周長峰，張家豪，魯大坤，劉立邦，婁光浩

山東交通學(xué)院 汽車工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250357

0 引言

在進(jìn)行汽車振動、模態(tài)參數(shù)辨識等試驗(yàn)研究時，通常要獲取車身的振動固有頻率和阻尼比等參數(shù)，多采用偏頻試驗(yàn)和正弦掃頻的方法，由于車輪的跳動與車身的跳動相互耦合，為了消除車輪跳動的影響，需要固定輪轂，將整個車身看作是一個垂向振動的單自由度系統(tǒng)。文獻(xiàn)[1-9]論述了振動系統(tǒng)受力平衡方程、頻率響應(yīng)特性、路面輸入激勵下的響應(yīng)等方面的內(nèi)容。如文獻(xiàn)[2]運(yùn)用廣義虛功原理建立汽車振動微分方程組，建立考慮路面不平整度因素的車輛振動數(shù)值模型，用以研究車輛的振動響應(yīng)情況與車輛行駛速度和公路路面狀況之間的關(guān)系，得出以下結(jié)論：相同車速情況下，隨著路面狀況變差，車體振動強(qiáng)度呈現(xiàn)幾何級數(shù)增大的趨勢；相同路面等級情況下，車體振動強(qiáng)度隨車速增大而增加，但存在一個車速增大而車體振動強(qiáng)度不再增大的平緩區(qū)間。文獻(xiàn)[10]分析了阻尼振動系統(tǒng)的欠阻尼、過阻尼、臨界阻尼3種狀態(tài)，并敘述了受迫振動系統(tǒng)中能量損耗和能量補(bǔ)充問題。文獻(xiàn)[11-14]推導(dǎo)了有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動通解，分析了振幅和頻率比、阻尼比的關(guān)系。文獻(xiàn)[15-20]分別建立了車輛懸架振動數(shù)學(xué)模型，并考慮對減振器消耗的能量進(jìn)行回收。文獻(xiàn)[21-25]建立了主動懸架的汽車振動微分方程，并對它們的響應(yīng)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明安裝主動懸架的汽車乘坐舒適性有很大提高。

當(dāng)前的研究以主動懸架和振動能量回收為熱點(diǎn)，但上述研究中未見初始位移作用下車身振動系統(tǒng)能量消耗的詳細(xì)闡述。本文推導(dǎo)初始位移作用下車身垂向振動系統(tǒng)減振器在一個周期內(nèi)能量消耗的計算公式，以及此工況下振動系統(tǒng)停止振動需要滿足的周期數(shù)量，以便對車身振動系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識時，可以有針對性地改變車身振動系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)，使之產(chǎn)生多個周期振蕩，從而更精準(zhǔn)地識別車身振動系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

1 車身振動系統(tǒng)初始位移下的響應(yīng)

剛性固定車輛的行駛系統(tǒng)，只對車身施加一個初始垂向位移，所引起的系統(tǒng)振動與單自由度系統(tǒng)振動類似。單自由度車身振動系統(tǒng)主要由車身、彈簧、減振器組成，其單自由度模型如圖1所示。圖1中：m為車身質(zhì)量；k為彈簧剛度系數(shù)；c為減振器阻尼系數(shù)；O為車身振動系統(tǒng)靜平衡位置；-x0為初始位移；F(t)為簡諧振動的外激勵力，F(xiàn)(t)=F0sin(ωt),其中F0為力幅，ω為激勵圓頻率，t為系統(tǒng)的振動時間。

圖1 單自由度車身振動系統(tǒng)模型

由牛頓力學(xué)定律可得單自由度振動系統(tǒng)在簡諧激振力作用下的振動微分方程

(1)

(2)

令k/m=ωn2，ωn為無阻尼固有頻率；令c/m=2ξωn，ξ為振動系統(tǒng)的阻尼比，0<ξ<1。將式(2)進(jìn)行因式分解和拉普拉斯反變換，可得在初始狀態(tài)下系統(tǒng)的位移響應(yīng)

(3)

(4)

單自由度車身振動系統(tǒng)的位移曲線如圖2所示，圖2中車身位移響應(yīng)曲線的相鄰兩個峰值(振幅)A1、A3之比稱為減幅系數(shù)η，由圖2及式(4)可以看出：

圖2 單自由度車身振動系統(tǒng)的位移

(5)

2 初始位移響應(yīng)中各部件的功

2.1 彈簧做功

如圖1所示，當(dāng)m在恒定載荷F作用下向下運(yùn)動x0并停止在該位置，運(yùn)動過程中忽略阻尼器的影響，載荷F與彈簧所做的功分別為

(6)

(7)

由式(6)(7)可以看出：載荷F的功全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能。m在第一個振動周期內(nèi)車身的運(yùn)動狀態(tài)以及彈簧做的功如表1所示。

表1 一個周期內(nèi)車身的運(yùn)動狀態(tài)及彈簧做的功

2.2 減振器做功

減振器在一個周期內(nèi)消耗的能量

(8)

