王宏偉,宋曉娟,呂書鋒

(1.內蒙古工業(yè)大學機械工程學院,內蒙古呼和浩特 010051;2.內蒙古工業(yè)大學理學院,內蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

現(xiàn)代航天器攜帶液體燃料推進劑的質量占航天器總質量的比重不斷增大,由于儲液腔體的幾何形狀及航天器外部環(huán)境的復雜性,液體燃料所產生的晃動力及晃動力矩對整體系統(tǒng)動力學具有顯著影響,由此產生液體晃動動力學和姿態(tài)控制已成為航天工業(yè)領域的重要問題之一[1].在對充液航天器進行控制系統(tǒng)設計及穩(wěn)定性分析時,通常將等效力學模型納入到耦合系統(tǒng)建模的過程中,常見的等效模型有球擺模型和彈簧質量模型.文獻[2]利用等效球擺模型研究了衛(wèi)星姿態(tài)機動過程中的液體晃動混沌動力學問題.文獻[3]將液體燃料晃動等效為球擺模型,將輸入成型技術和自適應動態(tài)逆控制方法相結合探討了航天器姿態(tài)控制問題.文獻[4]采用二階彈簧–質量模型考慮了多模態(tài)液體燃料晃動問題,設計了自適應滑?？刂破鹘Y合輸入成型技術的混合控制策略.文獻[5]采用復合3自由度(3DOF)剛性–球擺模型研究了充液航天器的大振幅橫向晃動、旋轉晃動和液體旋轉起動問題.文獻[6]研究了正弦干擾激勵下液體燃料大幅晃動動力學問題.

現(xiàn)代航天任務要求航天器系統(tǒng)實現(xiàn)各種高精度、快速的全局響應姿態(tài)機動指令[7–8].在目前的文獻中,大多數(shù)控制策略只考慮外部未知干擾和參數(shù)不確定的影響,并且假設航天器系統(tǒng)部件不會發(fā)生故障或失效,但實際工作環(huán)境通常復雜惡劣,長時間的工作負荷容易造成執(zhí)行機構和傳感器的老化,由此導致的執(zhí)行器故障也是實際控制系統(tǒng)中不可避免的問題,如果所設計的姿態(tài)控制器不具備任何容錯能力,嚴重的性能退化和系統(tǒng)不穩(wěn)定極有可能導致航天任務的失敗.因此,航天器姿態(tài)容錯控制研究受到學者們的廣泛關注[9–13].文獻[9]針對剛體航天器存在執(zhí)行器故障的問題,提出了自適應容錯控制策略.文獻[10]采用自適應時變滑模控制策略結合自適應控制算法,解決了航天器的姿態(tài)追蹤問題.基于干擾觀測器技術,文獻[11–13]設計了魯棒容錯控制器,保證了剛體航天器姿態(tài)運動的穩(wěn)定性.

在航天器閉環(huán)系統(tǒng)中除了考慮執(zhí)行器故障之外,還應重視執(zhí)行器的輸入飽和問題,執(zhí)行器輸入飽和會導致指令輸入信號和實際控制力矩之間產生嚴重的差異.當執(zhí)行器達到輸入極限時,任何期望的控制輸入信號都會致使執(zhí)行器迅速飽和,從而降低系統(tǒng)的動態(tài)性能,導致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定.因此,研究控制系統(tǒng)中存在輸入飽和的問題既具有理論意義,又具有實際意義[14–17].文獻[14]針對剛體航天器設計了飽和的有限時間控制律.文獻[15]使用積分滑模面流形設計了飽和有限時間策略,解決了剛體航天器控制輸入飽和的問題.文獻[16–17]構造了穩(wěn)定的輔助系統(tǒng)處理控制輸入信號的飽和約束問題,實現(xiàn)了期望的控制目標.

上述文獻中設計的控制器能夠保證航天器系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性或有限時間穩(wěn)定性.與漸進穩(wěn)定控制器相比,有限時間控制策略可將系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內穩(wěn)定到平衡位置.除了更快的收斂速度外,有限時間控制下的閉環(huán)系統(tǒng)通常表現(xiàn)出更高的控制精度,更好的抗干擾性能.雖然在有限時間控制的作用下,系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定時間可以精確地被估計,但是其穩(wěn)定時間的上限取決于系統(tǒng)初始狀態(tài),這意味著當系統(tǒng)初始狀態(tài)未知時,很難獲取精確估計的收斂時間上限.相比于有限時間控制策略,固定時間控制的穩(wěn)定時間上限不依賴于系統(tǒng)初始狀態(tài),而是僅依賴于控制參數(shù),同時還能保留有限時間良好的控制性能,這使得許多學者對固定時間控制產生了巨大的興趣.文獻[18]提出了固定時間控制策略,提高了剛體航天器的固定時間收斂性能.文獻[19]設計非奇異固定時間追蹤控制器,獲得較好的期望控制性能.文獻[20]設計了非奇異終端固定時間滑模面和飽和容錯固定時間控制律,保證剛體航天器的姿態(tài)穩(wěn)定性.

