李蕾

【編者按】HPM，意指研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的領(lǐng)域。隨著發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)理念的逐步深入，越來越多的教師意識(shí)到，將對(duì)數(shù)學(xué)史的相關(guān)研究融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不但有利于厘清數(shù)學(xué)知識(shí)演化脈絡(luò)、協(xié)助學(xué)生完成知識(shí)建構(gòu)等傳統(tǒng)教學(xué)中較為棘手的問題，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的成長(zhǎng)亦有十分顯著的幫助。本期話題圍繞HPM與學(xué)生數(shù)學(xué)思維成長(zhǎng)展開探討。

教學(xué)史展現(xiàn)了不同方法的成敗得失，教師通過歷史來獲取教學(xué)啟示，在教學(xué)中合理融入數(shù)學(xué)史，能幫助學(xué)生獲取最佳學(xué)習(xí)路徑，拓寬思維，更深刻地理解數(shù)學(xué)，獲得真知灼見，并讓數(shù)學(xué)變得人性化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，數(shù)學(xué)史是有效的教學(xué)工具。分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，《九章算術(shù)》及魏晉時(shí)期劉徽的《九章算術(shù)注》中就蘊(yùn)藏了中國(guó)古代關(guān)于分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的先進(jìn)思想方法，利用史料，重構(gòu)學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生深度理解“顛倒相乘”法的來歷，實(shí)現(xiàn)算理融通，算法融合，促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、解析教材，厘清教材編排的順序

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在五年級(jí)下冊(cè)安排了分?jǐn)?shù)除法相關(guān)內(nèi)容，教材編排分兩步，第一步探究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的情況，溝通乘除法之間的聯(lián)系。第二步探究分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)單位的情況，歸納出運(yùn)算法則。其中，第二步的探究選擇了整數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位的情況，這是分?jǐn)?shù)除法中比較好理解的一種特殊類型，把從特殊類型中研究得來的計(jì)算方法在具有普適性的算理圖中驗(yàn)證，設(shè)計(jì)思路很好，可惜在驗(yàn)證環(huán)節(jié)除數(shù)仍然選擇了分?jǐn)?shù)單位這種特殊分?jǐn)?shù)。整體探究上欠缺了對(duì)除數(shù)是一般分?jǐn)?shù)類型的研究，就把從特例中發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證得到的計(jì)算方法推廣為一般分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則。這個(gè)推理過程屬于不完全歸納，從特殊到一般，邏輯上不嚴(yán)密，加上探究沒有涵蓋分?jǐn)?shù)除法的所有類型，沒有體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法通法通則的推導(dǎo)過程，給學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建留下思維“縫隙”，也使分?jǐn)?shù)除法成為教學(xué)難點(diǎn)。

二、回溯歷史，明晰算法產(chǎn)生的順序

在世界數(shù)學(xué)史上，中國(guó)是最早形成分?jǐn)?shù)理論的國(guó)家，公元1世紀(jì)前后成書的《九章算術(shù)》就記載了分?jǐn)?shù)通分、約分、大小比較和四則運(yùn)算的規(guī)定?！胺教铩闭碌?7、18題中出現(xiàn)的“經(jīng)分術(shù)”，記載了帶分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，即把帶分?jǐn)?shù)先化成假分?jǐn)?shù)，再通分，把被除數(shù)和除數(shù)都化成同分母分?jǐn)?shù)，只把兩個(gè)數(shù)的分子相除即可。這個(gè)計(jì)算過程運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，把較難計(jì)算的分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成容易計(jì)算的整數(shù)除法，算理理解容易，算法過程清晰。事實(shí)上，《九章算術(shù)》中介紹的分?jǐn)?shù)加、減、除三種運(yùn)算都采用“有分者通之”的方法，即先通分，再計(jì)算，思維過程清晰易懂。

劉徽在為《九章算術(shù)》做注解時(shí)，在“經(jīng)分術(shù)”的基礎(chǔ)上提出“散分”。他解釋“散分”就是“令兩分母相乘法實(shí)也”，用字母表達(dá)就是：

可見“散分”就是給被除數(shù)和除數(shù)通分。書中還說到這樣的計(jì)算過程：“又以法分母乘實(shí)，實(shí)分母乘法。此謂法、實(shí)俱有分，故令分母各乘全內(nèi)子，又令分母互乘上下?！边@句話的意思用字母表達(dá)就是：

這就是分?jǐn)?shù)除法計(jì)算“顛倒相乘”法的來歷。劉徽提出的“顛倒相乘”法優(yōu)化了“經(jīng)分術(shù)”的計(jì)算過程，使運(yùn)算更合理簡(jiǎn)潔，此后廣為流傳。

