李曉梅　張秋　張麗欣

深度學習理論的提出不僅提供了深化教學的思想策略，也為教學實施提供了具體的模式和方法。審視當下的數(shù)學教學，仍存在重視對結(jié)論的理解、記憶和應用的“用數(shù)學”傾向，過分關(guān)注學生能否解決數(shù)學問題。深度學習理論要求我們不僅應該知道“是什么”，還應該知道“為什么”。重慶大學王翊等認為，基于深度學習的實驗教學應該采用四段式教學法。該教學法聚焦深度學習模型本身，將深度學習的教學過程分為了解模型、使用模型、理解模型、掌握模型四個階段，既解決了當前課堂教學面臨的理論問題過深、學生理解困難且動手能力差的問題，又解決了實驗課程中“把深度學習當作工具、只教如何應用、不求深入理解原理”的問題。我們通過對深度學習的研究，針對“種子課”提出了教學設(shè)計應該分成三個階段。

一、明確預期成果

本階段重點通過目標內(nèi)容的分析，明確預期成果目標，為具體設(shè)計提供方向。平行四邊形的面積是研究平面圖形面積的基礎(chǔ)，承擔著初步建模的任務，為后續(xù)其他平面圖形面積的學習提供基本的學習方法和經(jīng)驗，初步滲透轉(zhuǎn)化思想。

（一）內(nèi)容簡析

本節(jié)課是在長方形、正方形的面積和平行四邊形特征的基礎(chǔ)上進行學習的。學生在學習平面圖形面積度量時，經(jīng)歷著由單位面積度量到公式度量的過程。長方形和正方形的面積更多的是應用單位面積進行度量，計算公式也是由單位面積度量發(fā)展而來的。平行四邊形的面積是從單位面積度量到公式度量的銜接，由此，種下公式度量的“種子”。平面圖形面積公式推導的主要方法是轉(zhuǎn)化，而平行四邊形的面積是學生第一次用轉(zhuǎn)化的方法進行公式推導，它將為三角形、梯形、圓形的面積，以及立體圖形的表面積的學習，種下轉(zhuǎn)化思想的“種子”。

從數(shù)學思考經(jīng)驗方面看，研究平面圖形的面積，基本都立足于兩個問題：面積與什么有關(guān)？有什么關(guān)系？平行四邊形的面積承擔著初步建模的重任，給學生提供學習經(jīng)驗。在以后學習平面圖形的面積時，學生會主動從這兩個問題進行思考，種下數(shù)學思考的“種子”。

（二）教學目標

一是經(jīng)歷平行四邊形面積計算公式的推導過程，能運用公式正確計算平行四邊形面積，并解決相關(guān)的實際問題;二是通過圖形變換、轉(zhuǎn)化觀察、聯(lián)想操作等活動方式，讓學生獲得研究空間圖形面積的基本活動經(jīng)驗，初步理解和運用轉(zhuǎn)化，借助直觀模型研究等數(shù)學思想和方法;三是通過面積公式的推導，培養(yǎng)學生的探究、創(chuàng)新、應用意識，提高學習和解決問題的能力，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，體驗數(shù)學的實用價值。

（三）教學重難點

教學重難點是在面積推導過程中感受轉(zhuǎn)化思想方法的價值，探究平行四邊形面積公式。預期學生的收獲包括三個方面：一是能猜測平行四邊形的面積與底、高有關(guān);二是能將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，清晰轉(zhuǎn)化前后各部分的關(guān)系，并能推導出平行四邊形的面積公式;三是能應用公式準確計算平行四邊形的面積并解決實際問題。

二、選擇評估內(nèi)容與任務

本階段是根據(jù)設(shè)定的目標，明確目標實現(xiàn)的評估內(nèi)容，用于具體的目標達成度分析。在評估的基礎(chǔ)上，通過思考如何選擇目標任務，為后續(xù)的具體任務設(shè)計打好基礎(chǔ)。

