下，樣本分位數(shù)核估計(jì)的中偏差和大偏差原理.

由于相依隨機(jī)序列削弱了獨(dú)立性的限制，因此得到了眾多學(xué)者的關(guān)注和研究，尤其是關(guān)于m 相依序列的研究.例如，陸傳榮[17]和蘇淳[18]分別研究了m 相依序列的弱收斂和漸近正態(tài)性.唐曉靜和秦俠[19]討論了m 相依序列的強(qiáng)大數(shù)定律.文獻(xiàn)[20-24]研究了m 相依序列的中偏差原理. 候萱等[25]討論了在m 相依序列樣本下，樣本分位數(shù)的中偏差和大偏差原理.基于上述研究，本文討論m 相依情形下，樣本分位數(shù)核估計(jì)的中偏差及大偏差問題，將獨(dú)立同分布樣本的結(jié)果進(jìn)行了推廣.

首先給出本文所用的預(yù)備知識.

定義1 設(shè){Xn;n ≥1}為隨機(jī)序列，如果存在一非負(fù)整數(shù)m，使得對每一個k ≥1，集合{X1,X2,··· ,Xk}和{Xk+m+1,Xk+m+2,···}是獨(dú)立的，則稱隨機(jī)序列{Xn;n ≥1}是m 相依的.

定義2 對于給定的隨機(jī)序列{Xi;i ∈N}，對任意的k ∈N，記

其中Fa,b=σ(Xi;a ≤i ≤b).

注1 本文定理1 所需條件(C1)-(C3)，與文獻(xiàn)[16]中研究獨(dú)立同分布情形的條件(A1)-(A3)相同.條件(C4)是研究m 相依序列的常見假設(shè)，見文獻(xiàn)[22].但本文定理2 所需條件較文獻(xiàn)[16]少了(A4)和(A5)，多了條件(C4).這是因?yàn)楸疚睦梦墨I(xiàn)[22]的方法得到定理2 的證明，這不同于文獻(xiàn)[16]的證明方法.

2 主要結(jié)論及證明

首先，我們給出樣本分位數(shù)核估計(jì)的中偏差原理.

定理1 在條件(C1)-(C3)下，對任意的r ＞0，有

證明 易知

由文獻(xiàn)[16]的定理1 知

同理，有

其中

由G¨artner-Ellis 定理知[26]，要證定理1 成立，只需證明

下面先證

由Vi的定義知，{Vi-EVi,i ≥1}是m 相依的零均值平穩(wěn)序列.為了得到中偏差結(jié)果，計(jì)算其Cramer 函數(shù)

對任意的p1＞1, p2＞1，取相應(yīng)的q1, q2，使得

由引理1 得

對W1，有

取

則δ →0.由文獻(xiàn)[16,21]，易知

因此

對W2，有

由文獻(xiàn)[16]定理1 和文獻(xiàn)[27]的引理2.2，可得

對W3，有

令N →∞，有

結(jié)合式(4)-(6)，易知

下面只需證明

由于

與式(4)-(6)類似，有

結(jié)合式(7)-(10)，可知

從而

同理，可得

因此，定理1 證明完畢.

其次，下述結(jié)果給出了樣本分位數(shù)核估計(jì)的大偏差原理.

定理2 在條件(C1)-(C4)下，對任意的開集G ?R，有

對任意的閉集F ?R，有

其中

下面證明

滿足Cramer 條件.由文獻(xiàn)[16]知，對任意的t ＞0，有

根據(jù)文獻(xiàn)[22]中的定理3.1，知定理2 成立.