韓永浩, 羅志強(qiáng)

(昆明理工大學(xué)理學(xué)院，昆明 650500)

1 引言

流體力學(xué)中的數(shù)值模擬被廣泛地應(yīng)用于海洋運輸、航天科技和核工程等領(lǐng)域中，二維近水面波與水翼之間的相互作用的數(shù)值模擬是近些年來流體水動力學(xué)研究的重要課題.通過對二維水下振動體的數(shù)值模擬，探索近水面波與水翼之間的相互作用下的振動體周圍壓力以及自由面波等復(fù)雜流場內(nèi)部機(jī)制，對近水面探索器以及水下航行器等的研究具有重大意義.

在過去的幾十年中，有大量的數(shù)值模擬、理論分析和實驗研究的方法研究近水面波與水翼之間的相互作用的問題.Wehausen[1]、Frank[2]利用格林函數(shù)數(shù)值求解自由面波與水翼相互作用的壓力和波高.Lamb[3]建立源面板法，求解自由面非線性波.Vugts[4]計算出自由面搖擺，起伏和滾動圓柱三種情況下的水動力系數(shù).Cao 等[5]運用去奇異化的邊界方法求解出三維勢流問題.Beck[6]運用時域面板法求解出了浮體在無限深度下波體相互作用下的水動力系數(shù).自由面邊界條件對于處理近水域振動體和波之間相互作用的問題時非常重要，如何進(jìn)行邊界條件的處理是當(dāng)時一大難題.Dawson[7]在1977 年提出了Ranine 源方法，使用Rankine 源法滿足輻射和自由面邊界條件，用于描述勻速前進(jìn)的物體的穩(wěn)定的流動，并獲得了成功.Beck 等[8]運用Rankine 源法，把自由面邊界積分和圓柱體邊界積分兩個方程分開表達(dá)求解，數(shù)值模擬了完全非線性波.由于在自由面的邊界積分涉及到無限自由面，Lee[9]將自由面區(qū)域截斷為有限區(qū)域進(jìn)行積分求解，解決了表面穿透體的非線性輻射問題.Lee[10]考慮孤立源求解完全非線性流體動力問題.Zhang 和Beck[11,12]考慮在有限的自由面區(qū)域均勻放置Rankine 源的方法，求解出了二維漂浮物大振幅下的問題.Feng 等[13-16]考慮在自由面Rankine 源稀疏放置，數(shù)值模擬了水面圓柱作垂直方向運動的水動力學(xué)性態(tài).

綜上所述，以上文獻(xiàn)考慮各種數(shù)值方法數(shù)值求解自由面波高與水翼表面壓力的水動力學(xué)性態(tài).很少文獻(xiàn)考慮水下物體作垂直運動時波體之間的水動力學(xué)性態(tài).由于自由面波的運動受到水下運動物體和水下源強(qiáng)度的雙重影響，很難構(gòu)建直接關(guān)系的表達(dá)式，因而給自由面波的求解造成了困難.鑒于此，本文構(gòu)建了水下圓柱作垂直運動下，在圓柱體和自由面同時放置Rankine 源，巧妙放置Rankine 源的具體位置，使得源的分布符合流體運動的規(guī)律，同時巧妙地使用了自由面插值的方法構(gòu)建自由面波波高與圓柱運動的關(guān)系式，求解了源分布下波體運動相互作用的水動力學(xué)性態(tài).

本文第2 部分為模型的建立與邊界積分方程的推導(dǎo)，第3 部分為邊界積分方程的離散與處理，第4 部分為數(shù)值實驗?zāi)M，最后給出了本文的結(jié)論.

2 數(shù)學(xué)模型以及積分方程的推導(dǎo)

2.1 物理模型

假設(shè)在不可壓、無粘和無旋的理想流體中，考慮二維無限水深的水面下振動圓柱體水翼，如圖圖1 所示.當(dāng)Rankine 源Q 點分布在流體區(qū)域V 中，設(shè)SQ是以Q 為圓心，ε 為半徑的圓的邊界.流體區(qū)域V 由自由面邊界Sf、圓柱體邊界Sb、源點Q 所圍成的區(qū)域邊界SQ和無窮遠(yuǎn)處海底邊界圍成，其中Sc為平靜水面邊界，R 為振動圓柱體半徑，h 為振動體浸沒深度.