本文研究了執(zhí)行器故障和輸入飽和的充液航天器大角度姿態(tài)機動固定時間容錯控制問題.本文的主要內容有:1)將部分充液貯箱內液體晃動等效為粘性球擺模型,應用拉格朗日方程推導出航天器的耦合動力學模型;2)相比于現(xiàn)存的有限時間控制策略[15–17],本文采用固定時間控制策略和自適應控制算法設計自適應魯棒容錯控制策略,在提出控制方案的作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)定時間上限僅依賴于控制參數(shù);3)相比于現(xiàn)存的非奇異固定時間控制策略[18–20],本文通過引入飽和函數(shù)克服了固定時間終端滑?？刂撇呗源嬖诘钠娈愋詥栴};4)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了容錯閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的最終一致有界性,航天器姿態(tài)和角速度會在固定時間內收斂到平衡位置的較小鄰域內.

2 充液航天器動力學建模

2.1 姿態(tài)運動學方程描述

考慮到良好的計算性能和克服奇異性的優(yōu)點,本文使用四元數(shù)描述航天器姿態(tài)運動學方程,表示為

式中:[q0q]T[q0q1q2q3]T滿足約束條件qTq1;航天器角速度矢量ω[ω1ω2ω3]T;E(q)q0I3+q×,q×為叉乘矩陣,定義為

2.2 充液航天器的數(shù)學模型

圖1描述了充液航天器的動力學模型,O ?XY Z為慣性參考坐標系,O1?X1Y1Z1為航天器本體坐標系,其中O1點表示整個系統(tǒng)的幾何中心.O2?X2Y2Z2為球擺坐標系,擺球懸掛點為貯箱中心O2,使球擺懸掛點O2位于航天器本體坐標系的O1X1軸上,球擺的擺長為l,球擺質量為mp,O1到O2的位移矢量為ro[?rx0 0]T,rx為O1到O2的距離.假設圖中球擺質量的位置為P點,燃料晃動質量P點相對于O1的位移矢量rp表示為

P點相對于擺球懸掛點O2的位移矢量為r,r關于O2點的位移矢量可以表示為

圖1 充液航天器系統(tǒng)動力學模型Fig.1 The dynamics model of liquid-filled spacecraft

由于球擺的晃動受到擺長和貯箱尺寸的限制,本文中假設液體為小幅度晃動,即滿足關系y,z ?l,因此有近似關系x≈l.式(4)可以寫成

根據(jù)式(3),P點的速度表示為

系統(tǒng)的動能表示為

式中Jhub為主剛體名義轉動慣量.

將式(7)寫成矩陣形式

式中:JJhub?η[y z]T為描述液體晃動的廣義坐標矢量,δmp

球擺運動產生的重力勢能表示為

式中g表示航天器慣性加速度的大小.

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

準坐標下的拉格朗日公式表示為

式中:u為作用在航天器上期望的控制力矩,d(t)為作用在航天器的外部干擾力矩.

廣義坐標下的拉格朗日公式表示為

式中T0?為球擺關于其懸掛點的粘性力矩,其中c1和c2表示液體燃料的粘性系數(shù).

將式(10)分別代入式(11)和式(12),產生如下的系統(tǒng)動力學方程:

2.3 執(zhí)行器的故障模型

反作用輪和推進器是通常用于航天器姿態(tài)控制的執(zhí)行器.由于潤滑不足、老化、邊緣故障和增加摩擦等原因,執(zhí)行器不可避免地會發(fā)生故障.以下是4種典型的反作用輪故障[13]:1)反作用力矩減小;2)偏置力矩增大:3) 對控制信號不響應:4)連續(xù)產生反作用力矩.這些故障可能以乘法或加法的方式影響執(zhí)行器的輸出效率.如果其中一個故障發(fā)生,反作用輪的響應可能會變慢,降低執(zhí)行器工作的有效性,甚至發(fā)生安全故障.

