馬 敏， 王 濤

(中國民航大學(xué) 電子信息與自動化學(xué)院，天津 300300)

1 引 言

航空發(fā)動機工作環(huán)境復(fù)雜，滑油監(jiān)測數(shù)據(jù)易受噪聲干擾。噪聲不僅會導(dǎo)致信號在外觀形態(tài)上的變換，而且會影響信號后續(xù)處理的清晰度和準確度。因此，有效的數(shù)據(jù)去噪算法至關(guān)重要。

數(shù)據(jù)去噪是信號處理中的常見問題[1]。Donoho和Johnstone在小波變換的基礎(chǔ)上提出小波閾值去噪算法，運算邏輯簡單，去噪效果良好，成為主流的去噪算法[2～6,12～19]。對于基于小波變換的去噪算法，由特定的小波基函數(shù)生成的小波表示域確定小波系數(shù)的稀疏性，閾值函數(shù)用于獲得噪聲信號稀疏表示系數(shù)，影響重構(gòu)信號的稀疏性。因此，小波基函數(shù)和閾值函數(shù)的選擇都會影響數(shù)據(jù)的去噪效果[7]。針對閾值函數(shù)的選取，文獻[8]提出了一種帶有調(diào)節(jié)因子的閾值函數(shù)，閾值函數(shù)具有自適應(yīng)性，但去噪效果不太理想；秦冬冬等提出一種基于多層閾值函數(shù)的去噪方法，閾值函數(shù)可根據(jù)采樣的長度的變化進行調(diào)節(jié)，但未分析分解層數(shù)對去噪效果的影響[9]。針對小波基函數(shù)的選取，許羅鵬等犧牲部分對稱性，放寬正交性為雙正交性，選出了去噪效果更好的小波基函數(shù)[10]；郝泳濤等為了提高小波重構(gòu)精度，在分解和構(gòu)造時，分別構(gòu)造不同的小波基函數(shù)，去噪效果得到改善[11]。

數(shù)據(jù)去噪的原則是在濾除噪聲的同時，保留原始數(shù)據(jù)的細節(jié)信息。本文利用兩個小波基函數(shù)同時去噪，重新構(gòu)造雙小波去噪(double wavelet denoising, DWAD)模型，利用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers, ADMM)和Majorized-Minmizetion(MM)方法交替求解目標函數(shù)。將該算法應(yīng)用于滑油監(jiān)測數(shù)據(jù)，取得了較好的去噪效果。

2 數(shù)據(jù)集構(gòu)造

利用12電極的ECT系統(tǒng)采集航空發(fā)動機不同磨損狀態(tài)下的滑油監(jiān)測數(shù)據(jù)[16]，將歸一化的數(shù)據(jù)按時間軸和空間軸依次排列，構(gòu)造數(shù)據(jù)集。以某1磨損狀態(tài)為例，數(shù)據(jù)集構(gòu)造方法如圖1所示(E1-E2表示激勵E1傳感器時，E1傳感器和E2傳感器之間的電容值，數(shù)據(jù)集時間軸長度節(jié)點為1 024，空間軸長度節(jié)點為66)。

圖1 數(shù)據(jù)集構(gòu)造方法

3 雙小波非凸稀疏正則化去噪算法

3.1 問題描述

通常，含有噪聲的真實信號為：

y=x+n

(1)

式中：y∈RN為觀測信號；x∈RN為真實信號；n表示噪聲信號，通常假設(shè)n服從高斯分布?；谛〔ㄗ儞Q的去噪模型可以表示為：

(2)

式中：Cy表示觀測信號y的小波系數(shù)，通過軟閾值函數(shù)去噪，利用小波逆變換得到去噪信號。

信號可看作不同尺度下小波基的線性組合，觀測信號和原始信號都可用2個小波基來表示：

(3)

式中：C1、C2、C1y、C2y為原始信號和觀測信號在2個小波域下的小波系數(shù)；W1、W2表示小波變換矩陣。

在實驗室條件下獲得原始ECT信號，通過加性高斯白噪聲(additive white gaussian noise, AWGN)對數(shù)據(jù)破壞作為觀測信號。以磨損狀態(tài)1中E1～E2傳感器之間的噪聲數(shù)據(jù)為例，由圖2可以看出，在Daubechies(db4)和Symlets(sym4)小波基函數(shù)下，噪聲數(shù)據(jù)的小波系數(shù)具有不同的分布，這表明可在特定的小波域下濾波，在其它小波域下保留信號的細節(jié)。

