白潔靜

摘? 要：該文利用層次分析法，對空襲中20個具有不同屬性的空襲目標(biāo)，進(jìn)行了屬性與威脅程度之間關(guān)系的評價，并按照威脅程度由高到低對來襲目標(biāo)進(jìn)行了排序;為了保護(hù)己方戰(zhàn)略要地以及80 km外的物資要地，根據(jù)給定的25個戰(zhàn)略防空武器的相關(guān)數(shù)據(jù)及打擊要求，建立了優(yōu)化模型，針對來襲目標(biāo)設(shè)計(jì)最佳打擊方案，使得來襲目標(biāo)對我方的威脅程度降到最低。

關(guān)鍵詞：層次分析法? 一致性檢驗(yàn)? 優(yōu)化模型? 目標(biāo)函數(shù)? 約束條件

中圖分類號：E919???????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??????????????????? 文章編號：1672-3791（2021）01（a）-0001-06

Judging the Threat Degree of Multi-targets in the Air and Strike Plan

BAI? Jiejing*

（Nanjing Vocational College of Information Technology? Department of Quality-oriented Education， Nanjing， Jiangsu Province， 210023 China）

Abstract：In this paper， the analytic hierarchy process（AHP）is used to evaluate the relationship between the attributes and threat level of 20 air raid targets with different attributes， and the incoming targets are ranked according to the threat level from high to low. In order to protect our strategic locations and material locations 80 kilometers away， an optimization model was established to design the best strike plan for the incoming targets so as to minimize the threat of the incoming targets to us according to the relevant data and strike requirements of 25 strategic air defense weapons.

Key Words：Analytic hierarchy process（AHP）; Consistency check; Optimization model; Object function; Constraint condition

1? 問題的提出

該題目來源于2018年第二屆全國大學(xué)生軍事數(shù)學(xué)建模競賽C題，紅方探測到20批藍(lán)方空襲目標(biāo)的屬性信息，為保證紅方在反空襲綜合演練中取得勝利，為保證紅方在反空襲綜合演練中取得勝利，要求建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：問題一：對來襲目標(biāo)的屬性與威脅程度之間的關(guān)系進(jìn)行評價;問題二：建立判別來襲目標(biāo)威脅程度的數(shù)學(xué)模型，并按照威脅程度由高到低對來襲目標(biāo)進(jìn)行排序;問題三：如果在紅方戰(zhàn)略要地A點(diǎn)正北方80 km處有一個物資要地B點(diǎn)，在空襲中需要紅方重點(diǎn)保護(hù)，A點(diǎn)裝備的戰(zhàn)略防空武器的相關(guān)數(shù)據(jù)已給定，已知20批藍(lán)方空襲目標(biāo)的航向在一定時間內(nèi)始終為正西方，請根據(jù)來襲目標(biāo)對A、B點(diǎn)的威脅程度，設(shè)計(jì)一種最佳打擊方案，并對該方案的實(shí)施效果進(jìn)行評價。

2? 模型的建立及求解

2.1 針對問題一：建立層次分析模型判斷目標(biāo)屬性的威脅程度及來襲目標(biāo)的威脅程度

首先，建立層次分析模型[1]。如圖1所示，目標(biāo)層為來襲目標(biāo)威脅度，準(zhǔn)則層是目標(biāo)屬性，分別為目標(biāo)類型、目標(biāo)距離、目標(biāo)速度、目標(biāo)高度、目標(biāo)干擾能力、目標(biāo)到達(dá)時間，方案層則為藍(lán)方來襲的1～20號目標(biāo)。

然后，構(gòu)造方案層對準(zhǔn)則層各屬性的判斷矩陣。為了使各屬性之間的比較能夠有效量化，我們引入確定判斷矩陣中元素aij值的9級標(biāo)度。對于來襲目標(biāo)類型我們判定類型越大威脅度越高，即威脅度：大>小>直升機(jī);對于方位角[2]，我們判定方位角越接近π/2威脅度越高;目標(biāo)與陣地A之間距離越大，陣地A點(diǎn)相對越安全，即威脅度越小;目標(biāo)速度越大，威脅度越大;目標(biāo)高度越高，威脅度越小;來襲目標(biāo)干擾能力越高，威脅度越大。利用以上的6個評估準(zhǔn)則和表1的標(biāo)度值定義，可以將20個目標(biāo)針對6個屬性分別確定出判斷矩陣，即做出6個20×20的判斷矩陣。通過計(jì)算判斷矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量，然后將特征向量進(jìn)行歸一化之后作為目標(biāo)屬性的權(quán)重向量。

