周海東
[摘 ?要] 在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代,計算機類數(shù)學(xué)實驗可以將抽象的數(shù)學(xué)原理可視化,促進學(xué)生深度學(xué)習(xí),完善學(xué)生的思維品質(zhì). 文章以“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”為例,闡述了信息技術(shù)與教學(xué)的深度融合,以及借助于計算機類數(shù)學(xué)實驗讓以高階思維為特征的深度學(xué)習(xí)發(fā)生的教學(xué)過程及實踐反思.
[關(guān)鍵詞] 信息技術(shù);數(shù)學(xué)實驗;深度融合;高階思維
《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》指出:“要強化教育信息化的應(yīng)用,提高教師應(yīng)用信息技術(shù)水平,更新教學(xué)觀念,改進教學(xué)方法,提高教學(xué)效果. ”因此,信息技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用需要從邊緣化的教學(xué)媒介走向內(nèi)核式的學(xué)習(xí)支持,以深度融合的方式從知識內(nèi)容的直接呈現(xiàn)轉(zhuǎn)向融入課堂的深度學(xué)習(xí). 筆者在蘇州工業(yè)園區(qū)“初中數(shù)學(xué)學(xué)科信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)融合創(chuàng)新觀摩研討活動”中講解了“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”一課,在深度學(xué)習(xí)理念的指引下,將數(shù)學(xué)實驗引入常態(tài)教學(xué),發(fā)揮信息技術(shù)內(nèi)核式的學(xué)習(xí)支持的作用,取得了很好的教學(xué)效果. 現(xiàn)將本節(jié)課的課堂片段及實踐反思呈現(xiàn)出來,與同行共研.
教學(xué)片段
1. 由“數(shù)”想“形”猜圖像
師:老師給了8組數(shù)對(如圖1所示),你們幫我找找看,哪些數(shù)對是適合反比例函數(shù)y=的,請選出你認為適合的數(shù)對.
[下列各組數(shù)中,適合函數(shù)y=的是_____.
①(1,6) ? ? ?②(2,-3) ? ? ?③(0,6)
④(3,2) ? ? ?⑤(-3,-2) ? ?⑥(-1,-6)
⑦(4,1.5) ? ?⑧(4,2.5)] [圖1]
師:我們來看看大家的答案(如圖2所示),大家的答案非常一致(選的都是①④⑤⑥⑦),但是老師發(fā)現(xiàn),剛才在選擇的過程中,有的同學(xué)選得特別快,有的同學(xué)則選得比較慢,我想請選得特別快的同學(xué)與大家分享一下有沒有什么竅門.
生1:把x和y兩個數(shù)據(jù)都代進去.
師:那么(2,-3)你是怎么代進去的?
生1:就是把x=2代進去,算出y=-3. 與縱坐標進行比較,相等則適合.
師:有沒有更快的方法?
生2:我是直接將x與y相乘,看是否等于6.
師:你真厲害!同學(xué)們想不想再來試一遍?
生(眾):想.
師:好. 既然我們已經(jīng)掌握了方法,那么我們就再來試8組數(shù)對(如圖3所示,筆者請一位學(xué)生上黑板前試一試,和同學(xué)們一起比一比速度).
師:這一次有幾位同學(xué)選了不同的答案(如圖4所示),有一位同學(xué)選了(0,0),我們請他來說說看是怎么想的.
生3:(0,0)不適合,我看錯了!
師:還有8位同學(xué)選了(6,0),行嗎?
生(眾):不行!
師:y=0行不行?為什么?
生(眾):也不行,因為k≠0,y就不可能為0.
師:我們剛才找了8組數(shù)對,請同學(xué)們仔細觀察一下這8組數(shù)對,能否想象一下這個函數(shù)的圖像是什么樣的呢?
師:為了讓同學(xué)們看得清楚一點,老師將大家剛才找出的8組數(shù)對排了一個隊(如圖5所示),你們先看看這些數(shù)有何規(guī)律.
生4:左邊都是正的,右邊都是負的?
師:有沒有可能出現(xiàn)兩個數(shù)“一正一負”的情況?
生5:不可能,因為他們的積是正數(shù),所以這兩個數(shù)一定是同號的.
師:非常好!如果這兩個數(shù)是同號的,那么圖像上會有什么規(guī)律?
生6:同號的點一定在一、三象限.
師:不用畫圖,我們就可以判斷“圖像一定在一、三象限”!還有沒有其他可以看出的規(guī)律?
生7:從左往右y值在減小.
師:一直在減小?
生7:在-1到1之間好像發(fā)生了一次跳躍,變大后又逐漸減小.
