劉勇，羅德林，石翠，吳華新

（1.工業(yè)和信息化部電子第五研究所，廣州510610；2.廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，廈門361102； 3.空軍預(yù)警學(xué)院，武漢430019）

組合導(dǎo)航系統(tǒng)（Integrated Navigation System）是將北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)/全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（Global Navigation Satellite System）和慣性定向定位導(dǎo)航系統(tǒng)（Inertial Navigation System，INS）等2種以上的設(shè)備以適當(dāng)?shù)姆绞接袡C(jī)組合來提高系統(tǒng)整體導(dǎo)航能力的綜合信息服務(wù)系統(tǒng)，其具有定位精度高、可靠性好、性能強(qiáng)、優(yōu)勢(shì)明顯等特點(diǎn)。組合導(dǎo)航系統(tǒng)能為制導(dǎo)定位、武器校準(zhǔn)和引導(dǎo)航行等提供實(shí)時(shí)可靠的高精度導(dǎo)航信息，對(duì)于艦艇的戰(zhàn)斗力和飛機(jī)的安全航行具有重要的影響［1］。傳統(tǒng)的故障樹分析方法，假設(shè)系統(tǒng)只是存在“非此即彼”的二元狀態(tài)，且認(rèn)為故障精確可知，應(yīng)用布爾代數(shù)和概率論的理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析［2］。將模糊理論和故障樹分析方法有機(jī)結(jié)合，可以解決不同領(lǐng)域、不同類別系統(tǒng)的可靠性和不確定性問題［3-5］?；谀：壿嫷腡-S模糊故障樹模型［6］，解決故障機(jī)理和故障概率不明確條件下系統(tǒng)失效概率的計(jì)算問題，并以多態(tài)導(dǎo)航系統(tǒng)為實(shí)例進(jìn)行了分析。

傳統(tǒng)對(duì)于導(dǎo)航系統(tǒng)可靠性的研究，大都采用故障樹分析方法和模糊理論相結(jié)合，將多態(tài)替代二態(tài)故障樹引入到故障樹事件的分析研究，有效地解決了故障機(jī)理未知、故障狀態(tài)多樣的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性計(jì)算分析的問題［7-9］。然而，現(xiàn)有的研究成果主要關(guān)注的是導(dǎo)航系統(tǒng)的功能故障，而對(duì)于導(dǎo)航系統(tǒng)處于正常、輕微故障和故障等多種狀態(tài)下完成功能的系統(tǒng)的性能水平卻鮮有研究。本文提出的T-S模糊故障樹導(dǎo)航系統(tǒng)性能分析方法，將T-S模糊故障樹建模思想與概率統(tǒng)計(jì)理論中數(shù)學(xué)期望的方法相結(jié)合，求解某一時(shí)間系統(tǒng)在多種故障狀態(tài)下事件所代表的期望性能，實(shí)現(xiàn)由導(dǎo)航系統(tǒng)故障建模與功能性能可靠性的轉(zhuǎn)化，解決了故障機(jī)理模糊、故障狀態(tài)多樣時(shí)導(dǎo)航系統(tǒng)性能可靠性的求解及評(píng)估問題。

1 T-S模糊故障樹

1.1 T-S模糊故障樹模型事件描述方法

T-S模糊故障樹模型是一種基于規(guī)則的模型，其基于線性變換規(guī)則，實(shí)現(xiàn)由模糊模型前件變量到后件結(jié)論變量的映射。模糊變換的規(guī)則如下［10］：

式中：f（x）為線性函數(shù)。令l=1，2，…，m，假設(shè)有輸入事件n個(gè)，給定模糊規(guī)則m條，對(duì)于單個(gè)輸出事件系統(tǒng)的T-S模糊推理模型如下：

實(shí)際過程中，精確的數(shù)值無法描述故障的程度，因而，假設(shè)模糊數(shù)0表示系統(tǒng)“無故障”、模糊數(shù)0.5表示系統(tǒng)“輕度故障”、模糊數(shù)1表示系統(tǒng)“嚴(yán)重故障”，以如圖1所示的梯形隸屬函數(shù)表示模糊數(shù)的隸屬函數(shù)。

