汪曉慧

[摘 ?要] 數學學習的主要內容應該是數學的結構. 讓學生學會如何去思考，如何將新的思維、知識、方法等納入認知結構，是數學教學的關鍵所在. 文章通過一節(jié)專題復習課的反思，談談在教學中如何有效地設計教學主線，提升學生學習的有效性，促進學生提升數學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 認知結構;主線設計;專題復習

數學學習，解題是其中非常重要也是極其關鍵的一種形式，“數學學習是數學認知結構的組織（同化）和重新組織（順應）并形成新結構的過程，即是一個‘再創(chuàng)造’過程”[1]. 因此，在日常教學中，尤其是在專題復習的過程中，如何有效地提高學生分析、解決問題的能力就顯得至關重要. 隨著教學改革的推進，我們對教師教學、學生學習的研究越來越多，越來越明顯地強調學生的學習. 但是在實際的教學中，背誦加模仿操練的模式還是隨處可見，這樣的情況產生的是碎片化學習. 教師的教學就題論題，學生的學習模仿操練，嚴重影響了教學效果的提升，加重了教學負擔和學習壓力.

數學是一門結構性很強的學科. 在教學中，對數學知識、思維、方法等結構的研究和思考還是比較缺乏的，而數學知識、思維、方法等結構又是數學學習的基礎和關鍵. “數學知識不是孤立的單點或離散的片段，數學方法也不是個別無關的一招一式，它們血肉相連，組成一條一條的‘知識鏈’，并組合為知識體系，形成一定的知識結構.”[2]在教學中，尤其是在復習課的教學中，就題論題、就事論事的情況仍然常見，將數學復習理解為解題，并認為僅靠解題就能提升學生對概念的理解、定理的運用，這是非常危險的，對學生的數學學習造成的負面影響也是非常大的. 顧廣林曾指出：“讓學生學到結構化的知識，形成完整的認知結構，應是復習課的追求. ”[3]因此在教學中，教師要努力讓學生形成結構化知識、結構化思維、結構化方法. 下面，筆者將以一節(jié)初三（九年級）二次函數背景下相似問題的專題復習課為例，談談專題復習課教學主線的設計.

本節(jié)課的主線設計

1. 教學主線的設計

本節(jié)課是一節(jié)初三（九年級）的專題復習課，知識點相對集中，需要學生對二次函數、相似三角形等知識的綜合理解和運用，其中最關鍵的是相似三角形的判定、性質及應用.

首先，相似三角形的判定及性質涉及較多的數學定理，尤其是對定理條件的熟練應用是關鍵. 我們知道“相似”追根溯源是“全等”的一般化，因此對其本源性知識要有一個全面的理解，通過邊角滿足的條件進行分析.

其次，本節(jié)課是在二次函數背景下解決問題，所以有其特殊性，需要綜合考慮二次函數的相關知識及二者（二次函數、相似三角形）在相應背景下產生的新問題.

第三，本節(jié)課主要考慮的是相似三角形的問題，所以需要從相似三角形條件的變換、要素的交替進行思考分析.

第四，問題分析過程中，確定性和不確定性是難點所在，對于問題中的不確定性因素，發(fā)現并分析其中的規(guī)律，找出解決辦法.

在這樣的分析過程中，可以引導學生真正理解相似相關知識的本質，理解其在二次函數背景下相關問題的特殊性.

2. 學情的綜合分析

本節(jié)課需要考慮的是在二次函數的背景下相似三角形的判定問題，因此要求學生熟練掌握相似三角形的知識，尤其是其判定定理;需要學生根據已知條件對相似三角形的判定進行分類討論，因此要求學生對于不確定情形下的問題能進行合理適當的分類討論;需要考慮在綜合的背景下對相似問題的解決，這對學生分析問題、解決問題、推理能力等方面都有較高的要求.

因此，在學生的學習過程中，本節(jié)課的重點是讓學生能根據已知條件確定相似三角形的全定條件及相似三角形的對應關系;同時，有兩個難點需要引起注意，一是對相似三角形對應關系的確定，二是對相似三角形問題中出現的不確定性問題的分類討論.

3. 教學實施過程

問題的提出應該建立在問題發(fā)生、發(fā)展合力的基礎上，同時在問題歸納推理的前提下. 本節(jié)課主要是提煉學生在學習過程中遇到的、顯現出來的一系列問題背后的規(guī)律、模式化知識和方法，以更加有效地納入學生的認知結構. 教學設計要關注學生的自主學習，要在學生學習過程中一些關鍵的地方進行指導、提煉，引導學生順利完成學習活動. 具體的實施過程如下：

（1）引入問題.

分析前一天回家作業(yè)的第一題，重點是第三小問的解決思路. （引例）如圖1所示，已知拋物線y=ax2-2x+c經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），B（9，10），AC∥x軸.

①求這條拋物線的解析式;

②求tan∠ABC的值;

③若點D為拋物線的頂點，點E是直線AC上的一點，當△CDE與△ABC相似時，求點E的坐標.

設計意圖 ?通過對前一天布置的回家作業(yè)的第一題的第三小問的分析解答，引出本節(jié)課主要解決的問題，同時通過分析，明晰這類問題常規(guī)的解決思路.

（2）學習新課.

問題1：如引例，其他條件不變，第三小問分別改為以下情形.

情形1：如圖2所示，點M是拋物線對稱軸上的一點，△CDM與△ABC相似，求點M的坐標.

情形1與引例基本類似，屬于“兩個三角形中一個全定、一個待定，并且有一個角對應相等”的模型，因此本題由學生自主解答，強化引例的思路和方法的運用.

情形2：如圖3所示，點M是y軸上的一點，點N是直線AC上的一點，△ACM與△ABN相似，求點M的坐標.