師:這一次“跳躍”又是為什么呢?
教學(xué)說明 ?筆者沒有沿用“列表—描點—連線”這一常規(guī)研究函數(shù)圖像的套路,而是另辟蹊徑,通過“尋找適合反比例函數(shù)的數(shù)對”的方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達式中“數(shù)”的規(guī)律,再通過“數(shù)”的規(guī)律去猜想“形”的樣態(tài),讓學(xué)生初步感知反比例函數(shù)的圖像. 可謂“意料之外,情理之中”.
2. 循“點”覓“形”現(xiàn)圖像
師:顯然,光看“數(shù)”,是看不出來圖像的,怎么辦呢?我們需要把這些點描畫出來. 我們知道,要畫出函數(shù)的圖像,需要列表、描點,通過點把圖像描畫出來. 請同學(xué)們在操作紙上描畫出這8個點. (借助于信息技術(shù)同步顯示學(xué)生的作圖過程,如圖6、圖7所示)
師:同學(xué)們都描畫出了這8個點,請同學(xué)們再來看一下這8個點(如圖8所示),它們能否反映出反比例函數(shù)圖像的特點?你能試著把這個反比例函數(shù)的圖像畫出來嗎?
學(xué)生開始嘗試畫圖(如圖9、圖10、圖11所示).
師:老師看了所有同學(xué)畫的圖,雖然大家畫的圖不盡相同,但至少我們可以做出一個論斷:從這些點來看,反比例函數(shù)的圖像肯定不是直線. 可是圖像到底是像圖10這樣的曲線,還是像圖11這樣的折線呢?同學(xué)們想不想知道?
生(眾):想!
師:那么我們肯定還需要更多的點,我們可以利用軟件描畫出更多的點,100個點、1000個點(如圖12所示)……你們認為還需要多少個點?
生8:10000個.
師:你們覺得,由這10000個點描畫出來的圖像會是怎樣的?
生9:顏色會更深.
師:為什么?
生9:點更密了!
師:我們來看這10000個點描畫出來的圖像(如圖13所示),看來我們已經(jīng)不需要再加密了,因為同學(xué)們已經(jīng)知道圖像是怎樣的了.
師:剛才1個點時,我們沒有描畫出圖像;8個點時,我們描畫出了一些“奇怪”的線;現(xiàn)在無數(shù)個點時,我們可以看出函數(shù)y=的圖像是——
生(眾):兩支曲線.
師:事實上,函數(shù)y=的圖像就是兩支曲線,我們稱這兩支曲線為“雙曲線”. 我們用描點的方法把函數(shù)y=的圖像描畫出來了,請同學(xué)們將剛才所畫的圖像修正一下.
教學(xué)說明 ?反比例函數(shù)的圖像是“曲線”,這與學(xué)生以往的經(jīng)驗有較大沖突,若直接通過講授或用計算機作圖的方式把兩條曲線呈現(xiàn)出來,則只會讓“數(shù)學(xué)事實和概念”單向傳遞,這種淺層次的教學(xué)方法無法引起學(xué)生高階思維的發(fā)展,甚至?xí)拗茖W(xué)生的認知加工活動. 因此,筆者設(shè)計了“想象—試連—密點—修圖”這樣一個深度學(xué)習(xí)的線路,讓反比例函數(shù)的圖像逐漸露出“廬山真面目”.
3. 探“圖”尋“規(guī)”研性質(zhì)
師:既然我們已經(jīng)把圖像描畫出來了,我們就一定能從圖像中找到一些不變的東西——規(guī)律. 請同學(xué)們再來仔細觀察一下反比例函數(shù)的圖像.
生10:兩支曲線關(guān)于原點中心對稱.
師:這位同學(xué)說,兩支曲線關(guān)于原點中心對稱,但這僅是你的一種猜想,眼見未必為實,是否正確老師要打一個“問號”. 還有什么發(fā)現(xiàn)嗎?
生(眾):……
師:我們的眼睛不能只盯著這兩支曲線,我們應(yīng)該看得更寬廣一點,這個圖像后面還有沒有曲線?
生(眾):有.
師:多不多?多到什么程度?我能把這個圖像畫到盡頭嗎?
生11:畫不到盡頭,但它的圖像永遠不會與x軸、y軸相交.
生12:我發(fā)現(xiàn),圖像與坐標軸無限接近,卻永不相交.
師:為什么永不相交?
生12:因為從數(shù)來看, x值、y值都不等于0.
師:如果k=-6呢?不畫圖,你們能不能說一說這個圖像是什么樣的呢?
