馬 敏， 王 濤

(中國(guó)民航大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300300)

1 引 言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作環(huán)境復(fù)雜，滑油監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)易受噪聲干擾。噪聲不僅會(huì)導(dǎo)致信號(hào)在外觀形態(tài)上的變換，而且會(huì)影響信號(hào)后續(xù)處理的清晰度和準(zhǔn)確度。因此，有效的數(shù)據(jù)去噪算法至關(guān)重要。

數(shù)據(jù)去噪是信號(hào)處理中的常見問題[1]。Donoho和Johnstone在小波變換的基礎(chǔ)上提出小波閾值去噪算法，運(yùn)算邏輯簡(jiǎn)單，去噪效果良好，成為主流的去噪算法[2～6,12～19]。對(duì)于基于小波變換的去噪算法，由特定的小波基函數(shù)生成的小波表示域確定小波系數(shù)的稀疏性，閾值函數(shù)用于獲得噪聲信號(hào)稀疏表示系數(shù)，影響重構(gòu)信號(hào)的稀疏性。因此，小波基函數(shù)和閾值函數(shù)的選擇都會(huì)影響數(shù)據(jù)的去噪效果[7]。針對(duì)閾值函數(shù)的選取，文獻(xiàn)[8]提出了一種帶有調(diào)節(jié)因子的閾值函數(shù)，閾值函數(shù)具有自適應(yīng)性，但去噪效果不太理想；秦冬冬等提出一種基于多層閾值函數(shù)的去噪方法，閾值函數(shù)可根據(jù)采樣的長(zhǎng)度的變化進(jìn)行調(diào)節(jié)，但未分析分解層數(shù)對(duì)去噪效果的影響[9]。針對(duì)小波基函數(shù)的選取，許羅鵬等犧牲部分對(duì)稱性，放寬正交性為雙正交性，選出了去噪效果更好的小波基函數(shù)[10]；郝泳濤等為了提高小波重構(gòu)精度，在分解和構(gòu)造時(shí)，分別構(gòu)造不同的小波基函數(shù)，去噪效果得到改善[11]。

數(shù)據(jù)去噪的原則是在濾除噪聲的同時(shí)，保留原始數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)信息。本文利用兩個(gè)小波基函數(shù)同時(shí)去噪，重新構(gòu)造雙小波去噪(double wavelet denoising, DWAD)模型，利用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers, ADMM)和Majorized-Minmizetion(MM)方法交替求解目標(biāo)函數(shù)。將該算法應(yīng)用于滑油監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，取得了較好的去噪效果。

2 數(shù)據(jù)集構(gòu)造

利用12電極的ECT系統(tǒng)采集航空發(fā)動(dòng)機(jī)不同磨損狀態(tài)下的滑油監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)[16]，將歸一化的數(shù)據(jù)按時(shí)間軸和空間軸依次排列，構(gòu)造數(shù)據(jù)集。以某1磨損狀態(tài)為例，數(shù)據(jù)集構(gòu)造方法如圖1所示(E1-E2表示激勵(lì)E1傳感器時(shí)，E1傳感器和E2傳感器之間的電容值，數(shù)據(jù)集時(shí)間軸長(zhǎng)度節(jié)點(diǎn)為1 024，空間軸長(zhǎng)度節(jié)點(diǎn)為66)。

圖1 數(shù)據(jù)集構(gòu)造方法

3 雙小波非凸稀疏正則化去噪算法

3.1 問題描述

通常，含有噪聲的真實(shí)信號(hào)為：

y=x+n

(1)

式中：y∈RN為觀測(cè)信號(hào)；x∈RN為真實(shí)信號(hào)；n表示噪聲信號(hào)，通常假設(shè)n服從高斯分布?；谛〔ㄗ儞Q的去噪模型可以表示為：

(2)

式中：Cy表示觀測(cè)信號(hào)y的小波系數(shù)，通過軟閾值函數(shù)去噪，利用小波逆變換得到去噪信號(hào)。

信號(hào)可看作不同尺度下小波基的線性組合，觀測(cè)信號(hào)和原始信號(hào)都可用2個(gè)小波基來(lái)表示：

(3)

式中：C1、C2、C1y、C2y為原始信號(hào)和觀測(cè)信號(hào)在2個(gè)小波域下的小波系數(shù)；W1、W2表示小波變換矩陣。

在實(shí)驗(yàn)室條件下獲得原始ECT信號(hào)，通過加性高斯白噪聲(additive white gaussian noise, AWGN)對(duì)數(shù)據(jù)破壞作為觀測(cè)信號(hào)。以磨損狀態(tài)1中E1～E2傳感器之間的噪聲數(shù)據(jù)為例，由圖2可以看出，在Daubechies(db4)和Symlets(sym4)小波基函數(shù)下，噪聲數(shù)據(jù)的小波系數(shù)具有不同的分布，這表明可在特定的小波域下濾波，在其它小波域下保留信號(hào)的細(xì)節(jié)。