（一）選擇評估內(nèi)容

通過分析，確定以下三點作為目標是否實現(xiàn)的評估內(nèi)容：

一是猜想并驗證平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，高不變，改變底的長短，引導學生用重疊法驗證面積與底有關(guān);提供不同高度等底的圖形，引導學生采用數(shù)格子、重疊比較、轉(zhuǎn)化的方法驗證面積與高有關(guān)，并初步感受轉(zhuǎn)化的方法。

二是用分割轉(zhuǎn)化的方法推導平行四邊形的面積公式：把不同大小和形狀的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，思考并交流轉(zhuǎn)化前后各部分的對應關(guān)系并推導出面積公式。

三是應用平行四邊形的面積公式解決實際問題，設(shè)置基本練習，求平行四邊形草坪的面積;設(shè)置變式練習，根據(jù)面積和底，求底對應的高。

（二）選擇目標任務

選擇的目標任務不僅要關(guān)注面積公式的應用，更要重視利用探究的活動對數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法進行有益的嘗試。本節(jié)課在設(shè)計上，需要突顯出兩點：一是轉(zhuǎn)化的思想，二是對平面圖形面積的數(shù)學思考。為了突出這兩個內(nèi)容，我們通過學習任務將靜態(tài)的結(jié)果變成了動態(tài)的演變過程，通過軟件將復雜的變化過程變成了直觀的形象。這樣，不但能看到面積與底和高的關(guān)系，而且也能感受到在變化之中的不變性。

轉(zhuǎn)化思想的落實可以分成兩步進行：第一步，要引導學生根據(jù)長方形和正方形的面積學習經(jīng)驗以及對平行四邊形的已有認識來猜測平行四邊形的面積與什么有關(guān);第二步，要引導學生通過“觀察—猜想—驗證—總結(jié)”這樣的過程逐步明確面積與底和高有關(guān)。在驗證面積與底有關(guān)時用到的數(shù)學方法是重疊法，這種方法卻不能用來驗證面積與高有關(guān)。這種疑難問題讓學生在教師的引導下利用其提供的材料去動手操作，在操作中選擇不同的方法來驗證。根據(jù)教學經(jīng)驗，應用轉(zhuǎn)化一定會出現(xiàn)。我們需要做的是揭示這種經(jīng)常用到的方法就是轉(zhuǎn)化。

明確了這種方法就是轉(zhuǎn)化之后，要使全體學生再次體會轉(zhuǎn)化：把一個任意的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。在這個任務中，學生在熟悉、應用轉(zhuǎn)化的同時也推導出了平行四邊形的面積公式，感受到了轉(zhuǎn)化在數(shù)學中的重要作用。

接下來，還要立足于平行四邊形面積公式，通過實踐操作，讓學生觀察平行四邊形面積與底和高的關(guān)系變化，在猜想、驗證和總結(jié)中，深化對這一公式的理解。此外，還可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，為后面要學習的內(nèi)容做好鋪墊。

我們設(shè)計了兩個步驟讓學生理解面積與底和高有關(guān)。第一步，先保持高不變，改變底的長度，讓學生觀察面積的變化。他們會發(fā)現(xiàn)在高不變時，底變大面積也會變大，底變小面積也會變小。第二步，使用數(shù)學的方法——重疊法驗證這個發(fā)現(xiàn)的正確性。研究面積與底有關(guān)的學習經(jīng)驗是研究面積與高有關(guān)的方法基礎(chǔ)，要引導學生按照相同的方法去研究面積與高有關(guān)。

這樣，學生通過“觀察—猜想—驗證—總結(jié)”這樣的過程明確了底和高的改變會帶來面積的變化，平行四邊形的面積是與底和高有關(guān)的。安排全體學生都去感受轉(zhuǎn)化，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。在轉(zhuǎn)化的同時給學生呈現(xiàn)了思考的問題，這些問題均指向面積與底和高有什么關(guān)系，即公式的推導。這樣的設(shè)計就突破了那種為了推導而推導的問題，讓公式的推導成了熟悉感受轉(zhuǎn)化的附屬，學生接受起來就順理成章了。自我評價的反思總結(jié)，則通過和學生的共同梳理，讓轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法和研究平面圖形的數(shù)學思考在他們心中逐漸立體、豐滿，為后續(xù)的學習奠定了堅實的基礎(chǔ)。