生13:圖像應(yīng)該在二、四象限.
師:為什么在二、四象限?
生13:因為k=-6,所以點的橫、縱坐標是異號.
師:你們能否不描點,畫出函數(shù)y=大致的圖像.
學(xué)生畫圖,教師觀察學(xué)生畫圖,并把典型的圖像(圖14)挑選出來.
師:這個圖像(圖14)是否符合函數(shù)y=的圖像的基本特征?
生14:位置沒問題,但圖像不能與x軸有交點.
師:是否還有其他問題?
生15:不能出現(xiàn)向上翹的“尾巴”.
師:為什么曲線不能這樣延伸?
生15:往左邊看,當x的值越小時,-x的值反而越大,所以的值會越來越接近于0,曲線也會逐漸接近于x軸,但由于x≠0,所以曲線與x軸不會相交.
師:大家體會一下,應(yīng)該怎樣在反比例函數(shù)的圖像中表達“無限接近,永不相交”.
學(xué)生再次修正圖像.
師:我們一起來看一下通過描點呈現(xiàn)出來的y=的圖像(如圖15所示). 跟你們畫的一樣嗎?
生(眾):一樣.
師:透過圖像,我們看到了很多規(guī)律. 同學(xué)們想一想,如果再次改變k值,那么大家應(yīng)該能在大腦里把函數(shù)圖像想象出來了吧?
生(眾):嗯.
師:通過剛才對函數(shù)圖像的研究,我們可以歸納一下反比例函數(shù)圖像的特征(略).
師:繼續(xù)來思考,剛才有一位同學(xué)認為反比例函數(shù)的圖像是中心對稱圖形,你們是否有方法來證明?
生16:可以把圖像繞點O旋轉(zhuǎn)180°,看它是否重合.
師:你能證明嗎?
生16:可以,在函數(shù)y=(k≠0)的圖像上任取一點P(a,b),則ab=k.因為點P關(guān)于原點O對稱的點P′的坐標為(-a,-b),把x=-a代入y=,得y===-b,所以點P′也在函數(shù)y=(k≠0)的圖像上.
師:顯然,反比例函數(shù)的圖像一定是中心對稱圖形,對稱中心為原點.
教學(xué)說明 ?反比例函數(shù)圖像的三大特點“雙曲線型”“延展性”“對稱性”比較隱性,若不深入研究,學(xué)生很難形成高階思維. 反比例函數(shù)的圖像由“一條”到“兩支”,形態(tài)由“直”到“曲”,由“連續(xù)”到“間斷”,由與坐標軸“相交”到“無限接近”,經(jīng)歷了深度研究反比例函數(shù)圖像的整個過程,使學(xué)生對反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性有了更深層的理解. 對學(xué)生而言,這不僅是認識上的一次升華,也是思維上的一次飛躍.
4. 品“形”思“數(shù)”悟思想
師:我們繼續(xù)來看反比例函數(shù)的圖像,圖像從左到右呈現(xiàn)了怎樣的變化趨勢?
生17:上升.
師:我們在研究一次函數(shù)時,圖像上升說明了什么?
生18:圖像上升說明了y隨著x的增大而增大.
師:這里是否也可以這樣說?
生19:不能
師:為什么不能?
生19:要加上“在每個象限內(nèi)”,因為反比例函數(shù)的圖像分布在兩個象限內(nèi),并且圖像是斷開的.
師:再看y=的圖像.
生20:圖像下降,說明在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而減小.
師:回到“數(shù)”來看,你們能否從“數(shù)”的角度分析一下反比例函數(shù)圖像的變化趨勢跟誰有關(guān)?
生21:跟k有關(guān),當k>0時,在每個象限內(nèi),y隨著x的增大而減小;當k<0時,在每個象限內(nèi),y隨著x的增大而增大.
教學(xué)說明 ?反比例函數(shù)的圖像,本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體. 通過對圖像的研究和分析,可以確定反比例函數(shù)的性質(zhì). 這樣從“數(shù)”想象“形”,再從“形”研究“數(shù)”,讓學(xué)生體悟數(shù)形結(jié)合思想. 引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系、發(fā)展的眼光進行系統(tǒng)思考,進一步積累研究函數(shù)圖像的經(jīng)驗,為今后研究新函數(shù)提供一個可具體操作的路徑.