圖2 不同小波基下小波系數(shù)

3.2 DWAD算法

為盡可能地保留數(shù)據(jù)細節(jié)信息，提高去噪性能，提出一種雙小波非凸稀疏正則化去噪算法，對信號進行非凸優(yōu)化去噪。DWAD的約束優(yōu)化問題如下：

(4)

式中：λ1、λ2表示正則化系數(shù)；P1、P2表示2個表示域下表示系數(shù)的罰函數(shù)，表示如下：

(5)

式中：φ表示罰函數(shù)；N表示系數(shù)數(shù)量；參數(shù)a控制罰函數(shù)的非凸性，且a∈[0,1/λ]。

式(4)是當(dāng)罰函數(shù)的參數(shù)a∈[0,1/λ]時，具有約束的凸優(yōu)化函數(shù)。可采用基于凸收斂理論的優(yōu)化方法來求得式(4)的最優(yōu)解。ADMM適合求解分布式凸優(yōu)化問題，根據(jù)增廣拉格朗日方法，用二次懲罰方法將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，得到增廣拉格朗日量：

(6)

式中：μ>0，式(4)可以通過迭代最小化式(6)中的C1和C2來解決。ADMM中的每次迭代分3次求解，交替求得式(4)的最優(yōu)解。

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：C1n是前一次迭代的最優(yōu)解；替代函數(shù)g1n(C1,C1n)由MM方法設(shè)計，定義為：

(11)

式中：

(12)

式(11)中，K1不依賴于C1，參數(shù)α應(yīng)滿足：

(13)

小波變換矩陣滿足單幀條件。因此，式(7)等同于以下問題：

(14)

最后，通過閾值函數(shù)，直接獲得公式(7)的最優(yōu)解：

(15)

式中：閾值函數(shù)Th( )由相應(yīng)的罰函數(shù)定義；參數(shù)λ1為第一小波域下的正則化參數(shù)。

式(8)中最優(yōu)變量與變換矩陣W2耦合，類似于式(7)，可用MM方法來解決，替代子目標函數(shù)為：

(16)

式中：

(17)

由于小波變換矩陣滿足單幀條件，式(8)可以簡化為：

(18)

使用由特定罰函數(shù)指定的閾值函數(shù)來生成最優(yōu)解：

(19)

式中：λ2是第二個小波域下的正則化參數(shù)。

不同小波域下原始信號的表示系數(shù)具有不同的稀疏性。對于表示系數(shù)稀疏性強的小波域，設(shè)置小正則化參數(shù)。兩個小波域的正則化參數(shù)設(shè)為：

λ1=γλ
λ2=(1-γ)λ

(20)

式中：γ表示比例系數(shù)，且每次迭代都會更新，定義如下：

(21)

通過閾值函數(shù)交替求解2個子問題，在2個小波域下獲得濾波后的小波系數(shù)。原始信號的不同細節(jié)信息在不同的小波域下保留，采用2個去噪信號差對式(9)中的d值進行更新，2個目標子函數(shù)的解可推導(dǎo)出相同的去噪信號。用小波變換矩陣分別得到去噪信號：

(22)

DWAD算法中，小波基函數(shù)的選擇有2個原則：第1是小波系數(shù)的稀疏性，選擇L1范數(shù)較小的小波基函數(shù)作為觀測信號；第2是選擇兩個相關(guān)系數(shù)較低的小波基函數(shù)，有利于細節(jié)信息的保留。

對于用于求解DWAD模型的ADMM，參數(shù)μ影響算法的收斂速度。為了提高收斂速度，每次迭代都會更新μ：

(23)

4 實驗結(jié)果分析

4.1 DWAD算法對連續(xù)信號的去噪性能分析

首先，測試DWAD算法對于ECT連續(xù)信號的去噪性能。將噪聲信號的信噪比(SNR)設(shè)置為16，利用sym4和db4兩個小波基函數(shù)分別生成了2個5尺度小波變換。設(shè)置迭代次數(shù)Iter=20，迭代參數(shù)μ=0.8。