圖2 不同小波基下小波系數(shù)

3.2 DWAD算法

為盡可能地保留數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)信息，提高去噪性能，提出一種雙小波非凸稀疏正則化去噪算法，對(duì)信號(hào)進(jìn)行非凸優(yōu)化去噪。DWAD的約束優(yōu)化問題如下：

(4)

式中：λ1、λ2表示正則化系數(shù)；P1、P2表示2個(gè)表示域下表示系數(shù)的罰函數(shù)，表示如下：

(5)

式中：φ表示罰函數(shù)；N表示系數(shù)數(shù)量；參數(shù)a控制罰函數(shù)的非凸性，且a∈[0,1/λ]。

式(4)是當(dāng)罰函數(shù)的參數(shù)a∈[0,1/λ]時(shí)，具有約束的凸優(yōu)化函數(shù)?？刹捎没谕故諗坷碚摰膬?yōu)化方法來(lái)求得式(4)的最優(yōu)解。ADMM適合求解分布式凸優(yōu)化問題，根據(jù)增廣拉格朗日方法，用二次懲罰方法將約束問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問題，得到增廣拉格朗日量：

(6)

式中：μ>0，式(4)可以通過迭代最小化式(6)中的C1和C2來(lái)解決。ADMM中的每次迭代分3次求解，交替求得式(4)的最優(yōu)解。

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：C1n是前一次迭代的最優(yōu)解；替代函數(shù)g1n(C1,C1n)由MM方法設(shè)計(jì)，定義為：

(11)

式中：

(12)

式(11)中，K1不依賴于C1，參數(shù)α應(yīng)滿足：

(13)

小波變換矩陣滿足單幀條件。因此，式(7)等同于以下問題：

(14)

最后，通過閾值函數(shù)，直接獲得公式(7)的最優(yōu)解：

(15)

式中：閾值函數(shù)Th( )由相應(yīng)的罰函數(shù)定義；參數(shù)λ1為第一小波域下的正則化參數(shù)。

式(8)中最優(yōu)變量與變換矩陣W2耦合，類似于式(7)，可用MM方法來(lái)解決，替代子目標(biāo)函數(shù)為：

(16)

式中：

(17)

由于小波變換矩陣滿足單幀條件，式(8)可以簡(jiǎn)化為：

(18)

使用由特定罰函數(shù)指定的閾值函數(shù)來(lái)生成最優(yōu)解：

(19)

式中：λ2是第二個(gè)小波域下的正則化參數(shù)。

不同小波域下原始信號(hào)的表示系數(shù)具有不同的稀疏性。對(duì)于表示系數(shù)稀疏性強(qiáng)的小波域，設(shè)置小正則化參數(shù)。兩個(gè)小波域的正則化參數(shù)設(shè)為：

λ1=γλ
λ2=(1-γ)λ

(20)

式中：γ表示比例系數(shù)，且每次迭代都會(huì)更新，定義如下：

(21)

通過閾值函數(shù)交替求解2個(gè)子問題，在2個(gè)小波域下獲得濾波后的小波系數(shù)。原始信號(hào)的不同細(xì)節(jié)信息在不同的小波域下保留，采用2個(gè)去噪信號(hào)差對(duì)式(9)中的d值進(jìn)行更新，2個(gè)目標(biāo)子函數(shù)的解可推導(dǎo)出相同的去噪信號(hào)。用小波變換矩陣分別得到去噪信號(hào)：

(22)

DWAD算法中，小波基函數(shù)的選擇有2個(gè)原則：第1是小波系數(shù)的稀疏性，選擇L1范數(shù)較小的小波基函數(shù)作為觀測(cè)信號(hào)；第2是選擇兩個(gè)相關(guān)系數(shù)較低的小波基函數(shù)，有利于細(xì)節(jié)信息的保留。

對(duì)于用于求解DWAD模型的ADMM，參數(shù)μ影響算法的收斂速度。為了提高收斂速度，每次迭代都會(huì)更新μ：

(23)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 DWAD算法對(duì)連續(xù)信號(hào)的去噪性能分析