圖1 模糊數(shù)的隸屬函數(shù)Fig.1 Membership functions for fuzzy numbers

隸屬函數(shù)表達(dá)式為

根據(jù)圖1可知，若取s=0時(shí)，模糊數(shù)轉(zhuǎn)換成常數(shù)，若取k=0時(shí)，梯形隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)變成三角形隸屬函數(shù)。

1.2 T-S模糊故障樹基本算法

因此，上級(jí)事件的模糊可能性為

設(shè)x′=（x′1，x′2，…，x′n）為底事件x=（x1，x2，…，xn）的故障程度，則上級(jí)事件故障程度的模糊可能性估算如下［13］：

因此，根據(jù)T-S門規(guī)則，結(jié)合下級(jí)事件x的模糊可能性，應(yīng)用式（5）進(jìn)行逐級(jí)遞推，可求解上級(jí)事件y的各種模糊可能性。同理，根據(jù)T-S門規(guī)則，只要知道下級(jí)事件x的故障程度x′，應(yīng)用式（6）進(jìn)行逐級(jí)遞推，很容易估算上級(jí)事件故障程度的模糊可能性。

2 基于T-S模糊故障樹的多態(tài)導(dǎo)航系統(tǒng)的性能可靠性模型

通常以故障樹中的頂事件代表某一系統(tǒng)，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的期望理論，引入系統(tǒng)最佳初始性能值方法，計(jì)算系統(tǒng)處于不同故障狀態(tài)下的模糊可能性，以及系統(tǒng)處于該狀態(tài)下的性能值，進(jìn)而求取系統(tǒng)性能可靠性的估計(jì)值［14］。

2.1 系統(tǒng)性能可靠性

令頂事件T表示的系統(tǒng)性能參數(shù)為WX，為初始狀態(tài)下WX的最佳性能值，WXq表示系統(tǒng)處于故障狀態(tài)q某一時(shí)刻頂事件T的性能值。設(shè)系統(tǒng)處于故障狀態(tài)q時(shí)，頂事件T的性能值為WXq，則頂事件故障狀態(tài)Tq的概率為［15］

則系統(tǒng)的性能可靠性可以表示為

式中：E（WX）為多故障狀態(tài)下系統(tǒng)的期望性能；為初始狀態(tài)的下系統(tǒng)最佳性能。

2.2 不同層級(jí)事件故障時(shí)的系統(tǒng)性能可靠性

2.2.1 底事件故障時(shí)的系統(tǒng)性能可靠性

參考文獻(xiàn)［16］，若底事件xi的故障狀態(tài)為，在故障狀態(tài)為Tq條件下，頂事件T故障的條件概率為

可求得底事件xi的故障狀態(tài)為時(shí)系統(tǒng)的期望性能如下：

則已知底事件故障狀態(tài)，可求得系統(tǒng)故障時(shí)的性能可靠性為

當(dāng)T-S模糊故障樹的底事件發(fā)生故障，卻未知其處于何種故障狀態(tài)時(shí)，此時(shí)可取任意一種故障狀態(tài)對(duì)底事件的故障情況進(jìn)行表示，應(yīng)用均值計(jì)算方法，取底事件處在某一故障狀態(tài)的概率為1/ki，求解系統(tǒng)的期望性能的公式如下：

式中：ki為底事件故障狀態(tài)總數(shù)。

系統(tǒng)底事件的故障狀態(tài)未知，其發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)的性能可靠性為

2.2.2 中間事件故障時(shí)的系統(tǒng)性能可靠性

若中間事件yj處于故障狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的期望性能為

則中間事件其所處的故障狀態(tài)已知時(shí)，其性能可靠性為

若T-S模糊故障樹的中間事件yj發(fā)生故障，且其故障狀態(tài)未知時(shí)，此時(shí)可取任意一種故障狀態(tài)對(duì)中間事件的故障情況進(jìn)行表示，采取均值計(jì)算方法，取中間事件處在某一故障狀態(tài)的概率為1/kj，求解系統(tǒng)的期望性能的公式如下：