令uc表示指令控制力矩矢量.指令控制力矩矢量和作用在航天器上的實際控制力矩矢量之間的關系可以表示為

式中:D(t)diag{e1,e2,e3}描述了執(zhí)行器的效率損失,其對角線元素滿足0 ≤ei≤1,i1,2,3.情形ei0表示第i個執(zhí)行機構完全失效,不能提供作用于航天器的控制力矩;情形0

2.4 充液航天器的姿態(tài)動力學方程

在假設液體燃料為小幅度晃動的條件下,可將式(13)和式(14)做線性化處理,即省略掉式(13)和式(14)中的高階小量.同時,為了控制系統(tǒng)推導方便,對于方程(14)引入新的變量ψ,將得到的方程結合式(15),最終航天器的姿態(tài)動力學模型表示為

式中sat(uc)表示執(zhí)行器的非線性飽和特性,其形式可以寫成sat(uc)Θ(uc)uc,其中Θ(uc)diag{Θ(uc1),Θ(uc2),Θ(uc3)}.Θ(uc)可以看作是控制向量的飽和度指標.從實際應用的角度講,Θ(uci)永遠不會等于零(i1,2,3),且存在一個很小的下界,使Θ(uci)滿足Θ(uci)∈(0,1],并且存在一個常數(shù)κ,使得0<κ≤min(Θ(uc1),Θ(uc2),Θ(uc3))≤1成立.

式中?J為參數(shù)不確定矩陣.

假設1參數(shù)不確定矩陣?J和外部未知干擾d(t)是有界變量,這樣存在兩個正常數(shù)和?d,其范數(shù)滿足關系∥?J∥≤和∥d(t)∥≤?d.

假設2不確定故障ˉu是未知但是有界變量,這樣滿足∥ˉu∥≤?u,?u為正常數(shù).

本文的控制目標描述為:考慮充液航天器模型式(16)存在外部未知干擾,參數(shù)不確定,執(zhí)行器故障和控制輸入飽和的問題,設計了一種飽和魯棒容錯控制策略,對于任意初始位置的姿態(tài)和角速度:1)容錯閉環(huán)系統(tǒng)中的所有狀態(tài)信號都是最終一致有界的(UUB);2)設計的非奇異滑動模態(tài)流形在固定時間內收斂到S(t)0的較小鄰域內;3)姿態(tài)q和角速度ω在固定時間內收斂到原點的小鄰域內.

3 固定時間控制器設計和穩(wěn)定性分析

3.1 基本定義和基本引理

為了后文控制器設計簡便,定義符號

式中:x ∈[x1x2x3]T,sgn表示符號函數(shù),γ為正常數(shù).

考慮一個非線性系統(tǒng)

式中:x(t)為狀態(tài)向量,f(x(t))為非線性函數(shù).

下面給出控制器設計和穩(wěn)定性分析中用到的定義和引理.

定義1[21]如果系統(tǒng)(18)是有限時間穩(wěn)定的,并且其穩(wěn)定時間T(x0)是一致有界的,即存在一個正標量Tmax,并且滿足T(x0)≤Tmax,則系統(tǒng)(18)是固定時間穩(wěn)定的.

引理1[20]系統(tǒng)(18)是固定時間穩(wěn)定的,這樣存在一個李雅普諾夫函數(shù)ˉV(x)滿足

式中:α1,β1,χ為正常數(shù),r1>1,0

引理2[22]考慮如下微分方程:

式中:α>0;β >0;m,n,p,r是正奇整數(shù),滿足m>n,p

引理3[17]對于所有實數(shù)xi(i1,……,n),0<γ <1,以下不等式成立

3.2 固定時間滑模面設計

受到引理2的啟發(fā),考慮充液航天器系統(tǒng)模型式(16),固定時間滑模面設計為

式中:α1>0;β1>0;m1,n1,p1,r1是正奇整數(shù),且滿足m1>n1,p1>r1.

定理1當式(22)形式的滑模面收斂到平衡位置時,即滿足S0,姿態(tài)q和角速度ω在固定時間內收斂到平衡位置.

證當式(22)滿足S0時,可以得到

考慮李雅普諾夫函數(shù)

將式(24)對時間求一階導數(shù),并且將式(23)代入可得

由引理2可得,姿態(tài)q在固定時間內收斂到平衡位置.根據(jù)式(1)和四元數(shù)的約束關系+qTq1可得,在固定時間內到達平衡位置,這將產生ω在固定時間內收斂到平衡位置.所以,當式(23)達到平衡位置時,姿態(tài)q和角速度ω在固定時間內收斂到平衡位置.