圖1 物理模型

圓柱體垂直運動速度為

U =(0,a sin ωt),

其中U 為圓柱體垂直運動速度，a 為振動的振幅，ω 為振動頻率.

流體區(qū)域內(nèi)勢流φ 滿足?2φ=0.圓柱體與液體的固液邊界條件為

其中nB為圓柱體表面外法向量.

自由面運動學(xué)邊界條件為

其中y =η(x,t)為自由面波高.

自由面動力學(xué)邊界條件可以表示為

其中g(shù) 為重力加速度.

2.2 源分布邊界積分方程

設(shè)φ 和φ1是流體區(qū)域V 的兩種速度勢函數(shù)，分別滿足Laplace 方程

?2φ=0, ?2φ1=0.

φ 和φ1在流體區(qū)域V 中是有限單值函數(shù).對應(yīng)的速度勢關(guān)于x 和y 的導(dǎo)數(shù)

設(shè)S 是流體區(qū)域V 的所有邊界之和，其中l(wèi), w 是邊界S 上外法向量n 在x, y 正方向上的單位分量，得

由格林公式

得

取φ1=ln r =ln|P -Q|，其中Q 點是源點，P 點為流體區(qū)域V 內(nèi)部的點.

當(dāng)源點Q 在流體域V 內(nèi)部，如圖2(a)，P 取Q 點處時ln r 無限大，積分區(qū)域為V -VQ.流體區(qū)域V 的邊界為

(5)式改寫為

圖2 源點Q 位置以及內(nèi)外流場剖面

根據(jù)

(6)式化為

當(dāng)ε →0 時

當(dāng)源點Q 在流體區(qū)域的外部(圖2(a)中Q1所處位置)，流體區(qū)域內(nèi)的點P 到源點Q 的函數(shù)ln r 取值有限.流體區(qū)域V 的邊界為

(5)式改寫為

設(shè)源點Q 影響的區(qū)域為第一區(qū)域，源點Q 在第一區(qū)域的內(nèi)部，φ 是第一區(qū)域速度勢，φ1是流體區(qū)域V 剩余區(qū)域的速度勢，如圖2(b)，由(7),(8)式推出對應(yīng)的邊界積分

由(9)和(10)式可以推出

令

因為φ=φ1，且速度勢φ, φ1關(guān)于邊界S1的法向?qū)?shù)不連續(xù)，得到圓柱邊界積分方程

3 Rankine 源分布邊界積分方程離散

3.1 邊界積分方程

3.2 積分方程的離散化

圖3 t=0 時刻自由面和圓柱面面板剖分圖

3.3 時間域中源點、控制點、切向量

在t = 0 自由面上放置源點時，由于流體區(qū)域是關(guān)于振動體對稱的，因此，我們只討論y 軸右邊的自由面源點的放置方法.在本文中選取Nf+1=181 個源點，所以在右邊自由面有Nf/2=90 個源點，70 個源點在內(nèi)域，20 個源點在外域.內(nèi)域源點放置方法

外域源點放置方法

其中Lb為圓柱體面板長度，αj設(shè)置如表1.

表1 αj 的參數(shù)

由于振動體圓柱完全浸沒在自由面水下，振動體面板進(jìn)行均勻分割，因此振動體圓柱體的面板長度并不隨時間的變化進(jìn)行變化，同理物體表面單個面板的切向量亦不隨時間作變化.設(shè)圓柱體表面Sb的源點，面板長度，面板切向量分別為