在未知系統(tǒng)中間事件故障狀態(tài)條件下，其發(fā)生故障的性能可靠性為

3 案例分析

3.1 導(dǎo)航系統(tǒng)T-S模糊故障樹

組合導(dǎo)航是指采用網(wǎng)絡(luò)化手段，將2種以上的單一系統(tǒng)組合在一起，綜合多種導(dǎo)航設(shè)備的優(yōu)勢(shì)，解決單一導(dǎo)航系統(tǒng)的局限和限制，形成多種信息源共享互補(bǔ)的多維度和高精度多功能系統(tǒng)。GPS/INS是組合導(dǎo)航系統(tǒng)中較為典型的一種，組合導(dǎo)航系統(tǒng)包括控制顯示器、組合傳感器、Kalman濾波器和電源4個(gè)組成部分［2］。組合導(dǎo)航系統(tǒng)主要由電子設(shè)備組成，其各個(gè)部件的固有可靠性水平不同，發(fā)生故障程度會(huì)有一定差異，系統(tǒng)發(fā)生故障具有不確定性。

組合導(dǎo)航系統(tǒng)T-S模糊故障樹如圖2所示。

圖2 組合導(dǎo)航系統(tǒng)T-S模糊故障樹Fig.2 T-S fuzzy fault tree of integrated navigation system

根據(jù)模糊故障樹規(guī)則，采用模糊數(shù)0、0.5、1描述事件“無故障”、“輕度故障”和“嚴(yán)重故障”3種故障狀態(tài)，參考文獻(xiàn)［5］，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)和專家數(shù)據(jù)得到T-S門3和T-S門4規(guī)則如表1、表2所示。

限于篇幅，其他T-S門規(guī)則不在本文中描述。

表1 T-S門3規(guī)則Table 1 Rules for T-S gate 3

表2 T-S門4規(guī)則Table 2 Rules for T-S gate 4

3.2 T-S模糊故障樹轉(zhuǎn)化為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)T-S模糊故障樹轉(zhuǎn)換成BN的規(guī)則，參見文獻(xiàn)［11］的轉(zhuǎn)換方法，T-S模糊故障樹中的底事件可轉(zhuǎn)換成BN的根節(jié)點(diǎn)，T-S模糊故障樹中的中間事件轉(zhuǎn)換成BN的中間節(jié)點(diǎn)，T-S模糊故障樹中的頂事件轉(zhuǎn)換成BN的葉節(jié)點(diǎn)。

3.2.1 頂事件的期望性能

組合導(dǎo)航系統(tǒng)所涉及的性能問題主要是系統(tǒng)的姿態(tài)精度、速度精度和位置精度的問題，在此關(guān)注組合導(dǎo)航使用過程中的位置精度問題，由于系統(tǒng)處于不同的故障程度，導(dǎo)致其位置精度各不相同。假設(shè)組合導(dǎo)航系統(tǒng)位置精度性能變量為WX，WXq表示頂事件T即組合導(dǎo)航系統(tǒng)在第q個(gè)狀態(tài)下系統(tǒng)的性能值。對(duì)于頂事件T，分別用語言值0、0.5、1，對(duì)其3個(gè)故障狀態(tài)進(jìn)行描述，結(jié)合圖3，以表3表示不同故障狀態(tài)下的定位精度。

組合導(dǎo)航系統(tǒng)屬于電子設(shè)備，通常假定底事件故障發(fā)生服從指數(shù)分布，其可靠度函數(shù)為

圖3 組合導(dǎo)航系統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Bayesian network diagram of integrated navigation system

令t=3 000 h，以底事件x1為例，當(dāng)其處于故障狀態(tài)0時(shí)，其模糊可能性求解如下［8］：

則事件x1處于故障狀態(tài)0.5或1時(shí)的模糊可能性為

同理，可計(jì)算底事件x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8，結(jié)果如表4所示。