現(xiàn)行大多數(shù)教材都汲取了我國(guó)古代算學(xué)思想的精華，編排了分?jǐn)?shù)計(jì)算中最合理簡(jiǎn)潔的算法。但部分教材在編排中缺失了“經(jīng)分術(shù)”的介紹，導(dǎo)致“顛倒相乘”法的探究過程思維跨度大，邏輯推理欠嚴(yán)密，給學(xué)生深度理解算理、正確掌握算法帶來困難。浙教版教材和臺(tái)灣地區(qū)教材中都編排了借助通分計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的方法，這就是對(duì)“經(jīng)分術(shù)”的傳承。通分法不用借助算理圖就能說清楚分?jǐn)?shù)除法的算理，還體現(xiàn)了先統(tǒng)一分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位再運(yùn)算的思路，與整數(shù)、小數(shù)四則運(yùn)算的算理一脈相承。

三、以史為鑒，重構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)的順序

基于HPM理念的分?jǐn)?shù)除法教學(xué)重構(gòu)力圖緊密結(jié)合教材編排序，科學(xué)嵌入數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展序，精準(zhǔn)把握學(xué)生認(rèn)知序，實(shí)現(xiàn)“三序合一”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法發(fā)生、發(fā)展的關(guān)鍵步驟，感受知識(shí)演變的思維歷程，跨越思維障礙，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的方法思考、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)，借助知識(shí)學(xué)習(xí)，促進(jìn)思維發(fā)展，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的總目標(biāo)。教學(xué)重構(gòu)主要環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下：

（一）復(fù)習(xí)回顧，激活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)疑啟思，從整體入手思考

由分?jǐn)?shù)加、減、乘法復(fù)習(xí)導(dǎo)入，體會(huì)先通分后計(jì)算的步驟，經(jīng)歷約分、通分的過程，喚醒舊知。再拋出問題：分?jǐn)?shù)除法怎樣計(jì)算？啟發(fā)學(xué)生從分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的整體入手思考，帶著已有經(jīng)驗(yàn)走進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。

（二）動(dòng)手操作，探究新知，歸納數(shù)學(xué)思考，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)

創(chuàng)設(shè)故事情境，引出問題一“42”，采用“做中

學(xué)”的教學(xué)理念，讓學(xué)生利用直觀學(xué)具操作，在“分一分”和“算一算”中探究出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的第一種情況（分子能除盡）的計(jì)算方法。再引出問題二號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)直觀操作，探究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的第二種情況（分子除不盡）的計(jì)算方法。探究中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生理解計(jì)算的意義，借助操作進(jìn)行思考，以算理圖直觀呈現(xiàn)思考過程，并學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言初步總結(jié)出計(jì)算方法：除以一個(gè)整數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。隨后追問：所有分?jǐn)?shù)除法算式都能這樣算嗎？把學(xué)生的思考引向深處，啟發(fā)學(xué)生驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)是否具有普適性，并進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)表達(dá)為“除以一個(gè)不為零的數(shù)，相當(dāng)于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)重在讓學(xué)生在具有現(xiàn)實(shí)意義的情境中思考，在動(dòng)手操作中體會(huì)算理，在自主探索與合作交流中發(fā)現(xiàn)算法，在利用直觀算理圖和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)中深化思維，積累探究與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展探究和思考的能力。

（三）對(duì)話歷史，深度思考，明晰算法淵源，感受數(shù)學(xué)思想

繼續(xù)引出問題三“號(hào)÷二”，讓學(xué)生利用學(xué)具動(dòng)手操作，探究同分母分?jǐn)?shù)相除的計(jì)算方法，概括出：同分母分?jǐn)?shù)相除，可以直接把分子相除，也可以乘除數(shù)的倒數(shù)。最后引出問題四“號(hào)：？”，先啟發(fā)學(xué)生現(xiàn)，這是異分母分?jǐn)?shù)相除的類型。再放手獨(dú)立探究，組織全班交流算法，理解不同方法的道理。其間根據(jù)時(shí)機(jī)呈現(xiàn)中國(guó)古代分?jǐn)?shù)除法“經(jīng)分術(shù)”和“顛倒相乘”法的計(jì)算方法?！毒耪滤阈g(shù)》中“經(jīng)分術(shù)”的計(jì)算過

劉徽在《九章算術(shù)注》中“顛倒相乘”法的計(jì)算過程是：

教師引導(dǎo)學(xué)生將自己的算法和古代數(shù)

學(xué)家的進(jìn)行比較，通過算式變形進(jìn)行形式化推理：

就是“顛倒相乘”法的算理，“顛倒相乘”法就是“經(jīng)分術(shù)”的進(jìn)階，并舉例驗(yàn)證，把直觀感知?dú)w納得來的經(jīng)驗(yàn)提升到理性思考水平，在形式化推理中發(fā)現(xiàn)“通分”和“顛倒”之間的關(guān)聯(lián)。這樣的設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生深入理解“顛倒相乘”法的來歷，并在對(duì)比中體驗(yàn)到“經(jīng)分法”雖然道理好理解，但是在數(shù)字較大時(shí)，通分會(huì)使數(shù)字變得更大，計(jì)算起來比較繁瑣，這就是劉徽改進(jìn)“經(jīng)分術(shù)”的起因，也是它最終退出歷史舞臺(tái)的原因。

