王偉春

[摘 ?要] 文章詳細(xì)地記述了“認(rèn)識無理數(shù)”一課的教學(xué)過程. 這節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循從具體到抽象的發(fā)展原則，通過“初步感知——體驗(yàn)感悟——有所體悟”的過程，讓數(shù)學(xué)課堂成為探究體驗(yàn)式課堂. 最后，總結(jié)出探究式教學(xué)的操作要領(lǐng)，并指出在教學(xué)活動中應(yīng)以學(xué)生的思維發(fā)展為核心，凸顯學(xué)生的主體性，讓課堂充滿成長氣息，這樣才能培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 探究式教學(xué);無理數(shù);有理數(shù);探究

問題的提出

在全面實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)的形勢下，數(shù)學(xué)課堂不再是“滿堂灌”的模式，而是在教師的激發(fā)誘導(dǎo)下，以學(xué)生的自主探究和合作討論為前提，為學(xué)生提供思考、質(zhì)疑、探究、表達(dá)和討論的時(shí)間與機(jī)會，讓他們通過各種探究性活動，很好地習(xí)得新知、應(yīng)用新知、發(fā)展能力. 這樣的教學(xué)模式即為探究式教學(xué)模式. 在這樣的教學(xué)模式下，學(xué)生的創(chuàng)造性思維和自主學(xué)習(xí)能力都能得到發(fā)展.

對探究式教學(xué)的基本理解

所謂探究式教學(xué)，就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過類似科學(xué)研究的方法去學(xué)習(xí)新知和解決問題的教學(xué)方式. 在這里，學(xué)生的探究是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的，且以解決問題為目標(biāo)導(dǎo)向，以探究性問題為載體，以自主、互動、討論、交流和展示等學(xué)習(xí)活動為主旋律. 在這樣的教學(xué)模式下，學(xué)生明晰了知識的來龍去脈，提升了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，孕育了參與意識、問題意識和合作探究的意識，這些均有利于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 下面筆者結(jié)合“認(rèn)識無理數(shù)”的具體教學(xué)過程，闡釋如何開展探究式教學(xué)，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過程

1. 回顧舊知，初步感知

師：回憶已學(xué)的有理數(shù)，有理數(shù)是如何分類的？除去有理數(shù)，還有其他的數(shù)嗎？（學(xué)生給出各種答案，教師板書）

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)的相關(guān)知識，而上面問題的提出使得學(xué)生在回顧舊知的過程中充分感受到有理數(shù)已經(jīng)不夠用了，從而激發(fā)了學(xué)生的探求欲望，并思考“哪些數(shù)既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù)呢”. 帶著這樣的問題，教師引出課堂，揭開無理數(shù)的“面紗”，讓學(xué)生由初步感知向體驗(yàn)感知邁進(jìn)，進(jìn)而進(jìn)入深入探究.

2. 深入探究，生成概念

活動1：取出準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長都是1的正方形，通過剪、切、拼、接等方式，構(gòu)造一個(gè)新的正方形. （要求：既無縫隙，又無重疊）

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生從已有素材和已有知識經(jīng)驗(yàn)著手，通過拼圖操作，變靜態(tài)的觀察為動態(tài)的發(fā)現(xiàn)過程，獲得了一個(gè)面積為2的正方形，從而引發(fā)學(xué)生的特別關(guān)注. 尤其是問題“邊長需要滿足的條件”對后續(xù)的學(xué)習(xí)起著重要的作用. 這樣的設(shè)計(jì)，一方面引起了學(xué)生的有意注意，另一方面，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

師：對于a2=2，a有可能是整數(shù)嗎？有可能是分?jǐn)?shù)嗎？

生1：a不可能是整數(shù)，也不可能是分?jǐn)?shù).

師：為什么？

設(shè)計(jì)意圖 通過回顧有理數(shù)的分類，學(xué)生得出這里的a不滿足有理數(shù)的定義. 可見，有理數(shù)已經(jīng)無法表示所有數(shù). 這樣的設(shè)計(jì)，既為學(xué)生的啟思導(dǎo)航提供了智力平臺，又為新數(shù)的探索奠定了基礎(chǔ).

活動2：借助計(jì)算器估計(jì)面積為2的正方形的邊長a的大小，探索a的大致取值范圍，說一說估算的方法及理由. （要求：以小組合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行）

師：（點(diǎn)撥）如何才能快速估算出a的取值范圍？事實(shí)上，為了盡量縮小a的取值范圍，在一定的精度要求下，一般情況下可以通過取“中點(diǎn)”的方法去縮小a的取值范圍，從而獲得一個(gè)更加接近的數(shù)值. （學(xué)生很快展開了分析和探究，教師及時(shí)板書分析的數(shù)據(jù)，見表1）

師：估算還能繼續(xù)嗎？a會是一個(gè)有限小數(shù)嗎？

生2：我覺得a是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).

師：如圖1所示，四邊形ABCD是長方形，且AB=2，BC=1，試估算出對角線AC（即b）的長.（學(xué)生探究后得出答案）

師：諸如1.41421356…，2.2360679…這類小數(shù)位數(shù)是無限的且不循環(huán)的小數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù). 我們也將無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)，如圓周率π=3.1415926…就是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，當(dāng)然，π也是一個(gè)無理數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 在給予學(xué)生足夠思考、探究和交流的時(shí)間的基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生直接感知和充分體驗(yàn)，進(jìn)一步探究得出a=1.41421356…，b=2.2360679…，并自然地引入“二分法”. 這里還有效地滲透了無限逼近的思想. 學(xué)生通過合作交流，感知到了“無理數(shù)是無限不循環(huán)的”. 在這個(gè)過程中，學(xué)生還能切實(shí)體驗(yàn)到無理數(shù)生成的必然性. 就這樣，通過一系列探究，學(xué)生生成并建構(gòu)了無理數(shù)的概念.