由表1、表2可計(jì)算中間事件y1、y2的模糊可能性。

同理，可求得P（y1=0.5）、P（y1=1）、P（y2=0）、P（y2=0.5）、P（y2=1），結(jié)果如表5所示。

表3 不同故障狀態(tài)下的定位精度Table 3 Positioning accuracy for different fault conditions

表4 底事件的模糊可能性Table 4 Fuzzy possibility for base even t

根據(jù)模糊門規(guī)則推理，可求得頂事件的模糊可能性，計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表5 中間事件的模糊可能性Table 5 Fuzzy possibility for intermediate event

表6 頂事件的模糊可能性Table 6 Fuzzy possibility for top event

由表3及表6可計(jì)算得到系統(tǒng)期望性能為

隨著時(shí)間的增加，系統(tǒng)故障發(fā)生概率上升，系統(tǒng)的性能下降，其定位精度降低，該指標(biāo)與系統(tǒng)性能成正相關(guān)，系統(tǒng)的性能可靠性為

3.2.2 條件概率下頂事件的期望性能

參考文獻(xiàn)［16］假設(shè)中間事件處于故障狀態(tài)0.5時(shí)，系統(tǒng)的期望性能為

根據(jù)2.2.2節(jié)方法，求得中間事件故障狀態(tài)取值0.5時(shí)，頂事件的模糊可能性，如表7表示。

表7 中間事件故障時(shí)頂事件的模糊可能性Table 7 Fuzzy possibility for top event when intermediate event fails

由表2和表6得到系統(tǒng)條件期望性能和性能可靠性的值分別為0.018 9和0.121 8。同理，可以計(jì)算確定故障狀態(tài)底事件和未知故障狀態(tài)底事件時(shí)導(dǎo)航系統(tǒng)性能可靠性。

本節(jié)應(yīng)用實(shí)例，分別計(jì)算了工作3 000 h且明確底事件和中間事件故障狀態(tài)時(shí)的GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)性能可靠性。隨著工作時(shí)間的增加，組合導(dǎo)航系統(tǒng)可靠性逐漸下降，在系統(tǒng)工作3 000 h后，故障發(fā)生概率上升，系統(tǒng)可靠性下降，對(duì)系統(tǒng)精度產(chǎn)生了一定的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)性能可靠性指標(biāo)下降，所求得的性能可靠值為0.876 8。

系統(tǒng)的故障狀態(tài)是對(duì)系統(tǒng)性能產(chǎn)生影響的重要因素之一。不同層次事件的故障狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)性能影響有所不同，根據(jù)計(jì)算結(jié)果得出中間層的位置在系統(tǒng)中非常關(guān)鍵，即便是系統(tǒng)中間層輕微故障，也會(huì)引起系統(tǒng)性能可靠性的較大下降，差值為0.755。這個(gè)與T-S門規(guī)則分析的結(jié)果一致。

4 結(jié) 論

1）針對(duì)T-S模糊故障樹模型無法解決人們關(guān)注的導(dǎo)航系統(tǒng)故障與性能有機(jī)關(guān)聯(lián)問題，通過構(gòu)建導(dǎo)航系統(tǒng)T-S模糊故障樹模型，引入性能變量，計(jì)算故障機(jī)理模糊、故障狀態(tài)多樣時(shí)導(dǎo)航系統(tǒng)性能可靠性問題。

2）針對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的性能可靠性的求解，本文提出了2點(diǎn)思路：一是著眼于對(duì)基本故障數(shù)據(jù)的分析，由下至上逐層遞推，計(jì)算組合導(dǎo)航系統(tǒng)性能可靠性；二是分別從不同層級(jí)事件故障狀態(tài)出發(fā)，根據(jù)模糊邏輯和網(wǎng)絡(luò)規(guī)則對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)性能可靠性求解。

3）本文以典型的組合導(dǎo)航系統(tǒng)為例，構(gòu)建了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，求解了其頂事件在不同狀態(tài)下的系統(tǒng)精度的性能可靠性，計(jì)算結(jié)果對(duì)方法的可行性和有效性進(jìn)行了進(jìn)一步驗(yàn)證，充分說明該方法對(duì)于分析復(fù)雜多態(tài)導(dǎo)航系統(tǒng)性能具有可行性和實(shí)用性。