由式(4)可知各時刻m的運(yùn)動速度

(9)

將式(9)代入式(8)，計算得到第一個周期內(nèi)減振器消耗的能量

(10)

(11)

由式(11)可以看出：在僅由車身初始位移引起的振動中，車身振動系統(tǒng)減振器消耗的能量只與阻尼比有關(guān)，與車身振動系統(tǒng)的固有頻率無關(guān)。

假設(shè)減振器每個周期消耗的能量為Wci，則n個振動周期內(nèi)減振器消耗的能量

(12)

當(dāng)車身振動系統(tǒng)的輸入功被消耗掉Ws(Ws為百分?jǐn)?shù))時，振動基本結(jié)束，因此車身振動系統(tǒng)停止振動需要滿足的條件為：

(13)

由式(12)(13)可計算經(jīng)過n個周期振動基本結(jié)束。n越大，則振蕩周期數(shù)越多，越便于在模態(tài)參數(shù)辨識時對車身振動系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。

3 算例

計算參數(shù)選取為：m=400 kg，k=15 kN /m，c=1 kN·s/m，x0=0.1 m,Ws=98%，由前述可求得ωn、ξ、A、η、Wk等參數(shù)。1～4個振動周期每個周期減振器消耗的能量分別為69.520、5.080、0.370、0.027 J，減振器消耗的能量占總輸入功的百分比分別為92.700%、99.500%、99.960%和99.997%。由此可知：隨著時間增加，各個周期內(nèi)減振器消耗的能量逐漸減小，消耗的能量與η2成反比。相鄰兩周期前者與后者所消耗的能量的比值為η2。根據(jù)式(13)計算得到n≥1.493，車身振動系統(tǒng)在1.5T內(nèi)其振動能量衰減了總輸入功的98%。

c不同時減振器所消耗的能量如圖3所示。由圖3可以看出：c較大時，減振器消耗的能量在較短的時間內(nèi)達(dá)到了75 J，c越大，達(dá)到75 J的時間越短；當(dāng)c較小時，振動系統(tǒng)持續(xù)振動的時間增加。相同時間內(nèi)，c越大，減振器消耗的車身振動系統(tǒng)的能量越多。

圖3 阻尼系數(shù)不同時減振器所消耗的能量 圖4 減振器消耗的能量隨阻尼比的變化關(guān)系

第一個周期內(nèi)減振器消耗的能量隨ξ的變化關(guān)系如圖4所示。由圖4可知：隨著ξ的增大，振動系統(tǒng)第一個振動周期內(nèi)消耗的能量逐漸增大，但ξ增大到0.3時，減振器第一個周期消耗的能量達(dá)到了73.56 J，占此狀態(tài)下總輸入功的98%。

當(dāng)k、c不變，m改變時，車身振動系統(tǒng)的加速度響應(yīng)波形如圖5所示。當(dāng)m、c不變，k改變時，車身振動系統(tǒng)的加速度響應(yīng)波形如圖6所示。

圖5 質(zhì)量改變時車身振動系統(tǒng)的加速度響應(yīng) 圖6 剛度改變時車身振動系統(tǒng)的加速度響應(yīng)

由圖5、6可以看出：當(dāng)k、c不變時，增加m，車身振動響應(yīng)的周期變長、達(dá)到振動基本結(jié)束所需的振蕩次數(shù)增加；當(dāng)m、c不變時，k越小，振動周期越長，振動加速度幅值越小，k越大，振動周期變短，達(dá)到振動基本結(jié)束所需的振蕩次數(shù)增加。因此在試驗(yàn)時，為減小每個周期減振器對車身振動系統(tǒng)能量的消耗，可以通過增加車身質(zhì)量或換裝大剛度系數(shù)的彈簧，再測量車身垂向振動的有阻尼振動響應(yīng)，并通過多次改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度，得到車身振動系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

4 結(jié)論

1)在一個振動周期內(nèi)，振動系統(tǒng)減振器消耗的能量隨著阻尼比的增大而增大，當(dāng)阻尼比增大到0.3時，減振器第一個周期消耗的能量達(dá)到總輸入功的98%。減振器各個周期內(nèi)消耗的能量逐漸減小，其消耗的能量與減幅系數(shù)的平方成正比。

2)進(jìn)行車輛振動試驗(yàn)時，剛性固定車輛的行駛系統(tǒng)，只對車身施加一個初始垂向位移時，系統(tǒng)的振動與單自由度系統(tǒng)振動類似。要使車身振動響應(yīng)的振蕩次數(shù)增加，則需要減小每個周期減振器對車身振動系統(tǒng)能量的消耗，當(dāng)剛度和阻尼系數(shù)不變時，需要增加車身的質(zhì)量，當(dāng)質(zhì)量和阻尼系數(shù)不變時，則要增大彈簧的剛度。試驗(yàn)時，通過多次改變上述物理參數(shù)，即能確定車身振動系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。