使用不同尺度下的通用閾值濾波。在db4和sym4小波域下，采用經(jīng)典的軟閾值方法和罰函數(shù)法(對數(shù)函數(shù)、有理函數(shù)和反正切函數(shù))與DWAD算法進行比較。對于軟閾值方法，閾值設(shè)置為2.5σ。對于罰函數(shù)法和DWAD方法，閾值和參數(shù)分別設(shè)置為λ=3.0，a=1/λ。

圖3為軟閾值法去噪和無罰函數(shù)DWAD算法去噪結(jié)果(橫軸為數(shù)據(jù)個數(shù)，縱軸為原始數(shù)據(jù)、噪聲數(shù)據(jù)和重構(gòu)數(shù)據(jù)數(shù)值)。結(jié)果表明，該方法具有較好的去噪效果和平滑度。

圖3 軟閾值方法和無懲罰函數(shù)DWAD的去噪數(shù)據(jù)

使用信噪比(SNR)來評價去噪性能，均方根誤差(RMSE)和結(jié)構(gòu)相似度指數(shù)(SSIM)評價原始信號的細節(jié)保留能力，測量指標如表1所示。通過使用罰函數(shù)，提高了去噪和細節(jié)保留的性能。Atan罰函數(shù)獲得最佳去噪效果，當(dāng)使用相同的罰函數(shù)時，DWAD算法在各項指標上均優(yōu)于傳統(tǒng)的小波去噪方法。采用DWAD算法，信噪比提高約2.3 dB。

Atan罰函數(shù)法和帶Atan罰函數(shù)的DWAD法去噪結(jié)果如圖4所示，DWAD算法在很好地抑制噪聲的同時，很好地保留了原始信號的細節(jié)。

4.2 DWAD算法對階躍信號的去噪性能分析

在haar小波域內(nèi)，噪聲信號具有較小的L1范數(shù)，haar和sym4小波基函數(shù)的相關(guān)系數(shù)較低。因此，利用haar和sym4小波基函數(shù)分別生成了2個5尺度的非抽取小波變換矩陣。同樣，設(shè)置參數(shù)μ=0.8，Iter=20。

表1 基于db4和sym4基函數(shù)的比較算法的測量指標

圖4 Atan懲罰方法的去噪信號和Atan的DWAD信號

將硬閾值、軟閾值、罰函數(shù)法與DWAD算法比較。原始信號與噪聲信號(σ=4)分別如圖5(a)和圖6(a)，通過不同的方法在haar小波域下的去噪信號如圖5(b)～圖5(d)。為ym4小波域下的相應(yīng)結(jié)果如圖6(b)～圖6(d)。采用DWAD算法去噪后的結(jié)果如圖5(e)和圖6(e)。DWAD算法的RMSE最低，去噪效果最好，且haar小波域下的結(jié)果比sym4具有更佳的RMSE。

圖5 haar小波域下不同方法的去噪信號

利用具有不同標準偏差的AWGN損壞信號，測試不同方法對具有不同噪聲水平的數(shù)據(jù)的去噪性能。表2顯示了20次迭代實驗的去噪信號的平均信噪比(SNR)，結(jié)果表明：DWAD算法對噪聲水平較低的信號具有更好的性能，DWAD算法對不同噪聲水平的數(shù)據(jù)的平均信噪比提高了至少4.2 dB。

圖6 sym4小波域下不同方法的去噪信號

表2 不同表示域的幾種算法的平均信噪比

5 結(jié) 論

本文提出了一種改進的雙小波非凸稀疏正則化去噪算法，在濾除噪聲的同時，保留了原始數(shù)據(jù)的細節(jié)信息。針對連續(xù)和階躍的滑油監(jiān)測數(shù)據(jù)，DWAD算法均具有良好的去噪性能。本文尚未討論小波分解層數(shù)、參數(shù)μ和Iter的設(shè)置對該算法去噪效果的影響，這為以后的研究指明了方向，筆者將對其做進一步研究。