在確定最終權(quán)重之前我們先對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)[3]，計(jì)算判斷矩陣一致性指標(biāo)，一致性比率，其中RI為n階比較矩陣的平均一致性指標(biāo)，也稱隨機(jī)一致性指標(biāo)，具體值見表1。

當(dāng)CR<0.1時，我們認(rèn)為判斷矩陣具有一致性，其歸一化之后的特征向量可以作為目標(biāo)屬性的權(quán)重向量（該模型6個方案層對準(zhǔn)則層的矩陣都通過一致性檢驗(yàn)）。

將方案層對準(zhǔn)則層各個屬性進(jìn)行歸一化處理，整理得到20×6的整體權(quán)重矩陣WC。

最后列出準(zhǔn)則層6個屬性對于目標(biāo)層的判斷矩陣（見表3）。

通過MATLAB程序運(yùn)算[5]可以得出最大特征值=6.070 6，權(quán)重向量：

[0.242 7，0.038 3，0.110 2，0.133 4，0.184 1，0.291 2]T

經(jīng)驗(yàn)證該模型中的一致性指標(biāo)CI=0.014 12，一致性比率CR=0.011 39<0.1，由此，表3所列矩陣通過一致性檢驗(yàn)。由該判斷矩陣計(jì)算得到的權(quán)重向量中元素值越大，說明其對應(yīng)的屬性威脅度越大。因此我們得到結(jié)論：來襲目標(biāo)的干擾能力對于威脅程度影響最大，其次是來襲目標(biāo)類型，而來襲目標(biāo)的高度、速度、距離影響相對小一點(diǎn)，目標(biāo)方位角對威脅程度的影響最小。

2.2 針對問題二：計(jì)算方案層對目標(biāo)層的權(quán)重向量

我們已經(jīng)得到20個來襲目標(biāo)相對準(zhǔn)則層6個屬性的權(quán)重向量所組成的矩陣WC及來襲目標(biāo)屬性的權(quán)重W，將W作為該模型準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)重WP，綜合兩層判斷矩陣得到方案層對目標(biāo)層的權(quán)重向量。

根據(jù)向量中元素值越大，說明其對應(yīng)的目標(biāo)威脅度越大，方案層20個來襲目標(biāo)的威脅程度排序結(jié)果為：13>10>6>7>2>14>15>1>11>4>3>8>5>9>16>12>19>18>20>17。

2.3 針對問題三：建立優(yōu)化模型設(shè)計(jì)最佳打擊方案

（1）模型的建立。

為了建立優(yōu)化模型[4]，我們做以下假設(shè)：設(shè)第j次攔截時發(fā)射了X型防空武器xj枚，Y型防空武器yj枚，Z型防空武器zj枚。發(fā)射時間為tj，j=1，2，3，…，m。其中m為總的攔截次數(shù)。

①因?yàn)榉揽瘴淦饔邪l(fā)射時間間隔的要求，所以對于3種型號的防空武器，發(fā)射第j枚和第j+1枚的時間間隔不能小于規(guī)定值，即：

式中，用于表示兩次發(fā)射時間的間隔，而，

其中為符號函數(shù)：

②防空武器因其種類、配置、攻擊目標(biāo)的不同射程也有所區(qū)別，設(shè)在第j次攔截時，i目標(biāo)接受了X型αij，次，Y型次，Z型次攔截，即：

其中表示在第j次攔截時第i個來襲目標(biāo)與A的距離。

③由于戰(zhàn)略要地A點(diǎn)的防空武器彈頭數(shù)量有限制，我們考慮約束：

當(dāng)t=0時有3個目標(biāo)在200 km以外，所以至少需要兩次攔截。即2≤m≤10+8+7=25，其中0≤αij≤10，0≤????? ≤8，0≤≤7。

④設(shè)經(jīng)過第j次攔截后，i目標(biāo)對A的威脅率為，對B的威脅率為，則：

此處為與t相關(guān)的威脅函數(shù)，隨時間越長，受威脅程度越大。經(jīng)過j次攔截之后，A及B所受到的威脅率分別為：

所以第j次攔截后，我方所受的總威脅率為：

最終目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式：

至此模型建立完成，即求解帶約束的優(yōu)化模型??? 如下：

約束條件：

（2）模型的求解。

在2.2中我們已經(jīng)求得來襲目標(biāo)對于A點(diǎn)的威脅程度，因?yàn)槲镔Y要地B點(diǎn)也需要重點(diǎn)保護(hù)，我們針對B點(diǎn)也計(jì)算了威脅程度。由于B點(diǎn)在A點(diǎn)正北方80 km處，目標(biāo)方位角和目標(biāo)距離都需要重新計(jì)算，在得到來襲目標(biāo)相對于B點(diǎn)目標(biāo)距離與目標(biāo)方位角數(shù)據(jù)后，應(yīng)用與問題2.2同樣的求解方式，得到藍(lán)方來襲目標(biāo)對B點(diǎn)的威脅程度的權(quán)重向量WB：