隨著振動時間的變化，自由面隨圓柱體振動進(jìn)行變化.設(shè)自由面Sf的源點，面板長度，面板切向量分別為

自由面邊界積分方程

同時，圓柱體邊界滿足積分方程

通過邊界條件(1)和(15)式邊界條件結(jié)合可以得到圓柱體邊界積分方程

(14)式和(16)式化為下面系列代數(shù)方程

其中σi為

bi為

bi=Uni, i=1,2,··· ,Nb, bi=φi, i=1+Nb,··· ,N,

其中影響系數(shù)ai,j為

壓力P 的表達(dá)式為

自由面波高η 表達(dá)式為

4 數(shù)值模擬

自由面波關(guān)于y 軸對稱，下列數(shù)值模擬中，取振動圓柱體半徑R = 10 m，圓柱體面板數(shù)Nb= 40，自由面面板數(shù)Nf= 180，時間步長△t = 0.001 s，浸沒深度h，圓柱振動頻率ω，圓柱振動振幅a，振動時間t，自由面波畫圖時選取原點處源點.

時域函數(shù)迭代的初始自由面邊界條件

4.1 數(shù)值驗證

為了驗證文中采用的數(shù)值方法的準(zhǔn)確性和有效性，本文采用自由面波高與其他文獻(xiàn)中的數(shù)值解進(jìn)行比較.

圖4 采用圓柱體振動頻率ω = 1.0，振幅a = 1m.圖中表示自由面波的數(shù)值解與文獻(xiàn)[16]的數(shù)值解比較圖，從圖中可以發(fā)現(xiàn)結(jié)果吻合得很好，表明本文采用的數(shù)值方法是準(zhǔn)確有效的.

圖4 自由面波高

4.2 自由面波和圓柱體壓力數(shù)值模擬

首先，圖5(a)研究了當(dāng)浸沒深度h/R = 1.5 時，不同的圓柱體振動頻率下自由面波高變化規(guī)律，從圖5(a)得出當(dāng)振動頻率增大的時候，自由面波高也相應(yīng)的增大.圖5(b)中取ω = 0.5，研究不同的浸沒深度，得出浸沒深度越大，自由面波高越小.對比圖5(b)和圖5(c)在不同浸沒深度下的自由面波可以看到，振動頻率越大，自由面波高也大，說明這種論證不僅局限于一定的浸沒深度，對不同的浸沒深度也有這種效果.對比圖5(c)和圖5(d)，更加論證了上述浸沒深度越小，自由面波高越大的觀點.圖5(f)取浸沒深度h/R =1.5 一定時，數(shù)值模擬了不同振動振幅下，振動體對自由面波的影響情況，從圖中可以看出，振動體振幅越大，自由面波波高越大，影響效果越明顯.

圖5 不同振動參數(shù)下自由面波高變化規(guī)律

最后數(shù)值模擬了不同參數(shù)下，振動體圓柱體表面壓力情況.在圖6(a)，取浸沒深度h/R = 1.2，數(shù)值模擬了不同時刻下的圓柱體表面壓力情況，可以得到不同時刻下，圓柱體的壓力隨圓柱體的振動在進(jìn)行變化，而不是固定不變的.圖6(b)中，取浸沒深度h/R=1.5，對比圖6(a)和圖6(b)可以得到，浸沒深度的越小，振動圓柱體表面壓力越大.為了更形象的說明上述觀點，在圖6(c)中，取固定振動時刻t = 10s，在圖6(c)中，可以更清晰的論證上述觀點.圖6(d)模擬了不同振動振幅下，圓柱體周圍壓力變化情況，從圖6(d)中可以得出.振動振幅越大，振動圓柱體周圍壓力越大.

圖6 不同振動參數(shù)下圓柱體表面壓力變化規(guī)律

5 結(jié)論

本文基于源面板法，在二維無旋、無粘、不可壓縮的流體中，數(shù)值模擬了水下振動體振動對自由面波高和圓柱體壓力的影響.通過本文的數(shù)值模擬結(jié)果可知，圓柱體振動自由面波高和壓力的變化與圓柱體浸沒深度、圓柱體振動頻率以及振動體振動振幅有關(guān).隨振動體振動頻率或振動振幅的增大，自由面波高也隨之增大，減小振動體浸沒深度，自由面波高也逐漸增加.同時還得到，振動體振動振幅的增大也導(dǎo)致圓柱體表面壓力的增大，隨振動體浸沒深度的增大，振動體周圍壓力反而減小.