3. 分類整理網(wǎng)絡(luò)知識

師：誰能按照小數(shù)的形式，將目前已學(xué)的數(shù)進(jìn)行分類？（學(xué)生總結(jié)，教師一一板書）

設(shè)計(jì)意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生分類整理是為了培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，并促成學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的形成，強(qiáng)化分類思想. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生不僅進(jìn)行了有序分類，還分析了無限不循環(huán)小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)而對無理數(shù)有了更加深刻的認(rèn)識.

4. 數(shù)學(xué)應(yīng)用，鞏固提升

問題1：把下面的數(shù)分為兩類.

3.14159，，-，-5.2323323332…，1.234567891011…，-4..

有理數(shù)：______________________

無理數(shù)：______________________

問題2：下面的說法是否正確？正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.

（1）有限小數(shù)是有理數(shù). （ ? ）

（2）無限小數(shù)是無理數(shù). （ ? ）

（3）無理數(shù)都是無限小數(shù). （ ? ）

（4）有理數(shù)是有限數(shù). （ ? ）

問題3：下面的正方形的邊長是無理數(shù)的是（ ? ）

A. 面積為16的正方形

B. 面積為的正方形

C. 面積為8的正方形

D. 面積為1.21的正方形

問題4：已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長分別為3和5，那么該直角三角形斜邊的長a是有理數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生已經(jīng)掌握了無理數(shù)的概念，并建構(gòu)了自己的知識網(wǎng)絡(luò)，但要想靈活運(yùn)用，還需要多多練習(xí)，于是教師設(shè)計(jì)了四種不同類型的練習(xí)題，讓學(xué)生通過探究、發(fā)現(xiàn)、比較與抉擇，去鞏固和理解有理數(shù)和無理數(shù)的概念，理清二者的區(qū)別與聯(lián)系，不斷完善自己的知識結(jié)構(gòu).

5. 總結(jié)歸納，有所體悟

師：請大家以小組的形式談一談本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，并請各小組討論后派一名代表進(jìn)行發(fā)言.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生通過總結(jié)和歸納，及時(shí)將新習(xí)得的知識與方法進(jìn)行內(nèi)化，構(gòu)建了一個(gè)完整的知識體系. 這個(gè)過程有利于學(xué)生養(yǎng)成歸納總結(jié)的良好習(xí)慣. 可見，回顧與歸納不僅可以完善當(dāng)前的教學(xué)過程，還可以提煉出對未來學(xué)習(xí)有指導(dǎo)意義的信息.

對探究式教學(xué)的思考

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

上述教學(xué)過程遵循從具體到抽象的發(fā)展原則，通過“初步感知——體驗(yàn)感悟——有所體悟”的過程，讓數(shù)學(xué)課堂成為探究體驗(yàn)式課堂. 教學(xué)中的每一個(gè)活動，都以目標(biāo)為指引：初步感知的目標(biāo)是通過回顧有理數(shù)的相關(guān)知識，感知無理數(shù)產(chǎn)生的必要性;體驗(yàn)感悟的目標(biāo)是在自主探究中生成無理數(shù)的概念;有所體悟的目標(biāo)是在簡單的應(yīng)用和深刻的提煉中體悟和深化新知.

2. 操作要領(lǐng)

探究式教學(xué)的操作要領(lǐng)包括教師的有效問題設(shè)計(jì)和師生、生生的交流展示.

（1）有效問題設(shè)計(jì)

問題是促進(jìn)思維活動的前提，探究是推進(jìn)思維的形式. 教學(xué)中，教師要注重通過有效問題情境的方式促使學(xué)生進(jìn)行思考與探究. 裴光亞曾這樣獨(dú)到地論述問題情境：“憤”和“悱”是對問題情境的恰當(dāng)描述. 可見，問題情境并非簡單的數(shù)學(xué)問題，還應(yīng)有一種內(nèi)在需求孕育其中，即學(xué)生主動探究的欲望. 本課中，教師十分注重有效問題的設(shè)計(jì)，以它來引領(lǐng)學(xué)生探究新知，整個(gè)探究過程活動與問題有效融合，真正達(dá)到了問題情境的“憤”“悱”效果.

（2）交流展示

對學(xué)生的探究而言，合作交流與對話展示都是探究式教學(xué)中不可或缺的環(huán)節(jié)，它們可以充分展示學(xué)生的數(shù)學(xué)技能、激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 尤其是對話展示，其可以讓師生認(rèn)真地思考、傾聽、判斷，最終形成自己的新觀點(diǎn)和新問題，這是誘發(fā)思維及提升提出問題、分析問題和解決問題能力的有效方式.

3. 以思維為核心，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

大道至簡，探究式教學(xué)就是以學(xué)生的思維發(fā)展為核心，凸顯學(xué)生的主體性，讓課堂充滿成長的氣息，從而培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師應(yīng)力求通過有效問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生思維活躍，并積極主動地進(jìn)行感知、感悟、體悟和反思，從而提升自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)讓教學(xué)過程充滿挑戰(zhàn)，讓數(shù)學(xué)課堂充滿韻味.

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