教學(xué)反思
深度學(xué)習(xí)(Deep Learning)是對學(xué)習(xí)狀態(tài)的質(zhì)性描述,涉及學(xué)習(xí)的投入程度、思維層次和認知體驗等諸多層面,強調(diào)對知識本質(zhì)的理解和對學(xué)習(xí)內(nèi)容的批判性利用,追求有效的學(xué)習(xí)遷移和真實問題的解決,屬于以高階思維為主要認知活動的高投入性學(xué)習(xí). 信息技術(shù)與教育教學(xué)的深度融合促成了教育教學(xué)方式的變革與創(chuàng)新. 但是,信息技術(shù)給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來便利的同時,也帶來了課堂缺乏深度的問題. 因此,深度融入信息技術(shù)的數(shù)學(xué)課堂,應(yīng)該關(guān)注高階思維,促進深度學(xué)習(xí)的發(fā)生,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).
1. 確立提升高階思維的目標導(dǎo)向,引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生
信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教學(xué),最根本的價值是促進學(xué)生的個體心理機能從單純的認知發(fā)展走向意義獲得和身份認同的雙重發(fā)展. 因此,深度融合信息技術(shù)的數(shù)學(xué)課堂,應(yīng)該確立提升學(xué)生高階思維的目標導(dǎo)向. 筆者認為,除去寫在書本上的知識之外,課堂教學(xué)還應(yīng)把高階思維的發(fā)生和發(fā)展作為一條教學(xué)暗線伴隨課堂教學(xué)的始終. 例如,在本節(jié)課的教學(xué)中,知識作為明線,講授的是反比例函數(shù)的圖像是什么、具有怎樣的性質(zhì);而思維作為暗線,培養(yǎng)的是學(xué)生的系統(tǒng)思維,積累研究函數(shù)圖像的經(jīng)驗.
2. 創(chuàng)設(shè)促進深度學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)境,提升課堂思維的品質(zhì)
教學(xué)環(huán)境是教與學(xué)順利開展的保障. 目前,我們在信息化教學(xué)環(huán)境的硬件建設(shè)中,往往把注意力集中在知識、設(shè)備、軟件等方面,著眼于知識傳遞和以學(xué)生認知發(fā)展為中心的教學(xué),而忽視了學(xué)生的體驗. 基于學(xué)生深度思維的發(fā)展,構(gòu)建教學(xué)環(huán)境一定要將學(xué)生放在第一位,將學(xué)生作為教學(xué)環(huán)境建設(shè)的邏輯起點和歸宿. 一是要在思維層面注意系統(tǒng)思維的構(gòu)建;二是要在技術(shù)層面建立能夠支持多重交互、自主探究、協(xié)作學(xué)習(xí)等多方面要求的教學(xué)環(huán)境. 因此,筆者在設(shè)計本節(jié)課時,一方面在技術(shù)層面構(gòu)建了以“希沃電子白板”“點通互動課堂”為核心,在師生之間、生生之間及人機之間可以實時進行全員交互的教學(xué)環(huán)境;另一方面在思維層面構(gòu)建了本節(jié)課的整體架構(gòu),通過對反比例函數(shù)表達式的特征分析,讓學(xué)生初步感知反比例函數(shù)圖像的分布區(qū)域和趨勢. 通過對反比例函數(shù)圖像的定性分析,確定了反比例函數(shù)的性質(zhì),這樣從“數(shù)”想象“形”,從“形”研究“數(shù)”,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想,提升了課堂的思維品質(zhì).
3. 構(gòu)建提升核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)活動,體悟數(shù)學(xué)思想和方法
史寧中教授認為,在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的大背景下,教學(xué)強調(diào)素養(yǎng)的形成,不是依賴單純的課堂教學(xué),而是依賴學(xué)生參與其中的教學(xué)活動;不是依賴記憶與理解,而是依賴感悟與思維. 它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗的積累. 尤其是在信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的課堂上,克服信息技術(shù)本身對教學(xué)的干擾,將注意力更加聚焦于學(xué)生的思維過程,這值得思考. 筆者在設(shè)計本節(jié)課時,根據(jù)曲線型函數(shù)的特點,設(shè)計了“由數(shù)想形”“描點試連”等常態(tài)化數(shù)學(xué)實驗,借助于軟件希沃5.0和Around U引導(dǎo)學(xué)生參與具體情境中的實踐活動獲取知識、構(gòu)建意義并解決問題,讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、嘗試的思維過程,再通過“點加密”的方法去驗證反比例函數(shù)的圖像,最終達成將所學(xué)知識(反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì))與情境(函數(shù)圖像的研究方法)建立聯(lián)系并遷移的目的. 讓學(xué)生親歷知識形成的過程,讓知識內(nèi)化、讓理解深入,從而整體感知函數(shù)的學(xué)習(xí)方法.
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