證畢.

到達時間的上界為

注1需要注意的是,對式(22)求一階導數(shù)得到

3.3 固定時間控制器設計

將式(16a)和式(16b)代入式(26)可得

根據(jù)假設1–2、∥q∥≤1和∥E(q)∥≤1,可以得到如下合理的不等式:

式中k1,k2和k3為正常數(shù).

由于0

固定時間控制器設計為

自適應更新律設計為

式中:k,λ1,λ2,λ3,λ4,χ1,χ2,χ3,χ4為正常數(shù);分別為k1,k2,k3,ρ的估計值;sat(·)為飽和函數(shù),這里設計sat(uf,us)的目的在于補償uf帶來的奇異性,us表示飽和函數(shù)的門限參數(shù).

定理2考慮航天器系統(tǒng)(16)存在外部未知干擾,參數(shù)不確定,執(zhí)行器故障和控制輸入飽和的問題.在假設1和假設2成立的條件下,若設計固定時間控制律式(30)和自適應更新律式(32)–(35),那么航天器閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡是固定時間穩(wěn)定的.

證考慮李雅普諾夫函數(shù)

將式(36)對時間求一階導數(shù)可得

將式(30)–(35)代入到式(37)中可以得到

考慮到如下不等式:

式中:δ1>

注意到式(38)含有項ρsat(uf,us)+uf,為了方便定理1的證明,將狀態(tài)向量[q ω]T分成兩個不同的區(qū)域A和B,分別定義如下:

當系統(tǒng)狀態(tài)[q ω]T在區(qū)域A中時,式(38)中的飽和函數(shù)可以重寫為

當系統(tǒng)狀態(tài)處于區(qū)域B時,飽和函數(shù)可以寫成

根據(jù)式(16a),可以得到

如果ω(t)>0和E(q)>0成立,q(t)將單調增加并離開奇異區(qū)域B.如果ω(t)<0和E(q)<0成立,q(t)將單調減少并且也將離開奇異區(qū)域B.這意味著不論q(t)增加或減少,系統(tǒng)的狀態(tài)將短暫的處于奇異區(qū)域B.換句話說,系統(tǒng)狀態(tài)不會永遠停留在B區(qū)域,而是在有限時間內從B區(qū)域過渡到A區(qū)域.一旦系統(tǒng)狀態(tài)[q ω]T進入A區(qū)域,系統(tǒng)將滿足滑動模態(tài)的存在條件.因此,正如文獻[21,23]所描述的那樣,奇異區(qū)域的存在并不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析.

根據(jù)以上分析,并且結合式(39)–(42),式(38)可以寫成

根據(jù)一致有界性理論S,和是一致有界的,由固定時間滑模面的形式,可知q和ω也是有界的,這樣不等式∥S∥(k1+k2∥ω∥+k3∥ω∥2)≤ζ是合理的,ζ為正常數(shù).

為了證明系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性,考慮以下的李雅普諾夫函數(shù):

將式(49)對時間求一階導數(shù),結合式(30)–(34)可得

根據(jù)以上的分析,式(50)可以進一步寫成

根據(jù)引理1和式(51),終端滑模面式(22)在固定時間T1收斂到如下區(qū)域:

證畢.

注2由式(54)可以看出系統(tǒng)狀態(tài)到達平衡位置的穩(wěn)定時間上界只取決于控制參數(shù),而不依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的初始值.當系統(tǒng)狀態(tài)的初始值未知時,與有限時間控制策略相比,本文提出控制策略的穩(wěn)定時間可以按照規(guī)定的方式進行收斂.

4 數(shù)值模擬

為了驗證本文提出的控制方法有效性和魯棒性,選取了文獻[24]提出的自適應有限時間容錯控制方法進行對比分析,給出了兩種控制策略下的仿真結果.為了公平有效地進行對比,將這兩種控制策略在文中充液航天器控制系統(tǒng)(16)的環(huán)境下進行數(shù)值仿真研究.所選取的具體參數(shù)如下:

剛體航天器名義轉動慣量

在仿真中,假設航天器受到的外部干擾為

式中rand(3,1)表示任意高斯白噪聲矢量.

不確定慣性矩陣?J0.5Jhub.

