王 茜 高 麗

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 陜西 延安 716000）

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱“課標(biāo)”）明確將“模型思想”作為核心概念提出，目的是使學(xué)生從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，并在此過程中，體會數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的主觀能動性與求知欲。數(shù)學(xué)模型是從數(shù)學(xué)的角度用數(shù)學(xué)本質(zhì)原理來解釋社會現(xiàn)象、解決問題的方法；它體現(xiàn)了另一核心概念——應(yīng)用意識，核心概念之間相輔相成[1]。那么，這些宏觀戰(zhàn)略層面的倡導(dǎo)和要求從哪里落實呢？主戰(zhàn)場在每位教育者的日常工作中。如何發(fā)展初中生的模型思想，本文將從一線教學(xué)實踐出發(fā)，以中考常見幾何最值模型為例，思考教師如何組織引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，生成最值模型思想，進而靈活解決同類變形問題。

一、相關(guān)概念

1.數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模，從問題解決的角度看，突出表現(xiàn)對原始問題的分析、假設(shè)、抽象的加工過程，數(shù)學(xué)工具、方法、模型的選擇和使用過程，模型求解驗證、在分析、修改假設(shè)、再求解的迭代過程，清晰地表現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系[2]。課標(biāo)指出：“問題情境—建立模型—求解驗證?！痹谡麄€過程中建立模型對于學(xué)生的綜合能力要求較高，要求學(xué)生能從生活中發(fā)現(xiàn)存在待解決的數(shù)學(xué)問題或是學(xué)習(xí)過程中遇到的各類情景題目，并且用專業(yè)的數(shù)學(xué)語言將數(shù)學(xué)問題表征出來，找到與問題最匹配的數(shù)學(xué)公式概念定理等，發(fā)現(xiàn)知識元之間的關(guān)聯(lián)，試圖建立存在的某種邏輯關(guān)系，初步形成數(shù)學(xué)模型。在這個過程中，不僅能夠激發(fā)起學(xué)生的求知欲好奇心等主觀能動性，還能落實課標(biāo)中對于學(xué)生主體地位的目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維以及總結(jié)歸納的能力，模型思想，諸多方面都響應(yīng)了課標(biāo)的號召。

2.模型思想

課標(biāo)明確指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義?！盵1]在初中階段，平時教學(xué)中要滲透模型思想，組織引導(dǎo)學(xué)生建立模型的過程就是在教學(xué)生如何用數(shù)學(xué)的思維去看世界，去思考現(xiàn)實問題，這樣反復(fù)訓(xùn)練，久而久之會帶給學(xué)生縝密的邏輯思維和發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力；即使以后進入社會，知識可以忘掉，但這種數(shù)學(xué)思想是根深蒂固的，會影響學(xué)生處理問題的方式。

3.數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)概念和原理描述現(xiàn)實世界的，數(shù)學(xué)模型將數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來，是二者的橋梁，是根據(jù)事物的特征或者事物之間的邏輯關(guān)系采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)語言概括表述出來的一種結(jié)構(gòu)[3]。一個公式、定理、概念都可以看成是一個數(shù)學(xué)模型，但是在中學(xué)階段，隨著年級的增高，所學(xué)到的概念公式越來越多，并且抽象復(fù)雜，那么，在學(xué)生身上會出現(xiàn)一個問題：學(xué)的公式定理都認(rèn)識甚至能默寫出來，遇到簡單的題會做，稍微有難度的題就不會做，不能舉一反三。產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因是多種多樣的，最重要的就是教師的教法不夠全面系統(tǒng)，不能涵蓋所有知識體系和題型框架，也沒有滲透舉一反三的思想，更沒有將單個的知識元高度凝練成模型，自然就達不到1+1＞2的教學(xué)效果。

二、教學(xué)案例

以中考常見最值模型——胡不歸問題模型為例說明，如何在教學(xué)過程中發(fā)展初中生的模型思想。類似的其他類型的常見模型就需要各位教師多搜集題型、多做題總結(jié)得出，這個過程是不斷學(xué)習(xí)提升自我的過程，不僅對教師個人專業(yè)教學(xué)能力的發(fā)展有極大的促進作用，而且對學(xué)生的成績、思維等綜合能力提高也有很大的幫助。

1.問題起源

相傳，歷史上有一個小伙子，在身處異地時，收到了他父親病危的消息，于是馬不停蹄地往家趕，結(jié)果，當(dāng)他來到他父親面前時，他父親剛剛?cè)ナ?。鄰家告訴這位年輕人，他父親生前不斷念叨：“胡不歸，胡不歸……”，后來，人們就為這則故事起名胡不歸問題。