三、設(shè)計教學活動

根據(jù)課程目標，我們將具體的教學活動進行了如下設(shè)計。

（一）猜想驗證——平行四邊形面積與什么有關(guān)

1.回顧舊知，激活經(jīng)驗

先復習提問：你是怎樣計算長方形和正方形的面積的？（電腦出示長方形正方形的圖形）學生搶答，并回憶長方形和正方形的面積公式。

再引發(fā)沖突，出示課題：在長方形和正方形的圖形基礎(chǔ)上加入平行四邊形?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e我們還沒學過，今天我們就來研究平行四邊形的面積?！保ò鍟n題）

2.猜測驗證，積累經(jīng)驗

先引導猜測：關(guān)于平行四邊形你都知道些什么？猜猜平行四邊形的面積與什么有關(guān)？學生回憶平行四邊形的特征，根據(jù)經(jīng)驗猜測面積與底和高有關(guān)。

再對比長方形與平行四邊形的關(guān)系，尋找丟失的“高”。提問：（電腦演示）底不變，高改變后，面積有什么變化？怎么驗證你的想法？

引導學生觀察對比，發(fā)現(xiàn)高不變，底改變帶來面積的變化，學生會根據(jù)驗證底的方法來驗證，出現(xiàn)認知沖突，重疊無法驗證。引發(fā)思考，需要其他的方法來驗證。

最后，操作驗證。利用1號信封中的三個等底的平行四邊形，可以畫一畫，數(shù)一數(shù)，剪一剪，拼一拼，用數(shù)學的方法來驗證：平行四邊形的底相同時，高越長，面積越大;高越短，面積越小。

預設(shè)方法1：一格一格地數(shù)格子。

預設(shè)方法2：先拼成長方形，再數(shù)格子。

預設(shè)方法3：拼成長方形，重疊比較。

預設(shè)方法4：拼成長方形，用長方形的面積公式計算。

3.再現(xiàn)方法，明晰轉(zhuǎn)化

我們在驗證平行四邊形的面積與什么有關(guān)的過程中，想到了一個方法：將平行四邊形剪開，拼到了另一邊。就是這么一剪、一拼，就將平行四邊形進行了等積變換，這種方法在數(shù)學上就叫轉(zhuǎn)化。當我們遇到新的知識，遇到不會解決的問題時，就可以用這種方法變成已學會的舊知識來解決。

圍繞“面積與什么有關(guān)”這樣的核心問題，借由長方形和正方形的面積的回顧，根據(jù)對平行四邊形已有的認知，學生猜測出面積與底和高有關(guān)并不困難?？墒?，怎樣在“觀察—猜想—驗證—總結(jié)”的過程中既能讓學生獲得研究平面圖形面積的基本學習經(jīng)驗，又能夠初步感受轉(zhuǎn)化在其中的意義和作用？這是我們思考的重點。

在設(shè)計中，先通過觀察猜想平行四邊形的面積與底有關(guān)，再通過重疊的方法驗證猜想是否正確。有了這個學習經(jīng)驗，加上教師的有意引導，學生會順理成章地用相同的方法來驗證面積與高有關(guān)。這時，就產(chǎn)生了認知沖突：驗證面積與底有關(guān)時好用的“重疊法”居然不能用來驗證面積與高的關(guān)系。這樣，就使學生不得不思考使用其他的數(shù)學方法進行驗證。利用有設(shè)計的材料，在后續(xù)的動手操作驗證環(huán)節(jié)，學生會主動運用轉(zhuǎn)化的方法來進行比較。學生經(jīng)歷了“觀察—猜想—驗證—總結(jié)”這樣完整的研究數(shù)學問題的過程，就能主動運用轉(zhuǎn)化的方法解決問題，初步感受轉(zhuǎn)化方法在數(shù)學學習中的作用。