執(zhí)行機構的有效性為

控制器參數(shù)選擇為

液體燃料相關參數(shù)選取為

航天器角速度初始值ω(0)[0 0 0]Trad/s,估計的控制參數(shù)初始值0,初始姿態(tài)四元數(shù)誤差為q(0)[0.1763?0.5264 0.2632 0.7896]T.控制力矩幅值限定在|ui|≤6 N·m,i1,2,3.

兩種控制策略的詳細仿真結果見情形1和情形2所示.

情形1采用控制器式(30)進行數(shù)值仿真研究,仿真結果如圖2–6.

圖2 角速度時間歷程圖Fig.2 Time history of angular velocities

圖3 姿態(tài)四元數(shù)時間歷程圖Fig.3 Time history of attitude quaternions

圖4 參數(shù)估計時間歷程圖Fig.4 Time history of parameter estimation

圖5 液體晃動變量時間歷程圖Fig.5 Time history of liquid sloshing variables

圖6 控制力矩時間歷程圖Fig.6 Time history of control torque

情形2采用文獻[24]中針對剛體航天器設計的自適應有限時間容錯控制器,仿真結果如圖7–9.

圖7 角速度時間歷程圖Fig.7 Time history of angular velocities

圖8 姿態(tài)四元數(shù)時間歷程圖Fig.8 Time history of attitude quaternions

圖9 控制力矩時間歷程圖Fig.9 Time history of control torque

1) 圖2和圖7分別給出兩種情形下的角速度響應圖.由圖可以看出,在控制器式(30)的作用下,角速度收斂到平衡位置需要大約16 s的時間,在穩(wěn)態(tài)響應區(qū)間,最終誤差精度為|ωi|≤5×10?5rad/s.由圖7可以看出,在文獻[24]設計的控制器作用下,角速度收斂到平衡位置需要花費大約22 s的時間,穩(wěn)態(tài)區(qū)間的最終誤差精度為|ωi|≤2×10?3rad/s.對比兩種情形下角速度在瞬態(tài)響應區(qū)間的響應表現(xiàn),相比較圖7而言,圖2擁有相對良好的瞬態(tài)響應.

2) 圖3和圖8分別給出兩種情形下的姿態(tài)四元數(shù)響應圖.從圖3可以看出,在本文設計的控制器的作用下,姿態(tài)大約需要16 s的時間收斂到期望的平衡位置,在向穩(wěn)態(tài)區(qū)間過渡的過程中,擁有相對良好的瞬態(tài)響應,在穩(wěn)態(tài)響應區(qū)間,最終誤差精度為|qi|≤2×10?5.由圖8可以看出,在文獻[24]設計的控制器的作用下,姿態(tài)收斂到期望的平衡位置需要大約28 s的時間,最終穩(wěn)態(tài)誤差精度為|qi|≤5×10?3.

3) 圖6和圖9分別給出兩種情形下的控制力矩響應圖.通過對比圖6和圖9不難看出,圖9描述的控制力矩收斂到平衡位置的時間要遠遠大于圖6描述的情形,而且圖6描繪的情形相對擁有光滑平穩(wěn)的特性.圖4給出控制器中控制參數(shù)的估計值.圖5給出了描述液體晃動位移變量的時間歷程圖,由圖5可以看出液體晃動變量擁有較低水平的晃動幅度|y|≤0.03 m和|z|≤0.01 m.

在相同的外部未知干擾,參數(shù)不確定,執(zhí)行器故障和控制輸入飽和的條件下,通過對比兩種情形下的系統(tǒng)性能收斂指標,可以得出結論:所提出的控制器式(30)比文獻[24]擁有更好的控制性能.

5 結論

1) 本文以三軸穩(wěn)定充液航天器為被控研究對象,將部分充液貯箱內液體晃動等效為粘性球擺模型,利用拉格朗日方程建立了充液航天器的耦合動力學模型.

2) 針對存在外部未知干擾、參數(shù)不確定、執(zhí)行器故障和輸入飽和的魯棒容錯姿態(tài)機動問題,在構造新穎固定時間終端滑模面的基礎上,基于固定時間控制理論和自適應估計策略,提出了一種自適應魯棒固定時間終端容錯姿態(tài)控制策略.該方法采用飽和函數(shù)克服設計的終端滑?？刂拼嬖诘钠娈愋詥栴},同時還能保證閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間收斂性能.

3) 為了驗證提出的控制方法有效性和魯棒性,采用數(shù)值方法將本文提出的控制策略與現(xiàn)有的有限時間控制方法進行了仿真對比研究,仿真結果表明,本文設計的控制器可以提供更好的收斂速度,指向精度和容錯能力.