以一個故事引入，極大地激發(fā)了學(xué)生求知欲，勾起了學(xué)生好奇心。使學(xué)生以自主探索為第一步，調(diào)動起了積極性，這已經(jīng)成功了一半。作為一節(jié)課的導(dǎo)入部分，不需要開頭就講抽象的重難點，而是在兩三分鐘內(nèi)迅速抓住學(xué)生的注意力和好奇心，調(diào)動學(xué)生的積極聽課情緒。而由于學(xué)生的身心還處于不成熟階段，采用有趣的故事和生活情景引入課題，這種鋪墊效果非常好。教師不僅要有淵博的知識，還要懂得教育管理，這就需要教師在平日里對學(xué)生的行為特征、心理活動進行摸索，清晰了解每位學(xué)生的心理狀態(tài)、學(xué)生的家庭因素、成長環(huán)境，和學(xué)生多溝通，解除他們的煩惱，這樣學(xué)生才會慢慢地信任你，愿意接受你的引導(dǎo)，才有可能實現(xiàn)師生之間的心理相容，你所傳授的知識才有可能被學(xué)生吸取，才有可能成就雙方。因此在模型教學(xué)時，一定要讓每個課題的引入部分足夠精彩。

2.實際情境數(shù)學(xué)化

A地為小伙工作地，B地為老父親所在的地方，AC為古代驛道（此道路易走，行走速度快v1），AB所在的一側(cè)為沙路（走路時容易陷進去，行走速度慢v2）。古代數(shù)學(xué)家們?yōu)樾』镉脠D形模擬出來路徑，想幫他求出最短的用時。在AC驛道上有一點D，可以先走一段驛道AC節(jié)省時間，再走一段沙路CB抵達家中，那么，點D該怎么找才能使行駛時間最短呢？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中存在的數(shù)學(xué)問題，并思考這些問題能否用數(shù)學(xué)的思維找到解決的辦法，引導(dǎo)學(xué)生獨立生成圖形模型，并且培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表征問題的能力。學(xué)生可以從實際問題分析中得出有效的條件，初步畫出圖像，用數(shù)學(xué)思維將整個情景再現(xiàn)出來，初步建立模型。

3.建立模型

已知v1，v2（v1＞v2），AB，求解t最小值。

假設(shè)時間為（v2＞v1），v1和v2是已知的，只需要使AD與DB和最小，涉及兩條不在同一直線的線段長。應(yīng)想到：轉(zhuǎn)換為同一線段時，滿足兩點之間線段最短來求值。那么，怎么轉(zhuǎn)化呢？轉(zhuǎn)化誰呢？因此，延長BD到點E，想辦法將AD轉(zhuǎn)化到DE邊上，便成了一條直線。那么，怎么將AD轉(zhuǎn)化到DE直線上呢？想到構(gòu)造三角函數(shù)，于是，第一步，提出系數(shù)較小的值，括號里構(gòu)造一個分?jǐn)?shù) ；第二步，化出三角函數(shù)sin∠DAE；第三步，通過三角函數(shù)將AD邊轉(zhuǎn)化到DE邊上，出現(xiàn)DE；第四步，得出求時間最小值即需求線段BE的最小值，因為此處v1是固定值。那么，問題來了，三角函數(shù)是哪來的？第五步，做輔助線，首先能確定用到的字母是D、A、E，所以應(yīng)該是在三角形DAE中，既然出現(xiàn)了三角函數(shù)，說明需要∠E是直角，因此要構(gòu)造出直角三角形DAE，即延長BD到E，過點A做BD的垂線交于E。所以，胡不歸問題的核心是通過構(gòu)建直角三角形和通過三角函數(shù)轉(zhuǎn)化邊的問題，難點是怎么做出輔助線，構(gòu)造直角三角形。