個(gè)體知識(shí)的發(fā)生遵循人類知識(shí)的發(fā)生過程。數(shù)學(xué)史上分?jǐn)?shù)除法先有“經(jīng)分術(shù)”，后來才經(jīng)過優(yōu)化產(chǎn)生了“顛倒相乘”法。本環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)遵循歷史發(fā)生原理，引入“經(jīng)分術(shù)”，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索算法、合作交流多樣算法的過程，在古今算法比較中實(shí)現(xiàn)自主優(yōu)化，領(lǐng)悟算法更替中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，感受“知識(shí)之諧”和“方法之美”。在同分母分?jǐn)?shù)除法的探究中，學(xué)生是通過直觀操作歸納出算法的;在異分母分?jǐn)?shù)除法的探究中，學(xué)生既運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”思想，把異分母分?jǐn)?shù)通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)來計(jì)算，還采用了歸納法，發(fā)現(xiàn)了“顛倒相乘”的計(jì)算方法;在兩種方法的對(duì)比中，學(xué)生運(yùn)用算式變形進(jìn)行推理，這種方法對(duì)所有分?jǐn)?shù)除法都適合，具有一般性，屬于演繹論證的方法。在這里，學(xué)生的思維路徑不是線性的，而是多角度的。學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中綜合運(yùn)用歸納和演繹論證的方法，既實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展了思維能力，又有利于體會(huì)“探究之樂”。以劉徽為代表的中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)計(jì)算方法“合理、簡(jiǎn)潔”的追求，會(huì)激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，數(shù)學(xué)精神的教育也滲透其中。

（四）放眼世界，發(fā)散思維，感受算法流變，激發(fā)文化自信

教師提問啟思：計(jì)算分?jǐn)?shù)除法你還有什么好辦法？世界上其他國(guó)家是怎樣計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的呢？然后結(jié)合學(xué)生討論，出示世界地圖，介紹公元12世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《麗羅娃提》中記載的方法：

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這與我國(guó)的“顛倒相乘”法一致，了解古代中國(guó)先進(jìn)文化流傳到印度的歷史推斷。接著介紹公元15世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西關(guān)于分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法：

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，該算法的算理與我國(guó)《九章算術(shù)》中的“經(jīng)分術(shù)”完全相同。教師通過介紹不同時(shí)期的有關(guān)分?jǐn)?shù)計(jì)算的數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中的源流。最后介紹公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契《計(jì)算之書》中記載的幾種分?jǐn)?shù)除法：0D（同乘法）號(hào)

讓學(xué)生感受同一問題的不同思考角度將產(chǎn)生不同的計(jì)算方法。

本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)史料的融入重在讓學(xué)生放眼世界，發(fā)散思維，從人類文明的角度審視不同方法背后蘊(yùn)含的文化內(nèi)涵，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)不是寫在教科書中一成不變的教條，而是充滿人情味，有傳承也有發(fā)展，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化之魅”，同時(shí)進(jìn)一步了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)先進(jìn)的思想方法曾遠(yuǎn)播世界并為世界數(shù)學(xué)發(fā)展做出巨大貢獻(xiàn)的真實(shí)歷史，落實(shí)學(xué)科育人的“德育之效”。

（五）構(gòu)建關(guān)聯(lián)，融通融合，體會(huì)運(yùn)算本質(zhì)，發(fā)展多維思考

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧整數(shù)四則運(yùn)算，感受運(yùn)算要在相同計(jì)數(shù)單位下才能進(jìn)行的本質(zhì)。再把學(xué)生的思考引向曾經(jīng)學(xué)過的小數(shù)四則運(yùn)算以及今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的壁壘，理解所有運(yùn)算的本質(zhì)都是“對(duì)同一計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算”這一道理。這樣的重構(gòu)可以跳出淺表學(xué)習(xí)和機(jī)械運(yùn)用，深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法算理的理解，內(nèi)化學(xué)生對(duì)算法的掌握，幫助學(xué)生構(gòu)建分?jǐn)?shù)除法與之前學(xué)習(xí)過的其他運(yùn)算之間的聯(lián)系，從知識(shí)統(tǒng)整的角度構(gòu)建學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，將方法層面的感性認(rèn)知提升到整體規(guī)律性的理性感悟，把單一知識(shí)的學(xué)習(xí)導(dǎo)向“數(shù)的運(yùn)算”這一大概念的整體構(gòu)建，深化學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解，實(shí)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的“算理融通，算法融合”，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生多維度思考問題的能力。

（作者單位：長(zhǎng)安大學(xué)附屬小學(xué)）