首先，測(cè)試DWAD算法對(duì)于ECT連續(xù)信號(hào)的去噪性能。將噪聲信號(hào)的信噪比(SNR)設(shè)置為16，利用sym4和db4兩個(gè)小波基函數(shù)分別生成了2個(gè)5尺度小波變換。設(shè)置迭代次數(shù)Iter=20，迭代參數(shù)μ=0.8。

使用不同尺度下的通用閾值濾波。在db4和sym4小波域下，采用經(jīng)典的軟閾值方法和罰函數(shù)法(對(duì)數(shù)函數(shù)、有理函數(shù)和反正切函數(shù))與DWAD算法進(jìn)行比較。對(duì)于軟閾值方法，閾值設(shè)置為2.5σ。對(duì)于罰函數(shù)法和DWAD方法，閾值和參數(shù)分別設(shè)置為λ=3.0，a=1/λ。

圖3為軟閾值法去噪和無(wú)罰函數(shù)DWAD算法去噪結(jié)果(橫軸為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，縱軸為原始數(shù)據(jù)、噪聲數(shù)據(jù)和重構(gòu)數(shù)據(jù)數(shù)值)。結(jié)果表明，該方法具有較好的去噪效果和平滑度。

圖3 軟閾值方法和無(wú)懲罰函數(shù)DWAD的去噪數(shù)據(jù)

使用信噪比(SNR)來(lái)評(píng)價(jià)去噪性能，均方根誤差(RMSE)和結(jié)構(gòu)相似度指數(shù)(SSIM)評(píng)價(jià)原始信號(hào)的細(xì)節(jié)保留能力，測(cè)量指標(biāo)如表1所示。通過使用罰函數(shù)，提高了去噪和細(xì)節(jié)保留的性能。Atan罰函數(shù)獲得最佳去噪效果，當(dāng)使用相同的罰函數(shù)時(shí)，DWAD算法在各項(xiàng)指標(biāo)上均優(yōu)于傳統(tǒng)的小波去噪方法。采用DWAD算法，信噪比提高約2.3 dB。

Atan罰函數(shù)法和帶Atan罰函數(shù)的DWAD法去噪結(jié)果如圖4所示，DWAD算法在很好地抑制噪聲的同時(shí)，很好地保留了原始信號(hào)的細(xì)節(jié)。

4.2 DWAD算法對(duì)階躍信號(hào)的去噪性能分析

在haar小波域內(nèi)，噪聲信號(hào)具有較小的L1范數(shù)，haar和sym4小波基函數(shù)的相關(guān)系數(shù)較低。因此，利用haar和sym4小波基函數(shù)分別生成了2個(gè)5尺度的非抽取小波變換矩陣。同樣，設(shè)置參數(shù)μ=0.8，Iter=20。

表1 基于db4和sym4基函數(shù)的比較算法的測(cè)量指標(biāo)

圖4 Atan懲罰方法的去噪信號(hào)和Atan的DWAD信號(hào)

將硬閾值、軟閾值、罰函數(shù)法與DWAD算法比較。原始信號(hào)與噪聲信號(hào)(σ=4)分別如圖5(a)和圖6(a)，通過不同的方法在haar小波域下的去噪信號(hào)如圖5(b)～圖5(d)。為ym4小波域下的相應(yīng)結(jié)果如圖6(b)～圖6(d)。采用DWAD算法去噪后的結(jié)果如圖5(e)和圖6(e)。DWAD算法的RMSE最低，去噪效果最好，且haar小波域下的結(jié)果比sym4具有更佳的RMSE。

圖5 haar小波域下不同方法的去噪信號(hào)

利用具有不同標(biāo)準(zhǔn)偏差的AWGN損壞信號(hào)，測(cè)試不同方法對(duì)具有不同噪聲水平的數(shù)據(jù)的去噪性能。表2顯示了20次迭代實(shí)驗(yàn)的去噪信號(hào)的平均信噪比(SNR)，結(jié)果表明：DWAD算法對(duì)噪聲水平較低的信號(hào)具有更好的性能，DWAD算法對(duì)不同噪聲水平的數(shù)據(jù)的平均信噪比提高了至少4.2 dB。

圖6 sym4小波域下不同方法的去噪信號(hào)

表2 不同表示域的幾種算法的平均信噪比

5 結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的雙小波非凸稀疏正則化去噪算法，在濾除噪聲的同時(shí)，保留了原始數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)信息。針對(duì)連續(xù)和階躍的滑油監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，DWAD算法均具有良好的去噪性能。本文尚未討論小波分解層數(shù)、參數(shù)μ和Iter的設(shè)置對(duì)該算法去噪效果的影響，這為以后的研究指明了方向，筆者將對(duì)其做進(jìn)一步研究。