上述整個思路過程都是建立在教師先讓學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，再加以引導(dǎo)而不是直接告訴學(xué)生需要思考的點。比如，第一步，可以反過來問學(xué)生為什么要提出一個系數(shù)較小的值而不是系數(shù)較大的值？是因為這一步要為后面構(gòu)造出三角函數(shù)做準(zhǔn)備，而我們這知道三角函數(shù)的取值范圍是大于0小于1的，所以構(gòu)造出來的速度比必須是一個真分?jǐn)?shù)才可以；第二步可以反過來問學(xué)生：為什么這里用到的是正弦值而不是余弦值？因為這里想將AD線段的長度轉(zhuǎn)化到DE邊上，涉及的是AD和DE的關(guān)系；第三步，反過來問學(xué)生：為什么要出現(xiàn)DE，而不是AE？因為現(xiàn)在在找點B到AE的最短距離，換成AE就不行；第四步可以問學(xué)生：為什么BE就是要求的最小值？引導(dǎo)學(xué)生回答，點到直線AE的距離垂線段最短，恰好就等于BE的最小值，也就是要求的最短時間；第五步，可以問學(xué)生：構(gòu)造出直角三角形后就可以解決這道題了嗎？此時，直線BE與驛道AC的交點D就是要求的點，因此，小伙可以先沿驛道AC以速度v2走到點D處，再沿DB以速度v1走到家中，這條路徑要比直接沿直線AB到家中用時短，小伙可以見到他父親最后一面。這一步驟容易被很多教師一帶而過，講完了就會認(rèn)為學(xué)生全部掌握，也就不會提問了，而這部分恰恰是當(dāng)堂檢驗學(xué)生聽課效果和效率的關(guān)鍵，應(yīng)該被重視；否則學(xué)生糊弄過關(guān)，教師也相當(dāng)于白講。

這個過程涉及了對原始問題進行分析、假設(shè)、抽象的步驟，按照這個思維，引導(dǎo)學(xué)生建立認(rèn)知，再提出問題矛盾點打破重建。讓學(xué)生討論自行得出并表示已知條件和求解，鍛煉學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和歸納抽取的能力，并且有假設(shè)表示的思想，分為五步，將題目拆分，也是在給學(xué)生搭臺階，最后引出輔助線是怎么做出來的，為什么這樣做。后面可以多加幾道同類型變形的習(xí)題進行鞏固，鍛煉學(xué)生舉一反三的能力。變形題目可以與二次函數(shù)結(jié)合起來也可以與幾何題目結(jié)合，形成綜合性“兩定一動”最值類型。

綜上所述，在課標(biāo)的倡導(dǎo)下，初中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該多滲透這樣的模型；高度的數(shù)學(xué)模型不僅能夠?qū)⒄n內(nèi)學(xué)的獨立零散的公式定理概念用一個模型串聯(lián)起來，還可以二次鞏固知識。這種中考常見的模型有很多，教師在課堂教學(xué)中要多滲透，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、抽取條件，選用相近知識建立模型。學(xué)生反復(fù)建立模型，會給學(xué)生的大腦潛意識播種數(shù)學(xué)模型思想，響應(yīng)了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也符合中考的命題方向，這種培養(yǎng)模式對教師和學(xué)生都大有裨益。在教學(xué)中，教師要做一個善于研究的教育家，多從各種教輔資料中挖掘總結(jié)出有利于學(xué)生吸收的知識，要對課本進行二次加工，而不僅僅只是咀嚼傳授簡單的課本知識或者照本宣科。本文所說的數(shù)學(xué)模型也不僅僅是簡單的定理公式之類，而是結(jié)合歷年中考常見題型、參考較多教輔資料、高度總結(jié)出的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生學(xué)習(xí)建立這種模型，了解背后原理后，可以在平時學(xué)習(xí)或考試中提高對模型的辨識度。學(xué)得簡單，用得靈活，這種教學(xué)思想有效地解決了部分學(xué)生公式定理記住了卻不會做題的問題。

教師要在日常教學(xué)中不斷發(fā)展學(xué)生的模型思想，做到以下幾點：第一，善于研究、勤于學(xué)習(xí)、勤于做題。只有教師有一桶水，才能給學(xué)生一滴水，教師要不斷更新自己的知識，重構(gòu)知識體系、教學(xué)方式方法，以收到良好的教育效果。第二，研究各種各樣的教輔資料，向有經(jīng)驗的前輩請教，構(gòu)建自己的知識體系和模型專題；結(jié)合學(xué)生實際，形成學(xué)生喜聞樂見的講課風(fēng)格。第三，通過一個模型專題的實際情境，抽象形成數(shù)學(xué)模型，在這個過程中給學(xué)生滲透模型思想。第四，要求學(xué)生進行反問思考，并當(dāng)場驗收聽課效果，而不是講完就過去了，以免學(xué)生還沒完全接受吸收。勤思考、多鉆研、多提問，才能培養(yǎng)出善于思考動腦的、有獨立思想的學(xué)生。