情形2與之前的情形有所區(qū)別，屬于“兩個三角形都不確定，但各有一個固定角”的模型，通過互推確定這兩個三角形，進而解決問題. 本情形中隱含了分類討論思想，在教學中要關注學生分類討論意識的形成，這也是本節(jié)課的“暗線”所在.

情形3：如圖4所示，點M是拋物線對稱軸上的一點，點N是直線AC上的一點，△ACM與△ABN相似，求點M的坐標.

情形3屬于“兩個三角形都不確定，但其中一個定角，一個定形狀”的模型，可通過相似關系解決. 本情形仍然考查學生由問題的不確定性而引起的分類討論思想.

設計意圖 ?對于這樣三個情形的設計，引導學生有目的、有方向、有邏輯地分析、思考問題，而不是試運氣. 在對這幾個問題的綜合分析、梳理下，引導學生形成二次函數背景下相似問題的基本分析套路，能有方法解決問題;清楚學生分析問題的思路，明確學生解決問題的方向，優(yōu)化學生應用模式的途徑.

問題2：由“課前練習2”引入問題. （課前練習2）如圖5所示，已知拋物線經過點A（0，3），B（4，1），C（3，0）.

①求該拋物線的解析式;

②連接AC，BC，AB，求∠BAC的正切值;

③點P是該拋物線上的一點，且在第一象限內，過點P作PG⊥AP交y軸于點G，當點G在點A的上方，且△APG與△ABC相似時，求點P的坐標.

本題表面上看似一個三角形全定、一個三角形待定，與前面的第一種情形相同，但實際上按照前面的方法并不好解決此題，此時需要綜合學生的知識技能，通過轉化解決問題.

設計意圖 ?在學生形成了一定解決思路和模式的情況下，回到“一個三角形全定、一個三角形待定”的情形卻與之前的解決方法不一樣，突破學生的固化思維，讓學生在模式化學習中能自由運用.

4. 歸納反饋

通過課堂歸納、課后鞏固等環(huán)節(jié)，提煉、優(yōu)化本節(jié)課的教學主線，明了提出問題、分析問題、解決問題的認識主線，進一步提升本節(jié)課的教學效果.

教學主線的設計建議

章建躍博士認為，課堂教學主線是教師在“理解數學”“理解教學”“理解學生”的基礎上形成的課堂結構和教學線索，其基本表現形式是反映當前數學知識本質、具有邏輯關聯性、循序漸進、逐步深入的“問題串”. 同時強調，教學主線一定要反映學生的認知規(guī)律[4]. 所以在教學中，設計有效的“問題串”是整節(jié)課成敗的關鍵因素，而“‘問題串’是教學進程的鏈條，‘問題串’要突出所授內容的結構”. 實際上，好問題的創(chuàng)設應成為教師教學設計的基本追求之一.

（1）要有好問題. 根據章建躍博士的意見，一節(jié)好課應該有“一串”好問題. 這些問題應該是在“理解數學”“理解教學”“理解學生”的基礎上形成的有助于學生完善知識結構、提升思維結構、優(yōu)化方法結構的一連串問題. 一節(jié)課的問題不在于多少，而在于問題的質量、問題的廣度和深度，以及提出問題的契機、方式和形式，還有學生解決問題的自覺性、獨立性和積極性.

（2）整體符合規(guī)律. 章建躍博士特別強調，教學主線一定要反映學生的認知規(guī)律. 我們的教學主線不但要符合學生的認知規(guī)律，還要切合教學實際，符合學生的成長規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，符合學生認知結構形成、完善的規(guī)律，要有利于學生將新的知識、方法、思想納入認知結構，完善新的結構，而不是對一些所謂的方法、技能、技巧死記硬背. 畢竟在數學學習的過程中，尤其是隨著年齡的增加，知識難度逐漸加大，真正需要去記憶的東西會越來越少，更多的數學問題都可以通過對數學概念的理解并結合主觀能動性進行推理解答.

（3）利于結構完善. 李昌官博士認為，數學是結構性很強的學科，數學教學應堅持結構性原則[5]. 現在的教學中存在著一個非常普遍的現象，即教知識、不教結構，所以導致學生獲得的是零散的知識，未能將知識組織、聯系在一起，這就是為何會有很多知識豐富、能力低下的現象. 因此，如何在教學中強化知識之間的聯系，幫助學生形成、發(fā)展、完善知識結構、思維結構、方法結構，應該成為教師最關鍵或最重要的任務之一.

書本上的知識是靜態(tài)的，教師實施教學，非常關鍵的一點就是要讓這種靜態(tài)的知識動起來，讓動態(tài)的知識成為學生完善認知結構的催化劑. 我們要意識到并始終牢記：知識的作用主要不是知識量的作用，而是知識的有效結構的作用[6]. 尤其是在復習課中，就題論題，大搞題海戰(zhàn)術無益于學生的成長，只有將課上所講的內容有機地串接起來，形成有效的結構，才能最大限度地提升學生的學習效率.

參考文獻：

[1]黃偉. 中小學數學知識結構探究[J]. 重慶教育學院學報，2005（06）.

[2]俞健，蘇擁英. 知識結構對解題過程影響的一些嘗試[J].數學學習與研究，2015（01）.

[3]顧廣林. 用“結構化”引領復習課教學——直角三角形復習課的教學實錄與反思[J]. 中學數學月刊，2017（12）.

[4]章建躍. 章建躍數學教育隨想錄[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.

[5]李昌官. 論數學教學的結構性原則[J]. 中小學數學（高中版），2017（10）.

[6]易廣聰. 重視知識結構的形成 ?提高學生的數學素質[J]. 現代教育論叢，1998（04）.

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