即20個來襲目標(biāo)對于物資要地B點(diǎn)的威脅度排?? 序?yàn)椋?/p>

13>6>14>10>7>4>2>3>9>15>1>11>8>12>16>5>19>18>20>17

模型計(jì)算中由于所有目標(biāo)在幾分鐘內(nèi)進(jìn)入攔截射程，而攔截導(dǎo)彈最多在485 s內(nèi)（25×7=175，20×8=160，15×10=150）打完，所以我們忽略該段時間內(nèi)我方的裝備損失，在計(jì)算中認(rèn)為，受時間影響不大，即為WA和WB。對于權(quán)重λ，注意到若A被擊毀，則B也就不受保護(hù)，考慮到側(cè)重保護(hù)B，所以對于A點(diǎn)的保護(hù)權(quán)重取λ=0.6。而f（t）由于時間較短，我們認(rèn)為不受時間影響，即f（t）=1。

所以模型的目標(biāo)函數(shù)可以簡化為：

通過MATLAB編程求解，求得的攔截方案即攔截步驟為：

第一步：在時間t=0時，即在起始時間為0時用Y、Y、Z、Y、Z、Y、Z、Y、Z、Y、Z、Y、Z、Y、Z型武器分別攔截目標(biāo)13、6、2、4、3、11、9、12、5、19、18、17、10、7、15。

第二步：在時間t=45.058 7時，用一枚X型武器攔截目標(biāo)15。

第三步：在時間t=104.172 3和t=115.172 6時，用兩枚X型武器分別攔截目標(biāo)10和7。

第四步：在時間t=150.610 8時，用兩枚X型武器攔截目標(biāo)1;在時間t=155.493 8時，一枚X型武器攔截目標(biāo)8;在時間t=158.965 9時，用兩枚X型武器攔截目標(biāo)14。

第五步：在時間t=221.086 3時，用一枚X型武器攔截目標(biāo)16。

第六步：在時間t=469.076 6時，用一枚X型武器攔截目標(biāo)20。

這六步的間隔時間足以讓同類型的導(dǎo)彈發(fā)射。

結(jié)論：按以上攔截，經(jīng)過469.076 6s后，我方攔截武器發(fā)射完畢，經(jīng)過895.235 0s后，我方受危險程度由原來的1降為0.181 8，危險降低了1-0.181 8=0.818 1，即毀傷目標(biāo)的概率達(dá)到了0.818 1。

3? 模型的評價

從所給防空武器的類型來看，X型武器的毀傷目標(biāo)概率為0.6，Y型武器的毀傷目標(biāo)概率為0.85，Z型武器的毀傷目標(biāo)概率為0.8，即相當(dāng)于兩枚X型武器重復(fù)打擊目標(biāo)的毀傷概率為1-（1-0.6）2=0.84，和一枚Y型武器的毀傷概率是基本類似的。這樣以來，我們可以認(rèn)為給定的防空武器的打擊力度和5+8=13枚Y型，7枚Z型的毀傷概率相似。這樣相當(dāng)于20枚毀傷概率為0.8和0.85的防空武器打擊20個攻擊目標(biāo)，其最大的毀傷概率只能達(dá)到0.85。從以上我們的模型計(jì)算結(jié)果可以看出，威脅率從1下降到0.181 8，毀傷概率為0.818 1，已經(jīng)是不錯的打擊方案。

4? 結(jié)語

該文利用層次分析法和最優(yōu)化方法解決了空襲問題中對空襲目標(biāo)威脅程度的判斷，并設(shè)計(jì)了最優(yōu)打擊方案。從中我們可以看出數(shù)學(xué)方法對于解決很多實(shí)際生活中問題是大有益處的，因此，以數(shù)學(xué)建模為契機(jī)，基于數(shù)學(xué)建模競賽的模型為案例設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵學(xué)生學(xué)以致用，從而對于數(shù)學(xué)教學(xué)也有極大的幫助。

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