（二）轉(zhuǎn)化推導——面積與底和高有什么關(guān)系

1.豐富體驗，探究關(guān)系

先提出問題：任意的一個平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長方形嗎？用2號信封中的平行四邊形進行轉(zhuǎn)化（信封中提供大小、形狀，高的位置都不相同的平行四邊形）。再引導思考：轉(zhuǎn)化前后的圖形有什么關(guān)系？學生獨立操作，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，并交流轉(zhuǎn)化的方法，以及轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系，由此推導出面積公式。

2.拓展辨析，深化本質(zhì)

先提出問題：沿任何一條高剪開都可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。那如果不沿著高剪開進行轉(zhuǎn)化行不行呢？電腦出示沿對角線剪開拼成平行四邊形，引導學生討論辨析，明確轉(zhuǎn)化的目的是為了把不會的問題轉(zhuǎn)化成會的問題，不是為了轉(zhuǎn)化而轉(zhuǎn)化。再追問：既然我們的目的是為了把不會的平行四邊形轉(zhuǎn)化成會的長方形，那么，將平行四邊形的框架拉成長方形，用這種方式轉(zhuǎn)化可以嗎？實物框架有兩個：一個不變，一個拉成長方形。引導學生觀察思考，辨析后明確轉(zhuǎn)化前后的問題不能改變。

3.總結(jié)提升，積累經(jīng)驗

我們用轉(zhuǎn)化的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成了已學過的長方形，從而不但知道了平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，還知道了有什么關(guān)系：就是面積=底×高。數(shù)學上我們用S表示面積，用a表示底，用h表示高，平行四邊形的面積公式用字母可以表示為S=ah，這就是平行四邊形的面積公式。在計算平行四邊形的面積時，就可以用公式進行計算，不需要再數(shù)格子那么麻煩，也不需要每次求平行四邊形的面積都現(xiàn)轉(zhuǎn)化了。

在以往的教學中，我們往往用“平行四邊形的面積公式是怎么推導的”這樣的問題引領(lǐng)學生進行操作，實際上學生并不是很理解什么叫“推導”，這樣的問題無法引領(lǐng)真正學習的發(fā)生。所以，我們將任務設(shè)計成帶著問題體會轉(zhuǎn)化，在體會將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程中，在問題的引領(lǐng)下，探究出面積與底和高的關(guān)系，其實就是平行四邊形的面積公式。這樣的問題框架與前面的任務相互呼應，學生可以輕松地得到平行四邊形的面積公式。在拓展辨析環(huán)節(jié)，則引領(lǐng)學生對轉(zhuǎn)化的理解走向了深入，觸碰了其本質(zhì)。

（三）鞏固應用——還可以解決什么問題

1.基本應用，熟悉公式

（電腦出示底、高和斜邊的平行四邊形）規(guī)劃中的道路有一個平行四邊形的草坪，求平行四邊形草坪的面積。

學生先獨立計算，再全班交流。引導學生通過思考明確用公式計算底和高求面積時，底和高要對應（板書“對應”）。

2.變式應用，深化關(guān)系

提問：25米可以當?shù)讍?？如?5米當?shù)?，高在哪里?/p>

學生先指出對應的高，再獨立求出這條高的長度，全班交流。

在本環(huán)節(jié)首先安排了一道基本應用公式的練習，其目的是既讓學生熟悉公式的應用，感受公式度量面積的便利性，同時也進一步強調(diào)公式應用的條件，底和高必須相對應，強化公式的正確性。在此基礎(chǔ)上改變條件，讓學生根據(jù)面積和底求高，使他們更加清晰面積、底和高之間所存在的關(guān)系，能培養(yǎng)變通能力和舉一反三的能力。

3.總結(jié)反思，內(nèi)化提升

提問：你學會了什么？是怎么學會的？

引導學生總結(jié)學習方法，內(nèi)化提升（電腦演示）。通過總結(jié)，清晰地呈現(xiàn)本節(jié)課的收獲和學習方法。幫助學生梳理知識的同時，也引導他們逐步學會提煉學習方法，培養(yǎng)學生的歸納概括能力。同時，通過梳理的圖示，強調(diào)知識間的聯(lián)系，明確研究平面圖形面積的數(shù)學思考方法，為后續(xù)的學習奠定知識和方法的基礎(chǔ)。

（責任編輯：楊強）